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4.3 空间直角坐标系
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是( )
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P569.TIF" \* MERGEFORMAT
A.(1,0,0)
B.(1,0,1)
C.(1,1,1)
D.(1,1,0)
答案 C
解析 点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1,1,1)，故选C.
2.点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A.在x轴上 B.在xOy平面内
C.在yOz平面内 D.在xOz平面内
答案 C
解析 ∵点A的横坐标为0，
∴点A(0，－2,3)在yOz平面内.
3.设点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点的距离为( )
A.10 B. C. D.38
答案 A
解析 ∵点B是A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，∴点B的横坐标和纵坐标与点A相同，竖坐标相反，∴B(2，－3，－5)，∴AB的长度是5－(－5)＝10.故选A.
4.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与B(2，－1,6)间的距离是( )
A. B.9 C.2 D.2
答案 A
解析 |AB|＝＝.
5.设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为( )
A.(1,0,0) B.(－1,0,0)
C.(1,0,0)或(0，－1,0) D.(1,0,0)或(－1,0,0)
答案 D
解析 因为点P在x轴上，
所以设点P的坐标为(x,0,0).
由题意，知|PP1|＝2|PP2|，
所以
＝2.
解得x＝±1.
所以点P的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0).
6.在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )
A.关于x轴对称 B.关于yOz平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
答案 C
解析 当三个坐标均相反时，两点关于原点对称.
7.在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
A.(0，，0) B.(0，，)
C.(1,0，) D.(1，，0)
答案 B
解析 由于垂足在平面yOz上，所以纵坐标，竖坐标不变，横坐标为0.
8.在空间直角坐标系中，若以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值是( )
A.－2 B.2
C.6 D.2或6
答案 D
解析 依题意有|AB|＝|AC|，
即＝，即x2－8x＋12＝0，解得x＝2或x＝6.
二、填空题
9.已知平行四边形ABCD的两个顶点的坐标分别为A(2，－3，－5)，B(－1,3,2)，对角线的交点是E(4，－1,7)，则C，D的坐标分别为________________.
答案 (6,1,19)，(9，－5,12)
解析 由题意知，E为AC与BD的中点，利用中点坐标公式，可得C(6,1,19)，D(9，－5,12).
10.如果点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是________.
答案 或
解析 设P(0,0，z)，
由|PO|＝＝1，
得z＝±1，
∴P(0,0,1)或P(0,0，－1)，
则|PA|＝或.
11.空间直角坐标系中，z轴上到点(1,0,2)和(1，－3,1)距离相等的点的坐标是________.
答案 (0,0，－3)
解析 设所求点的坐标为(0,0，c)，
由所求点到点(1,0,2)和(1，－3,1)的距离相等，
得12＋02＋(2－c)2＝(1－0)2＋(－3－0)2＋(1－c)2，
解得c＝－3，即所求点的坐标为(0,0，－3).
三、解答题
12.在yOz平面上求与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点P的坐标.
解 设P(0，y，z).
由题意
所以
即解得
所以点P的坐标为(0,1，－2).
13.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，射线OM，ON，OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P570.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\探究与拓展.TIF" \* MERGEFORMAT
14.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________.
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\P571.TIF" \* MERGEFORMAT
答案
解析 由题意知A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c).
由重心坐标公式得点G的坐标为.
15.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3).试问：
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解 (1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.
因为M在y轴上，所以可设M(0，y,0).
由|MA|＝|MB|，得
＝，
显然，此式对任意y∈R恒成立，
即y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形.
由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，
所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形.
因为|MA|＝
＝，
|AB|＝＝2，
所以＝2，解得y＝±，
故y轴上存在点M使△MAB是等边三角形，点M的坐标为(0，，0)或(0，－，0).
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4.3 空间直角坐标系
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则点B1的坐标是( )
A.(1,0,0)
B.(1,0,1)
C.(1,1,1)
D.(1,1,0)
2.点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( )
A.在x轴上 B.在xOy平面内
C.在yOz平面内 D.在xOz平面内
3.设点B是点A(2，－3,5)关于xOy平面的对称点，则A，B两点的距离为( )
A.10 B. C. D.38
4.空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与B(2，－1,6)间的距离是( )
A. B.9 C.2 D.2
5.设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为( )
A.(1,0,0) B.(－1,0,0)
C.(1,0,0)或(0，－1,0) D.(1,0,0)或(－1,0,0)
6.在空间直角坐标系中，P(2,3,4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是( )
A.关于x轴对称 B.关于yOz平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
7.在空间直角坐标系中，已知点P(1，，)，过点P作平面yOz的垂线PQ，则垂足Q的坐标为( )
A.(0，，0) B.(0，，)
C.(1,0，) D.(1，，0)
8.在空间直角坐标系中，若以点A(4,1,9)，B(10，－1,6)，C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为底边的等腰三角形，则实数x的值是( )
A.－2 B.2
C.6 D.2或6
二、填空题
9.已知平行四边形ABCD的两个顶点的坐标分别为A(2，－3，－5)，B(－1,3,2)，对角线的交点是E(4，－1,7)，则C，D的坐标分别为________________.
10.如果点P在z轴上，且满足|PO|＝1(O是坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离是________.
11.空间直角坐标系中，z轴上到点(1,0,2)和(1，－3,1)距离相等的点的坐标是________.
三、解答题
12.在yOz平面上求与点A(3,1,2)，B(4，－2，－2)，C(0,5,1)等距离的点P的坐标.
