3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
类型一 两条直线的平行关系
例1 (1)直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(1,2)，B(a－1,3)，l1∥l2，则a的值为( )
A．－3 B．1 C. D.
例1.1 已知两条直线y=ax?2和3x?(a+2)y+1=0互相平行，则a等于()
A.1或?3B.?1或3C.1或3D.?1或?3
(2)已知l1经过点A(－3,3)，B(－8,6)，l2经过点M，N，求证：l1∥l2.
跟踪训练1 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)，N(－2，－3)．
类型二 两条直线的垂直关系
例2 判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
跟踪训练2 已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为( )
A．(0，－6) B．(0,7) C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0)
类型三 直线平行与垂直关系的应用
例3 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．
跟踪训练3 已知A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状．
【巩固提升】
一、选择题
1．下列命题中，正确的是( )
A．斜率相等的两条直线一定平行
B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等
C．直线l1：x＝1与直线l2：x＝2不平行
D．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3平行
2．由三条直线l1：2x－y＋2＝0，l2：x－3y－3＝0和l3：6x＋2y＋5＝0围成的三角形是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形
3．若两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
4．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A. B．a C．－ D．－或不存在
5．下列直线中，与已知直线y＝－x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
6．直线l1的倾斜角为α，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角不可能为( )
A．90°－α B．90°＋α C．|90°－α| D．180°－α
二、填空题
7．若经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为1的直线l2平行，则x＝________.
8．已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)，则点D的坐标为____________．
9．已知直线l过点(－2，－3)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．
10．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
三、解答题
11．根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．
(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；
(3)l1经过点A(－1,6)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)．
12．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
13．已知△ABC的顶点分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
14．已知四点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定答案
例1 (1)直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(1,2)，B(a－1,3)，l1∥l2，则a的值为( )
A．－3 B．1 C. D.
例1.1
(2)已知l1经过点A(－3,3)，B(－8,6)，l2经过点M，N，求证：l1∥l2.
【解析】 (1)直线l2的斜率k2＝＝，∵l1∥l2，∴k1＝k2，∴＝，∴a＝.
(2)证明：直线l1的斜率为k1＝＝－，
直线l2的斜率为k2＝＝－，
因为k1＝k2，且kAN＝＝－，
所以l1与l2不重合，所以l1∥l2.
【答案】 (1)C (2)见解析
跟踪训练1 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行．
(1)l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3,2)，N(－2，－3)．
解析：(1)由题意知k1＝＝－，k2＝＝－.
因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝tan60°＝，k2＝＝.
因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合．
例2 判断下列各题中l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3,1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
【解析】 (1)k1＝＝，k2＝＝，k1k2＝1，∴l1与l2不垂直．
(2)k1＝－10，k2＝＝，k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；k2＝＝0，则l2∥x轴，∴l1⊥l2.
跟踪训练2 已知点A(－2，－5)，B(6,6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为( )
A．(0，－6) B．(0,7) C．(0，－6)或(0,7) D．(－6,0)或(7,0)
解析：由题意可设点P的坐标为(0，y)．因为∠APB＝90°，所以AP⊥BP，且直线AP与直线BP的斜率都存在．
又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1，
即·＝－1，解得y＝－6或y＝7.
所以点P的坐标为(0，－6)或(0,7)，故选C.
答案：C
例3 已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，求第四个顶点D的坐标．
【解析】 设第四个顶点D的坐标为(x，y)，
因为AD⊥CD，AD∥BC，
所以kAD·kCD＝－1，且kAD＝kBC.
所以解得或其中不合题意，舍去．
所以第四个顶点D的坐标为(2,3).
