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4.2.1 直线与圆的位置关系
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.直线3x＋4y－25＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系为( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.相离或相切
答案 C
2.若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是( )
A.－515
C.m<4或m>13 D.4答案 B
解析 圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2，
由题意，圆心到直线3x＋4y＋m＝0的距离>2，
∴m<－5或m>15.故选B.
3.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为( )
A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0
C.2x－y＝0 D.x－1＝0
答案 B
解析 当弦长最短时，该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心O(0,0)，所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k＝＝2，故所求直线的斜率为－，所以所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
4.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A.[－3，－1]
B.[－1,3]
C.[－3,1]
D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案 C
解析 圆(x－a)2＋y2＝2的圆心C(a,0)到直线x－y＋1＝0的距离为d，则d≤r＝?≤?|a＋1|≤2?－3≤a≤1.
5.如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，则( )
A.E≠0，D＝F＝0
B.D≠0，E≠0，F＝0
C.D≠0，E＝F＝0
D.F≠0，D＝E＝0
答案 A
解析 由题意得，圆心坐标为，
且圆心在y轴上，D＝0，
且半径为＝，
化简可得E≠0，D＝F＝0.
6.若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A.0或4 B.0或3
C.－2或6 D.－1或
答案 A
解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a,0)，半径r＝2.又直线被圆截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离d＝＝.又d＝，所以|a－2|＝2，解得a＝4或a＝0.
7.已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于( )
A.6 B.8 C.11 D.9
答案 D
解析 圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0可化为
(x＋1)2＋(y－1)2＝8，
圆心坐标为(－1,1)，半径为2，
由题意可知，圆心到直线的距离d＝＝2.
∵m>0，∴m＝9.
8.圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案 C
解析 圆的一般方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8.圆心坐标为(－1，－2)，圆的半径为2，圆心到直线l的距离为＝＝.因此和直线l平行的圆的直径的两端点及与直线l同侧且与直线l平行的圆的切线的切点到直线l的距离都为.
二、填空题
9.已知圆(x＋2)2＋(y－2)2＝a截直线x＋y＋2＝0所得弦长为6，则实数a的值为________.
答案 11
解析 圆(x＋2)2＋(y－2)2＝a的圆心为(－2,2)，半径为，弦心距d＝＝，则a＝()2＋2＝11.
10.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是________________.
答案 x2＋y2＝2
解析 设点P的坐标为(x，y)，
则|PO|＝.
∵∠MPN＝90°，∴四边形OMPN为正方形，
∴|PO|＝|OM|＝，
∴＝，即x2＋y2＝2.
11.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________.
答案 －或－
解析 由已知得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，
则有d＝＝1，
解得k＝－或k＝－.
三、解答题
12.一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.
解 因为圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y＝0上，
故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又因为直线y＝x截圆得弦长为2，
则有2＋()2＝9b2，
解得b＝±1，故所求圆的方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
13.设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程.
解 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心为(a，b)，半径长为r.
∵点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点A′仍在这个圆上，
∴圆心(a，b)在直线x＋2y＝0上.
∴a＋2b＝0，①
且(2－a)2＋(3－b)2＝r2.②
又∵直线x－y＋1＝0与圆相交的弦长为2，
∴r2－d2＝r2－2＝()2.③
解由方程①②③组成的方程组，
得或
∴所求圆的方程为(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
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14.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________.
答案 10
解析 圆的方程化为标准形式为(x－1)2＋(y－3)2＝10，易知点E在圆内，由圆的性质可知最长弦|AC|＝2，最短弦BD恰以E(0,1)为中点，且与AC垂直，设点F为其圆心，坐标为(1,3).
故|EF|＝，∴|BD|＝2＝2，
∴S四边形ABCD＝|AC|·|BD|＝10.
15.已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长.
(1)证明 直线的方程可化为y＋3＝2m(x－4)，
由点斜式可知，直线过点P(4，－3).
由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，
所以点P在圆内，故直线l与圆C总相交.
(2)解 圆的方程可化为(x－3)2＋(y＋6)2＝25.
如图，当圆心C(3，－6)到直线l的距离最大时，线段AB的长度最短.
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此时PC⊥l，
又kPC＝＝3，
所以直线l的斜率为－，
则2m＝－，所以m＝－.
在Rt△APC中，|PC|＝，|AC|＝r＝5.
所以|AB|＝2＝2.
故当m＝－时，l被C截得的弦长最短，最短弦长为2
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4.2.1 直线与圆的位置关系
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.直线3x＋4y－25＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系为( )
A.相切 B.相交
C.相离 D.相离或相切
2.若直线3x＋4y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0没有公共点，则实数m的取值范围是( )
A.－515
C.m<4或m>13 D.43.已知圆x2＋y2＝9的弦过点P(1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为( )
A.y－2＝0 B.x＋2y－5＝0
C.2x－y＝0 D.x－1＝0
4.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A.[－3，－1]
B.[－1,3]
C.[－3,1]
D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
5.如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与x轴相切于原点，则( )
A.E≠0，D＝F＝0
B.D≠0，E≠0，F＝0
C.D≠0，E＝F＝0
D.F≠0，D＝E＝0
6.若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A.0或4 B.0或3
C.－2或6 D.－1或
7.已知直线l：3x＋4y＋m＝0(m>0)被圆C：x2＋y2＋2x－2y－6＝0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m等于( )
A.6 B.8 C.11 D.9
8.圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上到直线l：x＋y＋1＝0的距离为的点有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题
9.已知圆(x＋2)2＋(y－2)2＝a截直线x＋y＋2＝0所得弦长为6，则实数a的值为________.