13.如图所示，过正方形ABCD的中心O作OP⊥平面ABCD，已知正方形的边长为2，OP＝2，连接AP，BP，CP，DP，M，N分别是AB，BC的中点，以O为原点，射线OM，ON，OP分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E，F分别为PA，PB的中点，求点A，B，C，D，E，F的坐标.
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14.如图是一个正方体截下的一角P－ABC，其中|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c.建立如图所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是________.
15.在空间直角坐标系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，－3).试问：
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
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§4.3 空间直角坐标系
第四章 圆与方程
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.
2.掌握空间两点间的距离公式.
1
自主学习
PART ONE
知识点一 空间直角坐标系
1.空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，
且有相同单位长度的数轴： ，这时我们说建立了一个______________
.
(2)相关概念： 叫做坐标原点， 叫做坐标轴，通过 ____________
的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面.
2.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
x轴、y轴、z轴
空间直角坐标系
Oxyz
点O
x轴、y轴、z轴
每两个坐标轴
xOy
yOz
zOx
x轴
y轴
z轴
3.空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用 来表示， 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点M的横坐标， 叫做点M的纵坐标， 叫做点M的竖坐标.
有序实数组(x，y，z)
有序实数组(x，y，z)
M(x，y，z)
x
y
z
知识点二 空间两点间的距离
1.空间两点间的距离公式
(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝___________.
(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离
|P1P2|＝___________________________.
2.空间中的中点坐标公式
在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标是
_____________________.
1.空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定是(0，b，c)的形式.( )
2.空间直角坐标系中，在xOz平面内的点的坐标一定是(a，0，c)的形式.( )
3.关于坐标平面yOz对称的点其纵坐标、竖坐标保持不变，横坐标相反.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
题型一 求空间中点的坐标
例1 (1)画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，若以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系，则
①顶点A，C的坐标分别为______________；
②棱C1C中点的坐标为__________；
③正方形AA1B1B对角线的交点的坐标为__________.
(0,0,0)，(1,1,0)
(2)已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
解 ∵正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，
以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
反思感悟
(1)建立空间直角坐标系时，应遵循的两个原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.
②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点M的坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足M′，求M′的横坐标x，纵坐标y，即点M的横坐标x，纵坐标y，再求M点在z轴上射影的竖坐标z，即为M点的竖坐标z，于是得到M点的坐标(x，y，z).
跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且|CG|＝ |CD|，H为C1G的中点，试建立适当的坐标系，写出E，F，G，H的坐标.
解 建立如图所示的空间直角坐标系.
点E在z轴上，它的x坐标、y坐标均为0，
而E为DD1的中点，
由F作FM⊥AD，FN⊥CD，垂足分别为M，N，
题型二 空间中点的对称问题
例2 在空间直角坐标系中，已知点P(－2,1,4).
(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；
解 由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴，z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4).
(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；
解 由点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1,－4).
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标.
解 设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，
由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3的坐标为(6，－3，－12).
反思感悟
(1)空间中点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论.
跟踪训练2 已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________.
(2,－3,1)
解析 点P(2,3,－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2,－3,1).
题型三 空间中两点间的距离
例3 已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：
(1)线段MN的长度；
(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件.
解 因为点P(x，y，z)到M，N两点的距离相等，
所以有下面等式成立：
化简得x＋y－2z＋3＝0，
因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.
反思感悟
(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.
(2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算
跟踪训练3 已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.
解 如图，以A为原点，AB，AC，AA1分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，
则B(4,0,0)，C1(0,4,4)，A1(0,0,4)，B1(4,0,4).
因为M为BC1的中点，
即M(2,2,2)，
又N为A1B1的中点，所以N(2,0,4).
所以由两点间的距离公式得
3
达标检测
PART THREE
1.在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面yOz的距离是
A.1 B.2 C.3 D.
1
2
3
4
5
√
6
2.已知点A(1,1,1)，B(3,3,3)，点P在x轴上，且|PA|＝|PB|，则P点坐标为
A.(6,0,0) B.(6,0,1)
C.(0,0,6) D.(0,6,0)
1
2
3
4
5
√
由|PA|＝|PB|，得x＝6.
6
3.在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝____.
1
2
3
4
5
解析 由点(x，y，z)关于y轴的对称点是(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，
所以a＝1，c＝0，
6
1
2
3
4
5
4.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为__________；点P关于z轴的对称点P2的坐标为___________.
(1,1,－1)
(－1,－1,1)
解析 点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1，－1)，点P关于z轴的对称点P2的坐标为(－1，－1,1).
6
1
2
3
4
5
5.在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且点M到点A与到点B的距离相等，则点M的坐标为___________.
(0,－1,0)
解析 设点M的坐标为(0，y,0)，
由|MA|＝|MB|，
得(0－1)2＋(y－0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y＋3)2＋(0－1)2，
整理得6y＋6＝0，
∴y＝－1，即点M的坐标为(0，－1,0).
6
1
2
3
4
5
6.在空间直角坐标系中，已知点P(1,0,1)，Q(4,3，－1)，在z轴上是否存在一点M，使|MP|＝|MQ|？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解 假设在z轴上存在点M，设为M(0,0，z).
由|MP|＝|MQ|，得
两边平方整理得z2－2z＋2＝z2＋2z＋26，即z＝－6.
所以在z轴上存在一点M(0,0，－6)，使|MP|＝|MQ|.
6
1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力.
2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.
3.在导出空间两点间的距离公式的过程中体会转化与化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
