中小学教育资源及组卷应用平台
4.1.1 圆的标准方程
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为( )
A.(－1,2)，2 B.(1，－2)，2
C.(－1,2)，4 D.(1，－2)，4
答案 A
2.圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是( )
A.(x＋3)2＋(y＋1)2＝5
B.(x＋3)2＋(y＋1)2＝25
C.(x－3)2＋(y－1)2＝5
D.(x－3)2＋(y－1)2＝25
答案 D
3.方程(x－1)＝0所表示的曲线是( )
A.一个圆 B.两个点
C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆
答案 D
解析 (x－1)＝0可化为，
x－1＝0或x2＋y2＝3，
∴方程(x－1)＝0表示一条直线和一个圆.
4.若圆C的圆心坐标为(0,0)，且圆C经过点M(3,4)，则圆C的半径为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
答案 A
解析 圆C的半径为＝5.
5.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为( )
A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
答案 B
解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P539.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\看幻灯片\\人教 A版 必修2\\03\\P539.TIF" \* MERGEFORMATINET
圆的半径为r＝＝.
故所求圆的标准方程为
(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
6.若点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是( )
A.|a|<1 B.a<
C.|a|< D.|a|<
答案 D
解析 依题意有(5a)2＋144a2<1，
所以169a2<1，
所以a2<，即|a|<，故选D.
7.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9
答案 B
解析 由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
则解得即P(－1,1).
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴|PC|＝＝5，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.
8.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为( )
A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
答案 D
解析 圆x2＋(y－3)2＝4的圆心坐标为(0,3).
因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，
化简得x－y＋3＝0.
二、填空题
9.若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.
答案 ±2
解析 ∵P点在圆x2＋y2＝m2上，
∴(－1)2＋()2＝4＝m2，
∴m＝±2.
10.圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________.
答案 (x－4)2＋y2＝1
解析 设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
则
解得
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
11.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以点C为圆心，为半径的圆的标准方程是________________.
答案 (x＋1)2＋(y－2)2＝5
解析 将直线方程整理为(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，
可知直线恒过点(－1,2)，
从而所求圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5.
三、解答题
12.求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.
解 设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有解得
即△ABC的外接圆的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝5.
13.已知点A(－1,2)和B(3,4).求：
(1)线段AB的垂直平分线l的方程；
(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.
解 由题意得线段AB的中点C的坐标为(1,3).
(1)∵A(－1,2)，B(3,4)，
∴直线AB的斜率kAB＝＝.
∵直线l垂直于直线AB，
∴直线l的斜率kl＝－＝－2，
∴直线l的方程为y－3＝－2(x－1)，即2x＋y－5＝0.
(2)∵A(－1,2)，B(3,4)，
∴|AB|＝＝＝2，
∴以线段AB为直径的圆的半径R＝|AB|＝.
又圆心为C(1,3)，
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\看幻灯片\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMATINET
14.已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为________________.
答案 x2＋(y＋1)2＝1
解析 由已知圆(x－1)2＋y2＝1，
设其圆心为C1，
则圆C1的圆心坐标为(1,0)，半径长r1＝1.
设圆心C1(1,0)关于直线y＝－x对称的点的坐标为(a，b)，即圆心C的坐标为(a，b)，
则
解得
所以圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝1.
15.已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的标准方程.
解 要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值.
因为|PA|＝，|PB|＝，|PC|＝5，
所以|PA|<|PB|<|PC|，
所以圆的半径r＝|PB|＝.
故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
4.1.1 圆的标准方程
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心与半径分别为( )
A.(－1,2)，2 B.(1，－2)，2
C.(－1,2)，4 D.(1，－2)，4
2.圆心为(3,1)，半径为5的圆的标准方程是( )
A.(x＋3)2＋(y＋1)2＝5
B.(x＋3)2＋(y＋1)2＝25
C.(x－3)2＋(y－1)2＝5
D.(x－3)2＋(y－1)2＝25
3.方程(x－1)＝0所表示的曲线是( )
A.一个圆 B.两个点
C.一个点和一个圆 D.一条直线和一个圆
4.若圆C的圆心坐标为(0,0)，且圆C经过点M(3,4)，则圆C的半径为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
5.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为( )
A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
6.若点(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是( )
A.|a|<1 B.a<
C.|a|< D.|a|<
7.已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为( )
A.(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B.(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D.(x－2)2＋(y＋3)2＝9
8.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程为( )
A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
二、填空题
9.若点P(－1，)在圆x2＋y2＝m2上，则实数m＝________.
