中小学教育资源及组卷应用平台
4.2.2 圆与圆的位置关系
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是( )
A.外切 B.内切 C.相交 D.外离
答案 B
解析 圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0变形为(x－7)2＋(y－1)2＝36，圆心坐标为(7,1)，半径为r1＝6，圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1的圆心坐标为(3，－2)，半径为r2＝1，所以圆心距d＝＝5＝6－1＝r1－r2，所以两圆内切.
2.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为( )
A.(1,0)和(0,1) B.(1,0)和(0，－1)
C.(－1,0)和(0，－1) D.(－1,0)和(0,1)
答案 C
解析 由
解得或
所以两圆的交点坐标为(－1,0)和(0，－1).
3.圆x2＋y2＝4与圆(x－4)2＋(y－7)2＝1公切线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 D
解析 圆x2＋y2＝4的圆心O1(0,0)，半径r1＝2，圆(x－4)2＋(y－7)2＝1的圆心O2(4,7)，半径r2＝1，
则d＝|O1O2|＝＝>r1＋r2＝3.
所以这两圆的位置关系是外离，有4条公切线.
4.若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A.2 B.－5
C.2或－5 D.不确定
答案 C
解析 两圆的圆心坐标分别为(－2，m)，(m，－1)，
两圆的半径分别为3,2，
由题意得＝3＋2，
解得m＝2或－5.
5.设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A.内切 B.相交
C.内切或内含 D.外切或外离
答案 D
解析 两圆的圆心距为d＝＝，
两圆的半径之和为r＋4，
因为所以两圆不可能外切或外离，故选D.
6.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A.4 B.4 C.8 D.8
答案 C
解析 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，
∴两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等.
设两圆的圆心坐标分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，
∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8.
7.若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A.r<＋1 B.r>＋1
C.|r－|≤1 D.|r－|<1
答案 C
解析 由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得
(x＋1)2＋(y－2)2＝1，
两圆圆心之间的距离为＝.
∵两圆有公共点，
∴|r－1|≤ ≤r＋1，
∴－1≤r≤＋1，
即－1≤r－≤1，∴|r－|≤1.
8.点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A.5 B.1
C.3－5 D.3＋5
答案 C
解析 圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为C1(4,2)；圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为C2(－2，－1)，两圆外离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3－5.
二、填空题
9.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________.
答案 a2＋b2>3＋2
解析 由题意可得两圆的圆心坐标和半径长分别为(a,0)，和(0，b)，1.因为两圆外离，所以>＋1，
即a2＋b2>3＋2.
10.圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________.
答案 2
解析 由圆C1与圆C2的公共弦所在的直线l的方程为x－y＋1＝0，得点C1(1,0)到直线l的距离为d＝＝，圆C1的半径为r1＝3，所以圆C1与圆C2的公共弦长为2＝2＝2.
11.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________.
答案 x2＋y2－x－y－＝0
解析 由已知可设所求圆的方程为x2＋y2－2＋λ(x＋y＋1)＝0，将(1,2)代入，可得λ＝－，故所求圆的方程为x2＋y2－x－y－＝0.
三、解答题
12.已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1).
若圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB＝2，求圆O2的方程.
解 设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
将两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0，
作O1H⊥AB，H为垂足，则AH＝AB＝，
所以O1H＝＝＝.
由圆心O1(0，－1)到直线4x＋4y＋r－8＝0的距离为
＝，得r＝4或r＝20，
故圆O2的方程为
(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
13.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解 两圆的标准方程为：(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋，
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因定圆的半径小于两圆圆心间距离5，故只有－＝5，解得m＝25－10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，
∴公共弦长为2
＝2.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\看幻灯片\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMATINET
14.集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________.
答案 3或7
解析 ∵A∩B中有且仅有一个元素，
∴圆x2＋y2＝4与圆(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切.
当两圆内切时，由＝|2－r|，解得r＝7；
当两圆外切时，由＝2＋r，解得r＝3.
∴r＝3或7.
15.已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程.
解 由两圆的方程相减，得公共弦所在直线的方程为x－y＝0.
∵圆C1：(x＋2)2＋y2＝3，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝1，
圆心C1(－2,0)，C2(－1，－1)，
∴两圆连心线所在直线的方程为＝，
即x＋y＋2＝0.
由得所求圆的圆心坐标为(－1，－1).
又圆心C1(－2,0)到公共弦所在直线x－y＝0的距离
d＝＝，
∴所求圆的半径r＝＝1，
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
4.2.2 圆与圆的位置关系
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.圆(x－3)2＋(y＋2)2＝1与圆x2＋y2－14x－2y＋14＝0的位置关系是( )
A.外切 B.内切 C.相交 D.外离
2.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为( )
A.(1,0)和(0,1) B.(1,0)和(0，－1)
C.(－1,0)和(0，－1) D.(－1,0)和(0,1)
3.圆x2＋y2＝4与圆(x－4)2＋(y－7)2＝1公切线的条数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为( )
A.2 B.－5
C.2或－5 D.不确定
5.设r>0，圆(x－1)2＋(y＋3)2＝r2与圆x2＋y2＝16的位置关系不可能是( )
A.内切 B.相交
C.内切或内含 D.外切或外离
6.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A.4 B.4 C.8 D.8
7.若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A.r<＋1 B.r>＋1
C.|r－|≤1 D.|r－|<1
8.点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A.5 B.1
C.3－5 D.3＋5
二、填空题
9.若圆x2＋y2－2ax＋a2＝2和x2＋y2－2by＋b2＝1外离，则a，b满足的条件是________________.
