中小学教育资源及组卷应用平台
4.2.3 直线与圆的方程的应用
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是( )
A. B. C. D.π
答案 D
解析 数形结合，所求面积是圆x2＋y2＝4面积的.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P557.TIF" \* MERGEFORMAT
2.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A.36 B.18 C.6 D.5
答案 C
解析 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，
圆心为(2,2)，半径为3.
圆心(2,2)到直线x＋y－14＝0的距离为＝5>3，所以圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2r＝6.
3.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，则实数a的值是( )
A.－1 B.－2 C.－3 D.－4
答案 B
解析 圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0，即
(x＋1)2＋(y－1)2＝2－2a，
故弦心距d＝＝，
再由弦心距，半弦长和半径的关系可得2－2a＝2＋4，
∴a＝－2.
4.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
答案 B
解析 如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P558.TIF" \* MERGEFORMAT
5.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A.2 B.1 C. D.
答案 B
解析 x2＋y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，又点(0,0)在圆内，所以由几何意义可知最小值为14－＝1.
6.若方程＝kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是( )
A.k＝±
B.k∈(－2,2)
C.k<－2或k>2
D.k<－2或k>2或k＝±
答案 D
解析 方程＝kx＋2有唯一解等价于y＝与y＝kx＋2有唯一公共点.由图象(图略)知选D.
7.如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是( )
A.(－2，0)∪(0,2) B.(－2，2)
C.(－1,0)∪(0,1) D.(－1,1)
答案 A
解析 ∵圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，
∴圆O：x2＋y2＝4与圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝1相交.
|OC|＝，
由2－1<|OC|<2＋1，得1<<3，
∴0<|a|<2，
∴－2
8.已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是( )
A.[－3，3] B.[－3,3]
C.(－3,3] D.[－3，3)
答案 C
解析 数形结合法，注意y＝，y≠0等价于x2＋y2＝9(y>0)，
它表示的图形是圆x2＋y2＝9在x轴之上的部分(如图所示).
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P559.TIF" \* MERGEFORMAT
结合图形不难求得，
当－3直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)有公共点.
二、填空题
9.已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.
答案
解析 ∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，，∴切线与坐标轴围成的三角形的面积为.
10.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________________.
答案 x＋y－2＝0
解析 由题意知，点P(1,1)在圆x2＋y2＝4内，
则过点P截得的弦最短的直线将圆面分成的两部分面积之差最大，
则所求直线与圆心O和P(1,1)的连线垂直，
∴该直线斜率为－1，
由点斜式方程，得y－1＝－(x－1)，
即x＋y－2＝0.
11.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h.
答案 1
解析 如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，可求得|MN|＝20，
所以时间为1 h.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P560.TIF" \* MERGEFORMAT
三、解答题
12.已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动.
(1)求的最大值与最小值；
(2)求2x＋y的最大值与最小值.
解 (1)设＝k，即kx－y－2k＋1＝0，
则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率.
当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值.
由＝1，解得k＝±，
∴的最大值为，最小值为－.
(2)设2x＋y＝m，则m表示直线2x＋y＝m在y轴上的截距.
当该直线与圆相切时，m取得最大值与最小值.
由＝1，解得m＝1±，
∴2x＋y的最大值为1＋，最小值为1－.
13.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P561.TIF" \* MERGEFORMAT
解 以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系，则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B(8,0)，C(0,8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P562.TIF" \* MERGEFORMAT
当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成的切点处时，DE为最短距离.此时DE的最小值为－1＝(4－1)km.
答 DE的最短距离为(4－1)km.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
14.若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[2－，1] B.[2－，2＋]
C. D.[0，＋∞)
答案 B
解析 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，
则圆心为(2,2)，半径为3.
