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4.1.2 圆的一般方程
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.若圆的一般方程为x2＋y2＋6x＋6＝0，则该圆的圆心和半径分别是( )
A.(1,1)， B.(1,2)，
C.(3,0)，3 D.(－3,0)，
答案 D
2.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3,1)在( )
A.圆内 B.圆上
C.圆外 D.无法确定
答案 C
3.若方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A.R B.(－∞，0) ∪(0，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)
答案 B
解析 当a≠0时，方程为2＋2＝，
由于a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>0恒成立，
∴a≠0时方程表示圆.
当a＝0时，易知方程为x＋y＝0，表示直线.
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(0，＋∞).
4.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A.2 B. C.1 D.
答案 D
解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝.
5.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A.以(a，b)为圆心的圆
B.以(－a，－b)为圆心的圆
C.点(a，b)
D.点(－a，－b)
答案 D
解析 原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴即
∴方程表示点(－a，－b).
6.若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是( )
A.m>0 B.m<
C.0
答案 C
解析 x2＋y2－x＋y＋m＝0可化为2＋2＝－m，
则－m>0，解得m<.
因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m>0，
即m>0，所以07.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案 D
解析 因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
又方程可化为2＋(y－a)2＝－a2－3a，
故圆心坐标为，r2＝－a2－3a.
又r2>0，即－a2－3a>0，解得－4故该圆的圆心在第四象限.
8.当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )
A.(x＋3)2＋y2＝4
B.(x－3)2＋y2＝1
C.(2x－3)2＋4y2＝1
D.(2x＋3)2＋4y2＝1
答案 C
解析 设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
∵Q(3,0)，∴
∴x1＝2x－3，y1＝2y.
又点P在圆x2＋y2＝1上，
∴(2x－3)2＋(2y)2＝1，故选C.
二、填空题
9.如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________.
答案
解析 由(－2)2＋12－4k>0得k<.
10.已知直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B两点，且弦AB的中点Q的坐标为(0,1)，则直线AB的方程为________________.
答案 x－y＋1＝0
解析 易知圆心P的坐标为(－1,2).
∵AB的中点Q的坐标为(0,1)，
∴直线PQ的斜率kPQ＝＝－1，
∴直线AB的斜率k＝1，
故直线AB的方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
11.已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
答案 －2
解析 由题意知，直线l：x－y＋2＝0过圆心，则－1＋＋2＝0，得a＝－2.
三、解答题
12.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)，求这个三角形外接圆的一般方程.
解 设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
∵A，B，C三点都在圆上，
∴A，B，C三点的坐标都满足所设方程，
把A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)的坐标依次代入所设方程，
得解得
所以所求圆的方程为x2＋y2＋x－9y－12＝0.
13.求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的一般方程.
解 ∵圆心在直线2x－y－3＝0上，
∴可设圆心坐标为(a,2a－3)，半径为r(r>0)，
则圆的方程为(x－a)2＋(y－2a＋3)2＝r2.
把点A(5,2)和点B(3，－2)的坐标代入方程，
得(5－a)2＋(2－2a＋3)2＝r2，①
(3－a)2＋(－2－2a＋3)2＝r2，②
由①②可得a＝2，r2＝10.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10，
即x2＋y2－4x－2y＝5.
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14.已知圆x2＋y2＋4x－6y＋a＝0关于直线y＝x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________.
答案 (－∞，8)
解析 由题意知，直线y＝x＋b过圆心，而圆心坐标为(－2,3)，代入直线方程，得b＝5，
所以圆的方程化为标准方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝13－a，
所以a<13，由此得a－b<8.
15.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.
解 圆心C的坐标为，
因为圆心在直线x＋y－1＝0上，
所以－－－1＝0，即D＋E＝－2.①
又r＝＝，所以D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又圆心在第二象限，所以－<0，即D>0，
所以
所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
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4.1.2 圆的一般方程
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.若圆的一般方程为x2＋y2＋6x＋6＝0，则该圆的圆心和半径分别是( )
A.(1,1)， B.(1,2)，
C.(3,0)，3 D.(－3,0)，
2.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P(3,1)在( )
A.圆内 B.圆上
C.圆外 D.无法确定
3.若方程ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0表示圆，则实数a的取值范围是( )
A.R B.(－∞，0) ∪(0，＋∞)
C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)
4.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为( )
A.2 B. C.1 D.