10.圆C1：x2＋y2－2x－8＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－4y－4＝0的公共弦长为________.
11.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为________________.
三、解答题
12.已知圆O1：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2,1).
若圆O2与圆O1交于A，B两点，且AB＝2，求圆O2的方程.
13.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切？
(2)m取何值时两圆内切？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\张潇\\2019\\同步\\看幻灯片\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMATINET
14.集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0 ，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是__________.
15.已知圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0和圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0，求以圆C1与圆C2的公共弦为直径的圆的方程.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共36张PPT)
4.2.2 圆与圆的位置关系
第四章 §4.2 直线、圆的位置关系
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解圆与圆的位置关系的种类.
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系.
3.体会根据圆的对称性灵活处理问题的方法和它的优越性.
1
自主学习
PART ONE
知识点 两圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种，分别为 、 、 、 、 .
外离
外切
相交
内切
内含
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示 ? ? ? ? ?
d与r1，r2的关系 d> r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|< d(2)代数法：设两圆的一般方程为
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
1.如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.( )
2.如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.( )
3.从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.
( )
4.若两圆有公共点，则|r1－r2|≤d≤r1＋r2.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
题型一 两圆位置关系的判断
例1 (1)已知圆C1：x2＋y2－2x＋4y＋4＝0和圆C2：4x2＋4y2－16x＋8y＋19＝0，则这两个圆的公切线的条数为
A.1或3 B.4
C.0 D.2
√
(2)圆(x＋2)2＋(y－2)2＝1与圆(x－2)2＋(y－5)2＝16的位置关系为_______.
外切
解析 两圆的圆心分别为O1(－2,2)，O2(2,5)，半径分别为r1＝1，r2＝4，
所以两圆相外切.
反思感悟
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.
跟踪训练1 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，当m为何值时，分别满足下列情况：
(1)圆C1与圆C2外切；
解 易得圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，
圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.
所以m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.
如果圆C1与圆C2外切，
(2)圆C1与圆C2内含.
所以m2＋3m＋2<0，解得－2解 如果圆C1与圆C2内含，
题型二 两圆的公共弦问题
例2 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
解 将两圆方程配方化为标准方程，则
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
∴|r1－r2|<|C1C2|∴两圆相交.
(2)求公共弦所在的直线方程；
解 将两圆方程相减，
得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)求公共弦的长度.
方法二 设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
反思感悟
(1)当两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
√
(2)圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的公共弦所在的直线被圆C3：(x－1)2＋(y－1)2＝ 所截得的弦长为_____.
解析 由题意将两圆的方程相减，
可得圆C1和圆C2公共弦所在的直线l的方程为
x＋y－1＝0.
又圆C3的圆心坐标为(1,1)，
设圆C3的半径为r，
圆系方程的应用
核心素养之数学运算
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN
典例 (1)求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程.
解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x.
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点坐标分别为A(－1，－1)，B(3,3)，
线段AB的垂直平分线所在的直线方程为y－1＝－(x－1).
即所求圆的圆心坐标为(3，－1)，
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
(2)求过直线x＋y＋4＝0与圆x2＋y2＋4x－2y－4＝0的交点且与直线y＝x相切的圆的方程.
解 设所求圆的方程为x2＋y2＋4x－2y－4＋λ(x＋y＋4)＝0.
得x2＋(1＋λ)x＋2(λ－1)＝0.因为所求圆与直线y＝x相切，所以Δ＝0，即(1＋λ)2－8(λ－1)＝0，解得λ＝3，
故所求圆的方程为x2＋y2＋7x＋y＋8＝0.
素养
评析
(1)当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可.
(2)理解运算对象，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果，体现了数学运算的数学核心素养.
3
达标检测
PART THREE
1.已知两圆x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么这两个圆的位置关系是
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
1
2
3
4
5
√
2.若圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则
A.E＝－4，F＝8 B.E＝4，F＝－8
C.E＝－4，F＝－8 D.E＝4，F＝8
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
①－②可得4x＋Ey－F－4＝0，
由两圆的公共弦所在的直线方程为x－y＋1＝0，
3.圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是
A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0
C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0
1
2
3
4
5
√
解析 AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心(2，－3)代入，即可排除A，B，D.
1
2
3
4
5
4.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是_________________________________________.
(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
1
2
3
4
5
解析 设圆C的半径为r，
当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，r＝4，
当圆C与圆O内切时，r－1＝5，r＝6，
∴圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16
或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
1
2
3
4
5
5.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为 ，则a＝____.
1
1.判断两圆的位置关系的方法
(1)由两圆的方程组成的方程组有几个实数解确定，这种方法计算量比较大，一般不用.
(2)依据圆心距与两圆半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系.
2.当两圆相交时，把两圆的方程作差消去x2和y2就得到两圆的公共弦所在的直线方程.
3.求弦长时，常利用圆心到弦所在的直线的距离求弦心距，再结合勾股定理求弦长.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
