(共16张PPT)
高中数学 高三年级
多元变量问题
聚焦高考：
2011年浙江16
设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是
方法一：基本不等式法
聚焦高考：
2011年浙江16
设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是
方法二：换元法一，由于所求结论是线性关系，所以可以进行换元求解
聚焦高考：
2011年浙江16
设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是
方法三：换元法二，由于所给条件是二元二次方程，因此可以进行三角换元求解
方法总结：
针对二元变量求最值的问题，基本思路可以考虑使用基本不等式、消元构造函数或使用换元法进行求解
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
消元法：由于条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值．本题中消去y较容易，所以消去y.
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
实战典例
从而
当且仅当 时 ，等号成立。
解析：（方法一）消元法
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
基本不等式法：由于所求的结论为x2＋y2，因此可以将条件应用基本不等式构造出x2＋y2，然后将x2＋y2求解出来即可．
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
(方法二）基本不等式法
由 x2＋2xy－1＝0得
其中mn=1,(m,n>0)，所以
令m+1=n，即可构造出
可以解出
所以
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
换元法：由于条件与结论均为二元二次的关系，因此可以使用三角换元法进行求解。
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
(方法三）换元法一：
实战典例
若实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是___
(方法四）换元法二：
已知实数x,y满足x2-4xy-5y2=5，则x2+2y2的最小值为
方法迁移
由于所给条件与结论均为二元二次形式，所以本题比较适合于三角换元进行求解
已知实数x,y满足x2-4xy-5y2=5，则x2+2y2的最小值为
方法迁移
总结提升
由前面三个题来看，所给条件均为二元二次方程，如果能进行消元，则可以转化为函数求最值，如果不方便消元，那么可以进行三角换元，其使用的公式为
而在比较方便使用基本不等式进行构造的时候还可以考虑用不等式整体进行求解。而从所求结论来看，一次的可以换元后结合条件利用方程有解求得最值，而二次式也可以通过三角换元进行求解。多元变量问题在高考中属于难度较大的题型之一，把握好式子的特点对方法进行合理灵活的应用是解决问题的关键。
或
来进行
谢谢收看多元变量问题巩固练习
1. 已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值是________．
2. 若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为________．
3. 已知m，n，s，t∈(0，＋∞)，m＋n＝2，＋＝9，其中m，n是常数，且s＋t的最小值是，满足条件的点(m，n)是圆(x－2)2＋(y－2)2＝4中一弦的中点，那么此弦所在直线的方程为________．
4. 已知a，b为正实数，且a＋b＝1，那么＋的最小值为________．
[来源:学科网ZXXK]
5. 若a2－ab＋b2＝1，a，b是实数，则a＋b的最大值是________．
6. 已知正实数x，y满足x＋＋3y＋＝10，那么xy的取值范围为________．
答案：1：7；
2：4
3：
4：
5：2
6：