5.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为( )
A.以(a，b)为圆心的圆
B.以(－a，－b)为圆心的圆
C.点(a，b)
D.点(－a，－b)
6.若点(1，－1)在圆x2＋y2－x＋y＋m＝0外，则m的取值范围是( )
A.m>0 B.m<
C.07.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
8.当点P在圆x2＋y2＝1上变动时，它与定点Q(3,0)的连线PQ的中点的轨迹方程是( )
A.(x＋3)2＋y2＝4
B.(x－3)2＋y2＝1
C.(2x－3)2＋4y2＝1
D.(2x＋3)2＋4y2＝1
二、填空题
9.如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________.
10.已知直线与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<5)相交于A，B两点，且弦AB的中点Q的坐标为(0,1)，则直线AB的方程为________________.
11.已知圆C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a为实数)上任意一点关于直线l：x－y＋2＝0的对称点都在圆C上，则a＝________.
三、解答题
12.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－6,3)，C(3,0)，求这个三角形外接圆的一般方程.
13.求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点A(5,2)和点B(3，－2)的圆的一般方程.
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14.已知圆x2＋y2＋4x－6y＋a＝0关于直线y＝x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________.
15.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.
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4.1.2 圆的一般方程
第四章 §4.1 圆的方程
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
1
自主学习
PART ONE
条件 图形
D2＋E2－4F<0 不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0 表示一个点____________
D2＋E2－4F>0 表示以____________为圆心，以 ______________为半径的圆
知识点 圆的一般方程
1.圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程 称为圆的一般方程.
2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.( )
2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.( )
3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.( )
4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
√
√
2
题型探究
PART TWO
题型一 圆的一般方程的理解
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.
解 由表示圆的条件，
得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
反思感悟
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法
(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.
√
解析 因为x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，
(2)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为
A.r＝1，(－2,1) B.r＝2，(－2,1)
C.r＝2，(2，－1) D.r＝1，(2，－1)
√
解析 x2＋y2－4x＋2y＋4＝0可化为
(x－2)2＋(y＋1)2＝1，
所以半径和圆心分别为r＝1，(2，－1).
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
题型二 求圆的一般方程
例2 已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
解 设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
解 由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.
引申探究
若本例中将“点C(3，－1)”改为“圆C过A，B两点且圆C关于直线y＝－x对称”，其他条件不变，如何求圆C的方程？
反思感悟
应用待定系数法求圆的方程时应注意
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
解 方法一 (待定系数法)
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， ③
∴|y1－y2|2＝(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48. ④
故圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
方法二 (几何法)
由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x－y－1＝0，
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，
设其坐标为(a，a－1).
又圆C的半径长
联立①②④解得
代入(*)式整理得a2－6a＋5＝0，
解得a1＝1，a2＝5，
故圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.
求动点的轨迹方程
核心素养之数学运算与数学抽象
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN YU SHU XUE CHOU XIANG
典例 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，点B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
解 设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
解 设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
素养
评析
(1)求与圆有关的轨迹问题的方程
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法：根据圆、直线等定义列方程.
③代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
(2)理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，是数学运算的数学核心素养的体现.
3
达标检测
PART THREE
1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为
A.(4，－6)，16 B.(2，－3)，4
C.(－2,3)，4 D.(2，－3)，16
1
2
3
4
5
√
2.已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是
A.2x－y＋1＝0 B.2x＋y＋1＝0
C.2x－y－1＝0 D.2x＋y－1＝0
1
2
3
4
5
√
解析 圆心坐标为(1，－3)，检验知2x＋y＋1＝0过圆心(1，－3).
3.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为
A.8π B.4π
C.2π D.π
1
2
3
4
5
√
解析 原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
1
2
3
4
5
4.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是
A.x＋y－3＝0 B.x－y－3＝0
C.2x－y－6＝0 D.2x＋y－6＝0
√
1
2
3
4
5
5.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.
1
2
3
4
5
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y. ①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋ ＝4， ②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D2＋E2－4F>0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件.
求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE