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第四章 圆与方程检测试卷
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.圆心为(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( )
A.x2＋y2＝25
B.x2＋y2＝5
C.(x－3)2＋(y－4)2＝25
D.(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
2.已知圆O以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.无法判断
3.平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B.2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D.2x－y＋＝0或2x－y－＝0
4.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，点P在圆C上，点Q(－2，2)在圆C外，则|PQ|的最大值为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
5.已知圆C的圆心是直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为( )
A.x2＋(y＋1)2＝18
B.x2＋(y＋1)2＝3
C.(x＋1)2＋y2＝18
D.(x＋1)2＋y2＝3
6.若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A.7 B.－7 C.－1 D.1
7.圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是( )
A.相交 B.外离 C.内含 D.内切
8.若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是( )
A.(4,6) B.[4,6] C.(4,5) D.(4,5]
9.圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则实数a的值为( )
A.0 B.1 C.±2 D.2
10.两圆相交于两点A(1,3)和B(m，n)，且两圆圆心都在直线x－y－2＝0上，则m＋n的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.已知直线l：mx－y＋m＝0，圆C：(x－a)2＋y2＝4.若对任意a∈[1，＋∞)，存在l被C截得的弦长为2，则实数m的最大值是( )
A. B.1 C. D.3
12.已知直线x－y－4＝0与圆x2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，P为圆上异于A，B的动点，则△ABP的面积的最大值为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________________.
14.圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是________.
15.点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________.
16.已知A(－2,0)，B(2,0)，点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上运动，则|PA|2＋|PB|2的最小值是________.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知圆C的圆心坐标为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程.
18.(12分)求圆心在直线l1：y－3x＝0上，与x轴相切，且被直线l2：x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程.
19.(12分)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点.以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度；
(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值.
20.(12分)设半径为3的圆C被直线l：x＋y－4＝0截得的弦AB的中点为P(3,1)，且弦长|AB|＝2，求圆C的方程.
21.(12分)已知圆C的圆心坐标为(a,0)，且圆C与y轴相切.
(1)已知a＝1，M(4,4)，点N是圆C上的任意一点，求|MN|的最小值；
(2)已知a<0，直线l的斜率为，且与y轴交于点.若直线l与圆C相离，求a的取值范围.
22.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在直线l上.
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点B(2,3)作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.
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第四章 圆与方程检测试卷
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.圆心为(3,4)且过点(0,0)的圆的方程是( )
A.x2＋y2＝25
B.x2＋y2＝5
C.(x－3)2＋(y－4)2＝25
D.(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
答案 C
解析 圆心为(3,4)，半径r＝＝5，
所以圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.
2.已知圆O以点(2，－3)为圆心，半径等于5，则点M(5，－7)与圆O的位置关系是( )
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.无法判断
答案 B
解析 点M(5，－7)到圆心(2，－3)的距离d＝＝5，故点M在圆O上.
3.平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B.2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0
C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D.2x－y＋＝0或2x－y－＝0
答案 A
解析 设所求直线方程为2x＋y＋c＝0，依题意有＝，解得c＝±5，所以所求直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选A.
4.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，点P在圆C上，点Q(－2，2)在圆C外，则|PQ|的最大值为( )
A.5 B.6
C.7 D.8
答案 C
解析 由题意可知，圆C的圆心坐标为(1，－2)，半径r＝2，
则|CQ|＝＝5.
根据几何意义得|PQ|的最大值为|CQ|＋r＝5＋2＝7.
5.已知圆C的圆心是直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点，直线3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为( )
A.x2＋(y＋1)2＝18
B.x2＋(y＋1)2＝3
C.(x＋1)2＋y2＝18
D.(x＋1)2＋y2＝3
答案 A
解析 易求得直线x＋y＋1＝0与直线x－y－1＝0的交点坐标为(0，－1)，所以圆C的圆心为(0，－1).设圆C的半径为r，由题意可得2＋32＝r2，
解得r2＝18，所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝18.
6.若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )
A.7 B.－7 C.－1 D.1
答案 D
解析 ∵点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别为(－4，－2，－3)，(4，－2，－3)，
∴c＝－3，e＝4，则c＋e＝1.
7.圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是( )
A.相交 B.外离 C.内含 D.内切
答案 D
解析 把圆O1：x2＋y2－4x－6y＋12＝0与圆O2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0分别转化为标准方程，
即为(x－2)2＋(y－3)2＝1和(x－4)2＋(y－3)2＝9，
两圆心间的距离d＝＝2＝r2－r1，
所以两圆的位置关系为内切.
8.若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，则半径r的取值范围是( )
A.(4,6) B.[4,6] C.(4,5) D.(4,5]
答案 A
解析 圆心到直线4x－3y－2＝0的距离为＝5，
若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于1，
则半径r的取值范围是(4,6).
9.圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0关于直线x－y＝1对称的圆的方程为x2＋y2＝1，则实数a的值为( )
A.0 B.1 C.±2 D.2
答案 D
解析 圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0，即2＋(y＋1)2＝，表示以A为圆心，以为半径的圆.
关于直线x－y－1＝0对称的圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，
故有×1＝－1，解得a＝2，故选D.
10.两圆相交于两点A(1,3)和B(m，n)，且两圆圆心都在直线x－y－2＝0上，则m＋n的值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 两圆相交于两点A(1,3)和B(m，n)，且两圆圆心都在直线x－y－2＝0上，
可得kAB＝－1，即－1＝.①
所以m＋n＝4，故选D.