10.圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________.
11.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以点C为圆心，为半径的圆的标准方程是________________.
三、解答题
12.求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.
13.已知点A(－1,2)和B(3,4).求：
(1)线段AB的垂直平分线l的方程；
(2)以线段AB为直径的圆的标准方程.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\看幻灯片\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMATINET
14.已知圆C与圆(x－1)2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为________________.
15.已知三点A(3,2)，B(5，－3)，C(－1,3)，以点P(2，－1)为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的标准方程.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共27张PPT)
4.1.1 圆的标准方程
第四章 §4.1 圆的方程
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握圆的定义及标准方程.
2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程.
1
自主学习
PART ONE
知识点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程： .
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是 .
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＝r2
知识点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点M在圆上 |CM|＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外 |CM|>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内 |CM|1.方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆.( )
2.确定一个圆的几何要素是圆心和半径.( )
3.圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝4的圆心坐标是(1,2)，半径是4.( )
4.(0,0)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1上.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
题型一 求圆的标准方程
例1 (1)圆心在原点，半径长是5的圆的标准方程为____________.
(2)圆心在点C(2,1)，半径长是的圆的标准方程为__________________.
(3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8，－3)的圆的标准方程为____________________.
x2＋y2＝25
(x－2)2＋(y－1)2＝3
(x－8)2＋(y＋3)2＝25
反思感悟
(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
(2)确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
跟踪训练1 (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为____________________.
(x＋5)2＋(y＋3)2＝25
解析 ∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.
(2)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是
A.(x＋1)2＋(y＋2)2＝100
B.(x－1)2＋(y－2)2＝100
C.(x＋1)2＋(y＋2)2＝25
D.(x－1)2＋(y－2)2＝25
√
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点(1,2)为圆心，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
题型二 点与圆的位置关系
例2 (1)点P(m2,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是
A.点P在圆内 B.点P在圆外
C.点P在圆上 D.不确定
√
解析 由(m2)2＋52＝m4＋25>24，
得点P在圆外.
[0,1)
反思感悟
(1)判断点与圆的位置关系的方法
①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可.
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
(2)灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围.
跟踪训练2 已知点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，则a的取值范围为______________________.
(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 由题意知，(1－a)2＋(1＋a)2>4，
2a2－2>0，
即a<－1或a>1.
待定系数法与几何法求圆的标准方程
核心素养之数学运算
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN
典例 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程.
解 方法一 (待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
方法二 (几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
即圆心坐标为(4，－3)，
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
素养
评析
(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(2)几何法即是利用平面几何知识，求出圆心和半径，然后写出圆的标准方程.
(3)像本例，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果.充分体现数学运算的数学核心素养.
3
达标检测
PART THREE
1
2
3
4
5
√
2.点P(1,3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
1
2
3
4
5
√
3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是
A.x2＋(y－2)2＝1 B.x2＋(y＋2)2＝1
C.(x－1)2＋(y－3)2＝1 D.x2＋(y－3)2＝1
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
解析 方法一 (直接法)
∴b＝2，
∴圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
方法二 (数形结合法)
作图(如图)，根据点(1,2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0,2)，故圆的标准方程是x2＋(y－2)2＝1.
1
2
3
4
5
4.经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的标准方程是________________.
(x＋2)2＋y2＝4
解析 设圆心为(a,0)(a<0)，
则|a|＝2，即a＝－2，
∴(x＋2)2＋y2＝4.0
1
2
3
4
5
5.求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程.
解 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
根据已知条件可得
所以所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.
2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