由圆上至少有三个不同的点到直线l的距离为2，
可得圆心到直线l的距离d≤3－2＝，
即≤，
则a2＋b2＋4ab≤0.①
若b＝0，则a＝0，不符合题意，
所以b≠0，则①式可化为1＋2＋4≤0.②
又直线l的斜率k＝－，所以②式可化为1＋k2－4k≤0，解得k∈[2－，2＋].
15.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P563.TIF" \* MERGEFORMAT
解 如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P564.TIF" \* MERGEFORMAT
则A(40,0)，B(0,30)，
圆O方程为x2＋y2＝252.
直线AB方程为＋＝1，
即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，
则d＝＝24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到.
设监测时间为t，
则t＝＝0.5(h).
答 外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
4.2.3 直线与圆的方程的应用
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.y＝|x|的图象和圆x2＋y2＝4在x轴上方所围成的图形的面积是( )
A. B. C. D.π
2.圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )
A.36 B.18 C.6 D.5
3.已知圆x2＋y2＋2x－2y＋2a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦长为4，则实数a的值是( )
A.－1 B.－2 C.－3 D.－4
4.设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为( )
A.6 B.4 C.3 D.2
5.若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A.2 B.1 C. D.
6.若方程＝kx＋2有唯一解，则实数k的取值范围是( )
A.k＝±
B.k∈(－2,2)
C.k<－2或k>2
D.k<－2或k>2或k＝±
7.如果圆(x－a)2＋(y－1)2＝1上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a的取值范围是( )
A.(－2，0)∪(0,2) B.(－2，2)
C.(－1,0)∪(0,1) D.(－1,1)
8.已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是( )
A.[－3，3] B.[－3,3]
C.(－3,3] D.[－3，3)
二、填空题
9.已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积为________.
10.过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为__________________.
11.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为________h.
三、解答题
12.已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动.
(1)求的最大值与最小值；
(2)求2x＋y的最大值与最小值.
13.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路上的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P561.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
14.若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：ax＋by＝0的距离为2，则直线l的斜率的取值范围是( )
A.[2－，1] B.[2－，2＋]
C. D.[0，＋∞)
15.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P563.TIF" \* MERGEFORMAT
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
4.2.3 直线与圆的方程的应用
第四章 §4.2 直线、圆的位置关系
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解直线与圆的位置关系的几何性质.
2.会建立平面直角坐标系，利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题.
3.会用“数形结合”的数学思想解决问题.
1
自主学习
PART ONE
知识点一 利用直线与圆的方程解决实际问题
解决此类问题的一般程序是：仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验，给出实际问题的答案.
解决此类问题的基本步骤：
(1)阅读理解，认真审题，了解问题的实际情境，把握问题的数学本质.
(2)引进数学符号，具体分析问题中的数量关系，正确建立数学模型，将实际问题转化为数学问题.
(3)利用数学方法将得到的数学问题(数学模型)予以解答，求得结果.
(4)转化为具体问题，做出解答.
知识点二 利用直线与圆的方程解决平面几何问题
平面解析几何的基本思想方法是利用平面直角坐标系，把点用 表示，直线、圆等用 表示，并用 方法研究几何问题，这就是人们常说的“坐标法”，这种方法与平面几何中的综合法以及将来要学习的向量法都可以建立联系，另外还可以推广到空间去解决立体几何问题.
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”是：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题.
第二步：通过代数运算，解决代数问题.
第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论.
坐标
方程
代数
1.用坐标方法解决平面几何问题时，平面直角坐标系建立的位置与解题过程无关.
( )
2.圆O上一动点M与圆O外一定点P的距离的最小值为|PO|－|OM|.( )
3.已知点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1＝x2，y1≠y2，则PQ与x轴垂直.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
题型一 直线与圆的方程的应用
例1 某圆拱桥的水面跨度20 m，拱高4 m.现有一船，宽10 m，水面以上高3 m，这条船能否从桥下通过？
解 建立如图所示的坐标系.
依题意，有A(－10,0)，B(10,0)，
P(0,4)，D(－5,0)，E(5,0).