跟踪训练3 已知A(0,1)，B(1,0)，C(3,2)，D(2,3)，试判断四边形ABCD的形状．
解析：由题意，可得kAB＝＝－1，kCD＝＝－1，kBC＝＝1，kDA＝＝1，
∵kAB＝kCD，kBC＝kDA，∴AB∥CD，BC∥DA，
∴四边形ABCD为平行四边形．
又∵kAB·kBC＝－1，
∴直线AB与BC垂直，即∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．
[巩固提升]
一、选择题
1．下列命题中，正确的是( )
A．斜率相等的两条直线一定平行
B．若两条不重合的直线l1，l2平行，则它们的斜率一定相等
C．直线l1：x＝1与直线l2：x＝2不平行
D．直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3平行
解析：A错误，斜率相等的两条直线还可能重合．B错误，当两条不重合的直线l1，l2平行时，它们的斜率可能相等，也可能不存在．C错误，直线l1与l2的斜率都不存在，且1≠2，所以两直线平行．D正确，由于直线l1：(－1)x＋y＝2与直线l2：x＋(＋1)y＝3的斜率分别为k1＝1－，k2＝－＝1－，则k1＝k2，所以l1∥l2.
答案：D
2．由三条直线l1：2x－y＋2＝0，l2：x－3y－3＝0和l3：6x＋2y＋5＝0围成的三角形是( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．锐角三角形
解析：kl2＝，kl3＝－3，∴kl2·kl3＝－1，∴l2⊥l3.
答案：A
3．若两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于( )
A．2 B．1
C．0 D．－1
解析：因为两条直线平行，则a＝2－a，得a＝1.
答案：B
4．如果直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则直线l2的斜率为( )
A. B．a
C．－ D．－或不存在
解析：当a≠0时，由l1⊥l2得k1·k2＝a·k2＝－1，∴k2＝－；当a＝0时，l1与x轴平行或重合，则l2与y轴平行或重合，故直线l2的斜率不存在．∴直线l2的斜率为－或不存在．
答案：D
5．下列直线中，与已知直线y＝－x＋1平行，且不过第一象限的直线的方程是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
解析：先看斜率，A、D选项中斜率为－，排除掉；直线与y轴交点需在y轴负半轴上，才能使直线不过第一象限，只有B选项符合．
答案：B
6．直线l1的倾斜角为α，l1⊥l2，则直线l2的倾斜角不可能为( )
A．90°－α B．90°＋α
C．|90°－α| D．180°－α
解析：(1)当α＝0°时，l2的倾斜角为90°(如图1)
(2)当0°<α<90°时，l2的倾斜角为90°＋α.(如图2)
(3)当α＝90°时，l2的倾斜角为0°.(如图3)
(4)当90°<α<180°时，l2的倾斜角为α－90°.(如图4)
答案：无（α=45°，D也可以）
二、填空题
7．若经过两点A(2,3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为1的直线l2平行，则x＝________.
解析：设直线l1的斜率为k，则k＝.∵l1∥l2，∴k＝1＝，∴x＝0.
答案：0
8．已知在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)，则点D的坐标为____________．
解析：设D(a，b)，由平行四边形ABCD，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，即，解得，所以D(－1,6)．
答案：(－1,6)
9．已知直线l过点(－2，－3)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程为________．
解析：直线2x－3y＋4＝0的斜率为，又直线l与该直线垂直，所以直线l的斜率为－.又直线l过点(－2，－3)，因此直线l的方程为3x＋2y＋12＝0.
答案：3x＋2y＋12＝0
10．已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，点D在x轴上，则当点D坐标为________时，AB⊥CD.
解析：设点D(x,0)，因为kAB＝＝4≠0，
所以直线CD的斜率存在．
则由AB⊥CD知，kAB·kCD＝－1，
所以4·＝－1，解得x＝－9.
答案：(－9,0)
三、解答题
11．根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系．
(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0,5)；
(2)l1经过点E(0,1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3,4)，H(2,3)；
(3)l1经过点A(－1,6)，B(1,2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)．
解析：(1)由题意知l1的斜率不存在，且l1不是y轴，l2的斜率也不存在，l2恰好是y轴，所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝＝1，k2＝＝1，虽然k1＝k2，但是kEG＝＝1，即E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合．
(3)直线l1的斜率k1＝＝－2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1与l2垂直．
12．当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行．
解析：(1)由kAB＝＝－1，得2m2＋m－3＝0，解得m＝－或1.