11.已知直线l：mx－y＋m＝0，圆C：(x－a)2＋y2＝4.若对任意a∈[1，＋∞)，存在l被C截得的弦长为2，则实数m的最大值是( )
A. B.1 C. D.3
答案 C
解析 由题意可得，圆心C(a,0)到l：mx－y＋m＝0的距离d＝＝，
即＝，
∴m2＝，
∵a≥1，∴0故实数m的最大值是，故选C.
12.已知直线x－y－4＝0与圆x2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，P为圆上异于A，B的动点，则△ABP的面积的最大值为( )
A.8 B.16 C.32 D.64
答案 C
解析 设与直线x－y－4＝0平行的直线l的方程为x－y＋c＝0.当直线l与圆相切时，由圆心到直线距离等于半径，得c＝12或c＝－8.显然，当c＝12时，直线l与圆的切点到直线x－y－4＝0的距离(两条平行线间的距离)最大且为h＝＝8，又可得弦|AB|＝8，所以△ABP的面积的最大值为S＝×8h＝32.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋y＝0相切，则圆O的方程是________________.
答案 (x＋2)2＋y2＝2
解析 设圆心坐标为(a,0)(a<0)，
则圆心到直线的距离等于半径，
即d＝＝，解得a＝－2.
故圆O的标准方程为(x＋2)2＋y2＝2.
14.圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是________.
答案 4
解析 因为圆心到直线的距离d＝＝5，
所以圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值是d－r＝4.
15.点P在圆O：x2＋y2＝1上运动，点Q在圆C：(x－3)2＋y2＝1上运动，则|PQ|的最小值为________.
答案 1
解析 如图，
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P580.TIF" \* MERGEFORMAT
设连心线OC与圆O交于点P′，与圆C交于点Q′，当点P在P′处，点Q在Q′处时|PQ|最小，最小值为|P′Q′|＝|OC|－r1－r2＝1.
16.已知A(－2,0)，B(2,0)，点P在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4上运动，则|PA|2＋|PB|2的最小值是________.
答案 26
解析 设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2(x2＋y2)＋8＝2|OP|2＋8.
∵圆心为C(3,4)，∴|OP|min＝|OC|－r＝5－2＝3，
∴|PA|2＋|PB|2的最小值为2×32＋8＝26.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.(10分)已知圆C的圆心坐标为(2,1)，若圆C与圆O：x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C的方程.
解 设圆C的半径长为r，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2，即x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，圆C与圆O的方程相减得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，因为该直线过点(5，－2)，所以r2＝4，则圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
18.(12分)求圆心在直线l1：y－3x＝0上，与x轴相切，且被直线l2：x－y＝0截得的弦长为2的圆的方程.
解 由已知可设圆心为(a,3a)，若圆与x轴相切，
则r＝|3a|，圆心到直线l2的距离d＝.
由弦长为2得7＋＝9a2，解得a＝±1.
故圆心为(1,3)或(－1，－3)，r＝3，
故圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.
19.(12分)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点.以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P581.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度；
(3)设点P是线段DN上的动点，求|MP|的最小值.
解 (1)D(0,0,0)，N(2,1,0)，M(1,2,3).
(2)|MD|＝＝，
|MN|＝＝.
(3)∵点P在xOy平面上，∴设点P的坐标为(x，y,0)，∵P在DN上运动，
∴＝＝2，∴x＝2y，∴点P的坐标为(2y，y,0)，
∴|MP|＝
＝＝ ，
∵y∈[0,1]，且0<<1，
∴当y＝时，|MP|取得最小值，即.
∴|MP|的最小值为.
20.(12分)设半径为3的圆C被直线l：x＋y－4＝0截得的弦AB的中点为P(3,1)，且弦长|AB|＝2，求圆C的方程.
解 由题意，设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝9，圆心到直线的距离为d＝＝，则＝.
又因为弦AB所在直线的斜率为－1，所以＝1.
联立解得或
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－2)2＝9或(x－2)2＋y2＝9.
21.(12分)(2019·菏泽模拟)已知圆C的圆心坐标为(a,0)，且圆C与y轴相切.
(1)已知a＝1，M(4,4)，点N是圆C上的任意一点，求|MN|的最小值；
(2)已知a<0，直线l的斜率为，且与y轴交于点.若直线l与圆C相离，求a的取值范围.
解 (1)由题意可知，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1，
又|MC|＝＝5，
所以|MN|的最小值为5－1＝4.
(2)直线l的方程为y＝x－，即4x－3y－2＝0.
因为直线l与圆C相离.
所以圆心C(a,0)到直线l的距离d>r，
即>|a|，
又a<0，则2－4a>－5a，解得a>－2.
所以a的取值范围是(－2,0).
22.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在直线l上.
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点B(2,3)作圆C的切线，求切线的方程；
(2)若圆C上存在点M，使得|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围.
解 (1)由题设，知圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，
所以点C的坐标为(3,2)，圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1.
当过点B(2,3)的切线的斜率不存在时，切线方程为x＝2，满足条件；
当过点B(2,3)的切线的斜率存在时，设切线方程为y－3＝k(x－2)，
由题意得＝1，解得k＝0，
所以切线方程为y＝3.
故所求切线方程为x＝2或y＝3.
(2)因为圆心C在直线y＝2x－4上，
所以设点C的坐标为(a,2a－4)，
圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为|MA|＝2|MO|，
所以＝2，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以点D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上.
由题意，点M(x，y)在圆C上，
所以圆C与圆D有公共点，
则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即1≤≤3，
解得0≤a≤.
所以圆心C的横坐标a的取值范围为.
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