设圆拱桥所在圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
解此方程组，
得a＝0，b＝－10.5，r＝14.5.
所以这座圆拱桥的拱圆的方程是
x2＋(y＋10.5)2＝14.52(0≤y≤4).
把点D的横坐标x＝－5代入上式，得y≈3.1.
由于船在水面以上高3 m,3<3.1，
所以该船可以从桥下通过.
反思感悟
解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.
(2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
跟踪训练1 如图为一座圆拱桥的截面图，当水面在某位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降1 m后，水面宽为______米.
解析 如图，以圆拱桥顶为坐标原点，以过圆拱顶点的竖直直线为y轴，建立直角坐标系.
设圆心为C，圆的方程设为x2＋(y＋r)2＝r2(r>0)，水面所在弦的端点为A，B，则A(6，－2).将A(6，－2)代入圆的方程，得r＝10，
题型二 与圆有关的最值问题
例2 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值.
解 x2＋y2表示圆上的点与原点间距离的平方，由平面几何知识知，
它在原点与圆心所连直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，
又圆心到原点的距离为2，
反思感悟
利用直线与圆的方程解决最值问题的方法
(1)由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的几何量有斜率、截距、距离等.
(2)转化成函数解析式，利用函数的性质解决.
跟踪训练2 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点.
对上式整理得kx－y－k＋2＝0，
(2)求x－2y的最大值与最小值.
解 令u＝x－2y，则u＝x－2y可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.
坐标法的应用
核心素养之数学建模与数学运算
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE JIAN MO YU SHU XUE YUN SUAN
典例 用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则该四边形的对角线互相垂直.
已知：四边形ABCD，AB2＋CD2＝BC2＋AD2.
求证：AC⊥BD.
证明 如图，以AC所在的直线为x轴，过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系，
设顶点坐标分别为A(a,0)，B(0，b)，C(c,0)，D(x，y)，
∵AB2＋CD2＝BC2＋AD2，
∴a2＋b2＋(x－c)2＋y2＝b2＋c2＋(x－a)2＋y2，
∴(a－c)x＝0，∵a≠c即a－c≠0，
∴x＝0，∴D在y轴上，∴AC⊥BD.
素养
评析
(1)坐标法建立直角坐标系应坚持的原则
①若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴.
②充分利用图形的对称性.
③让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称.
④关键点的坐标易于求得.
(2)通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，通过代数运算，求得结果.所以本例充分体现了数学建模和数学运算的数学核心素养.
3
达标检测
PART THREE
1.已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为
1
2
3
4
5
√
2.已知圆C：x2＋y2＋mx－4＝0上存在两点关于直线x－y＋3＝0对称，则实数m的值是
A.8 B.－4 C.6 D.无法确定
1
2
3
4
5
√
解析 因为圆上两点A，B关于直线x－y＋3＝0对称，
3.一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为
A.2.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2.0米
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
解析 以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
易知半圆所在的圆的方程为x2＋y2＝3.62(y≥0)，
由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，
此时x＝0.8或x＝－0.8，代入x2＋y2＝3.62，
得y≈3.51(负值舍去).
1
2
3
4
5
4.圆过点A(1，－2)，B(－1,4)，则周长最小的圆的方程为__________________.
x2＋y2－2y－9＝0
解析 当AB为直径时，过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.
即AB中点(0,1)为圆心，
则圆的方程为x2＋(y－1)2＝10，即x2＋y2－2y－9＝0.
1
2
3
4
5
5.如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥的直径为____米.
13
解析 设圆心为O，半径为r，
则由勾股定理得，|OB|2＝|OD|2＋|BD|2，
所以拱桥的直径为13米.
1.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学研究中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有用坐标法解决几何问题的意识，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
2.利用直线与圆的方程解决最值问题的关键是由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的有关知识并结合图形的几何量值关系分析、解决问题.