10.自圆外一点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线PM，PN(M，N为切点)，若∠MPN＝90°，则动点P的轨迹方程是________________.
11.一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________.
三、解答题
12.一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且直线y＝x截圆所得弦长为2，求此圆的方程.
13.设圆上的点A(2,3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为2，求圆的方程.
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14.在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________.
15.已知直线l：2mx－y－8m－3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.
(1)m∈R时，证明l与C总相交；
(2)m取何值时，l被C截得的弦长最短？求此弦长.
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4.2.1 直线与圆的位置关系
第四章 §4.2 直线、圆的位置关系
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.
1
自主学习
PART ONE
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 个 个 个
判断方法 几何法：设圆心到直线的距离为d＝___________ _____ _____ _____
代数法：由
消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ _____ _____ _____
知识点 直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
2
1
0
dd＝r
d>r
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
思考 圆的切线问题列式求解的关键是什么？
答案 圆心到直线的距离等于半径，这是解决这类问题的关键所在.
1.若直线与圆有公共点，则直线与圆相交.( )
2.如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切.( )
3.若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解.( )
4.过半径外端的直线与圆相切.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
√
×
2
题型探究
PART TWO
题型一 直线与圆的位置关系的判断
例1 求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离.
解 圆的方程化为标准形式为(x－3)2＋y2＝4，
反思感悟
直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系.但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
跟踪训练1 已知直线l：x－2y＋5＝0与圆C：(x－7)2＋(y－1)2＝36，判断直线l与圆C的位置关系.
解 方法一 (代数法)
得5x2－50x＋61＝0.
∵Δ＝(－50)2－4×5×61＝1 280>0，
∴该方程组有两组不同的实数解，
即直线l与圆C相交.
方法二 (几何法)
圆心(7,1)到直线l的距离为
∵d题型二 求切线方程
例2 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程.
解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外.
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
引申探究
若本例的条件不变，求其切线长.
解 因为圆心C的坐标为(3,1)，
设切点为B，则△ABC为直角三角形，
又|BC|＝r＝1，
所以切线长为4.
反思感悟
求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目.
(1)求过圆上一点P(x0，y0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k，则由垂直关系，切线斜率为 ，由点斜式方程可求得切线方程.如果k＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y＝y0或x＝x0.
(2)求圆外一点P(x0，y0)的圆的切线时，常用几何方法求解：
设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，进而切线方程即可求出.但要注意，若求出的k值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出.
跟踪训练2 (1)过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为
A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0
C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0
√
解析 x2＋y2－2x－4y＝0的圆心为C(1,2)，
∴切线的斜率k＝－2，
∴切线方程为：y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.
√
(3)过点P(2,3)且与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线的方程为____________.
x＝2或y＝3
解析 P(2,3)在圆(x－1)2＋(y－2)2＝1外，
∴过点P(2,3)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相切的直线有两条.
当斜率存在时，设切线的斜率为k，
则切线方程为y－3＝k(x－2)即kx－y＋3－2k＝0，
∴切线方程为y＝3，
当斜率不存在时，切线方程为x＝2.
弦长问题
核心素养之数学运算与直观想象
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN YU ZHI GUAN XIANG XIANG
典例 (1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l的倾斜角为135°，则弦AB的长为_____.
解析 由题意知直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－1＝0，
(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为 的圆的方程为___________________.
(x－2)2＋(y＋1)2＝4
解析 设圆的半径为r，由条件，得
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.
因为圆心O(0,0)到直线x＝－3的距离恰为3，所以直线x＝－3是符合题意的一条直线.
故直线的方程为3x＋4y＋15＝0.
综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x＝－3和3x＋4y＋15＝0.
素养
评析
(1)求直线与圆相交时的弦长有三种方法
②弦长公式：
通常采用几何法较为简便.
(2)对于弦长的计算要充分利用圆的几何性质，所以这类题目充分考查了数学运算与直观想象的数学核心素养.
3
达标检测
PART THREE
1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是
A.相切 B.相交但直线不过圆心
C.直线过圆心 D.相离
1
2
3
4
5
√
∴直线与圆x2＋y2＝1相交，
又(0,0)不在y＝x＋1上，∴直线不过圆心.
2.若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是
A.－2或12 B.2或－12
C.－2或－12 D.2或12
1
2
3
4
5
√
解析 圆的方程为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
得b＝2或12，故选D.
3.对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是
A.相离 B.相切
C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心
1
2
3
4
5
√
解析 直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，由定点(0,1)在圆x2＋y2＝2内，知直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2一定相交.又直线y＝kx＋1不过圆心(0,0)，则位置关系是相交但直线不过圆心，故选C.
1
2
3
4
5
4.过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________.
2x－y＝0
解析 若所求直线斜率存在，设其方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆
截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于 ＝0，即圆
心(1,2)位于直线kx－y＝0上.于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0(易知直线斜率不存在时不符合题意).
1
2
3
4
5
5.过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为______.
解析 设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.
当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，
1.判断直线与圆位置关系的途径主要有两个：一是圆心到直线的距离与圆的半径进行大小比较；二是直线与圆的方程组成的方程组解的个数.两者相比较，前者较形象、直观，便于运算.
2.与圆有关的弦长、切线问题常利用几何法求解，但注意验证所求直线的斜率不存在的情形，避免漏解.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