(2)由＝3及垂直关系，得＝－，解得m＝或－3.
(3)令＝＝－2，解得m＝或－1.
经检验m＝－1，m＝均符合题意．
13．已知△ABC的顶点分别为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值．
解析：若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即×＝－1，解得m＝－7；若∠B为直角，则AB⊥BC，
∴kAB·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝3；若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，即×＝－1，解得m＝±2.
综上，m的值为－7，－2,2或3.
14．已知四点A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定图形ABCD的形状．
解析：
由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得kAB＝＝，kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，
所以AB∥CD，
因为kAD≠kBC，所以AD与BC不平行．
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形．3.1.1 倾斜角与斜率
类型一 求直线的倾斜角
例1 求图中各直线的倾斜角．
例1.1（2009秋?合肥校级期末）已知直线（1-k2）x-y+1=0，求这条直线倾斜角的取值范围是
跟踪训练1 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α.如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°得到直线l1，那么l1的倾斜角为( )
A．α＋45° B．α－135°
C．135°－α D．当0°≤α ＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
类型二 直线的斜率
例2 (1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率；
(2)已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率；
(3)求经过两点A(2,3)，B(m,4)的直线的斜率．
跟踪训练2 已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,1)，B(1,1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率．
类型三 直线的倾斜角、斜率的综合应用
例3 已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直接l过点P(3,3)且与线段MN相交，试求l的斜率k的取值范围．
跟踪训练3 已知经过两点A(5，m)和B(m,8)的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围．
【巩固提升】
一、选择题
1．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为( )
A．3 B．－2 C．2 D．不存在
2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4,1)与(－4，－1) B．(0,1)与(1,0)
C．(1,4)与(－1,4) D．(－4,1)与(－4，－1)
3．已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180° C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°
4．直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为( )
A．1 B. C. D．－
5．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
6．给出下列说法：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．
8．已知A(2，－3)，B(4,3)，C三点在同一条直线上，则实数m的值为________．
9．若ab<0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．
10．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．
三、解答题
11．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
12．如图，直线l2的倾斜角α2＝120°，直线l1的倾斜角为α1，直线l1⊥l2，求直线l1的斜率．
13．已知直线l的倾斜角α的取值范围为45°≤α≤135°，求直线l的斜率的取值范围．
求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
3.1.1 倾斜角与斜率答案
例1 【解析】 (1)如图(1)，可知∠OAB为直线l1的倾斜角．易知∠ABO＝30°，∴∠OAB＝60°，即直线l1的倾斜角为60°.
(2)如图(2)，可知∠xAB为直线l2的倾斜角，易知∠OBA＝45°，∴∠OAB＝45°，∴∠xAB＝135°，即直线l2的倾斜角为135°.
(3)如图(3)，可知∠OAC为直线l3的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l3的倾斜角为150°.
例1.1故答案为[0，π/4】∪[π/2,0】
跟踪训练1 答案：D
例2 (1)已知两条直线的倾斜角分别为60°，135°，求这两条直线的斜率；
(2)已知A(3,2)，B(－4,1)，C(0，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率；
(3)求经过两点A(2,3)，B(m,4)的直线的斜率．
【解析】 (1)直线的斜率分别为k1＝tan60°＝，k2＝tan135°＝－1；
(2)直线AB的斜率kAB＝＝；直线BC的斜率kBC＝＝＝－；
直线AC的斜率kAC＝＝＝1.
(3)当m＝2时，直线AB的斜率不存在；当m≠2时，直线AB的斜率为kAB＝＝.
跟踪训练2 已知坐标平面内△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－1,1)，B(1,1)，C(1，－1)，求直线AB，BC，AC的斜率．
解析：kAB＝＝0，kAC＝＝－1.
∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在．
例3 已知两点M(2，－3)，N(－3，－2)，直接l过点P(3,3)且与线段MN相交，试求l的斜率k的取值范围．
【解析】 过点P且与线段MN相交的直线，必在PM与PN之间(含直线PM、PN)．
因为kPN＝，kPM＝6，且在过P点且与线段MN相交的直线中，不含垂直于x轴的直线，所以直线l的斜率k的取值范围为≤k≤6.
跟踪训练3 已知经过两点A(5，m)和B(m,8)的直线的斜率大于1，求实数m的取值范围．
解析：由题意得>1，∴－1>0，
∴>0，即<0，∴5
故m的取值范围为.
【巩固提升】
1．已知直线过点A(0,4)和点B(1,2)，则直线AB的斜率为( )
A．3 B．－2
C．2 D．不存在
解析：由题意可得AB的斜率为k＝＝－2.
答案：B
2．以下两点确定的直线的斜率不存在的是( )
A．(4,1)与(－4，－1) B．(0,1)与(1,0)
C．(1,4)与(－1,4) D．(－4,1)与(－4，－1)
解析：选项A，B，C，D中，只有D选项的横坐标相同，所以这两点确定的直线与x轴垂直，即它们确定的直线的斜率不存在．
答案：D
3．[2019·孝感检测]已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是( )
A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°
C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°
解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
答案：C
4．直线l的倾斜角是斜率为的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为( )
A．1 B.
C. D．－
解析：∵tanα＝，0°≤α<180°，
∴α＝30°，∴2α＝60°，
∴k＝tan2α＝.故选B.
答案：B
5．过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：∵kMN＝＝1，∴m＝1.
答案：A
6．给出下列说法：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180°；②若k是直线的斜率，则k∈R；③任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中说法正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：显然①②③正确，④错误．
答案：C
7．若直线l的斜率k的取值范围是，则该直线的倾斜角α的取值范围是________．
解析：当0≤k<时，因为tan0°＝0，tan30°＝，所以0°≤α<30°.
8．已知A(2，－3)，B(4,3)，C三点在同一条直线上，则实数m的值为________．
解析：因为A、B、C三点在同一条直线上，所以有kAB＝kAC，即＝，解得m＝12.
答案：12
9．若ab<0，则过点P与Q的直线PQ的倾斜角的取值范围是________．
解析：kPQ＝＝<0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ的倾斜角的取值范围为.
答案：
10．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________．
解析：因为直线的倾斜角为钝角，所以1－a≠3，即a≠－2.且<0，
整理得<0，①当a＋2>0时，a－1<0.
解得－20，
此时无解．
综上可得－2答案：(－2,1)
11．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．
解析：(1)存在．直线AB的斜率kAB＝＝1，即tanα＝1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2) 存在．直线CD的斜率kCD＝＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°.
(3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.
12．如图，直线l2的倾斜角α2＝120°，直线l1的倾斜角为α1，直线l1⊥l2，求直线l1的斜率．
解析：由平面几何知识可得α2＝α1＋90°，
所以α1＝α2－90°＝120°－90°＝30°，
所以直线l1的斜率为k＝tan30°＝.
13．已知直线l的倾斜角α的取值范围为45°≤α≤135°，求直线l的斜率的取值范围．
解析：当α＝90°时，l的斜率不存在；
当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k.
当45°≤α＜90°时，k＝tanα∈[1，＋∞)；
当90°＜α≤135°时，k＝tanα∈(－∞，－1]．
∴斜率k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
14．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．
解析：∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，
∴kAB＝＝2，kAC＝＝2.
∴kAB＝kAC.
∵直线AB与直线AC的斜率相同且过同一点A，
∴直线AB与直线AC为同一直线．
故A，B，C三点共线.