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圆与方程章末复习
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )
A.(x－3)2＋(y＋4)2＝16
B.(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C.(x－3)2＋(y＋4)2＝9
D.(x＋3)2＋(y－4)2＝9
答案 B
2.已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
答案 B
3.两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 C
解析 两圆的标准方程分别为(x－3)2＋(y＋8)2＝121；
(x＋2)2＋(y－4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为
C1(3，－8)，r1＝11；C2(－2,4)，r2＝8.
圆心距为|C1C2|＝＝13.
∵r1－r2<|C1C2|∴两圆相交，则公切线共2条.
4.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
答案 B
解析 由垂径定理得2＋()2＝a2，解得a2＝4，
∴圆M：x2＋(y－2)2＝4，
∴圆M与圆N的圆心距d＝＝.
∵2－1<<2＋1，∴两圆相交.
5.圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
A.1 B.2 C. D.2
答案 C
6.圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦长的最大值为( )
A.2 B.2
C. D.1
答案 B
解析 由题意得，两圆的标准方程分别为
(x＋a)2＋(y＋a)2＝1和(x＋b)2＋(y＋b)2＝2，
两圆的圆心坐标分别为(－a，－a)，(－b，－b)，
半径分别为1，，
则当公共弦为圆(x＋a)2＋(y＋a)2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.
二、填空题
7.设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________.
答案 4π
解析 x2＋y2－2ay－2＝0，即x2＋(y－a)2＝a2＋2，
则圆心为C(0，a).
又|AB|＝2，C到直线y＝x＋2a的距离为，
所以2＋2＝a2＋2，
得a2＝2，所以圆C的面积为π(a2＋2)＝4π.
8.已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
答案 4
解析 联立消去x得y2－3y＋6＝0，
解得或
不妨设A(－3，)，B(0,2)，则过点A且与直线l垂直的直线方程为x＋y＋2＝0，令y＝0得xC＝－2.
同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标xD＝2，
∴|CD|＝4.
9.经过两个定点A(a,0)，A1(a，a)，且圆心在直线y＝x上的圆的方程为________________________.
答案 2＋2＝
解析 圆过点A(a,0)，A1(a，a)，
则圆心在直线y＝上.
又圆心在直线y＝x上，
所以圆心坐标为，
则半径r＝＝|a|，
故圆的方程为2＋2＝.
10.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值为________.
答案 2
解析 圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心为C(1,1)，半径为1，
由题意知，当圆心C到点P的距离最小时(即为圆心到直线的距离)，四边形的面积最小，
又圆心到直线的距离d＝＝3，
∴|PA|＝|PB|＝＝2，
∴S四边形PACB＝2×|PA|r＝2.
三、解答题
11.已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；
(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值.
解 (1)因为圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为(3,0)，r＝2.
因为直线x－my＋3＝0与圆相切，
所以＝2，
解得m＝±2.
(2)圆心(3,0)到直线x－my＋3＝0的距离为d＝.
由2＝，
得2＋2m2＝20m2－160，即m2＝9.
故m＝±3.
一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋y＝0相切于M(3，－)点，求该圆的方程.
解 ∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，
故两个圆心之间的距离等于半径的和，
又∵圆C与直线l：x＋y＝0相切于M(3，－)点，
可得圆心与点M(3，－)的连线与直线x＋y＝0垂直，其斜率为.
设圆C的圆心为(a，b)，
则
解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6，
∴圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
13.从点B(－2,1)发出的光线经x轴上的点A反射，反射光线所在的直线与圆x2＋y2＝相切，求点A的坐标.
解 点B(－2,1)关于x轴对称的点为B′(－2，－1)，
易知反射光线所在直线的斜率存在，
设反射光线所在的直线方程为y＋1＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k－1＝0.
由题意，得＝，
化简得7k2－8k＋1＝0，解得k＝1或k＝，
故所求切线方程为x－y＋1＝0或x－7y－5＝0.
令y＝0，则x＝－1或x＝5.
所以A点的坐标为(－1,0)或(5,0).
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圆与方程章末复习
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是( )
A.(x－3)2＋(y＋4)2＝16
B.(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C.(x－3)2＋(y＋4)2＝9
D.(x＋3)2＋(y－4)2＝9
2.已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( )
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2
B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2
D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
3.两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
4.已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
5.圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
A.1 B.2 C. D.2
6.圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦长的最大值为( )
A.2 B.2
C. D.1
二、填空题
7.设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________.
8.已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝________.
9.经过两个定点A(a,0)，A1(a，a)，且圆心在直线y＝x上的圆的方程为________________________.
10.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值为________.
三、解答题
11.已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；
(2)当直线与圆相交，且所得弦长为时，求实数m的值.
一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋y＝0相切于M(3，－)点，求该圆的方程.
13.从点B(－2,1)发出的光线经x轴上的点A反射，反射光线所在的直线与圆x2＋y2＝相切，求点A的坐标.
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章末复习
第四章 圆与方程
1
知识梳理
PART ONE
一、网络构建
二、要点归纳
1.圆的方程
(1)圆的标准方程： .
(2)圆的一般方程： .
2.点和圆的位置关系
设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?点P .
(2)(x0－a)2＋(y0－b)2(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?点P .
3.直线与圆的位置关系
设直线l与圆C的圆心之间的距离为d，圆的半径为r，则d r?相离；d r?相切；
d r?相交.
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
在圆外
在圆内
在圆上
>
＝
<
4.圆与圆的位置关系
设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示 ? ? ? ? ?
d与r1，r2的
关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长.
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
5.空间直角坐标系
(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.
(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离
|P1P2|＝ .
(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.
2
题型探究
PART TWO
题型一 圆的方程
例1 一个圆和已知圆x2＋y2－2x＝0相外切，并与直线l：x＋ y＝0相切于M(3，－ )点，求该圆的方程.
解 ∵圆C与圆x2＋y2－2x＝0相外切，
故两个圆心之间的距离等于半径的和，
设圆C的圆心为(a，b)，
反思感悟
求圆的方程主要是根据圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法求解，采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：
第一步：选择圆的方程的某一形式.
第二步：由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组).
第三步：解出a，b，r(或D，E，F).
第四步：代入圆的方程.
注：解题时充分利用圆的几何性质可获得解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心与弦的中点连线垂直于弦；当两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共弦；当两圆相切时，连心线过切点等.
跟踪训练1 (1)如图所示，圆C与x轴相切于点T(1,0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为____________________.
解析 取AB的中点D，连接CD，AC，则CD⊥AB.
∴(a－b)2＝4，
又∵b＝2a，
∴a＝2，b＝4或a＝－2，b＝－4，
故所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10
或(x＋2)2＋(y＋4)2＝10.
解 设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由半弦长，弦心距，半径组成的直角三角形得，
题型二 直线与圆、圆与圆的位置关系
例2 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是 ，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
√
∴圆M：x2＋(y－2)2＝4，
(2)已知直线l：x－ y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝___.
4
同理得过点B且与l垂直的直线与x轴交点的横坐标xD＝2，
∴|CD|＝4.
反思感悟
直线与圆、圆与圆的主要题型为：①位置关系的判断，②弦长问题，③求圆的方程.解决问题的方法主要有两种，一种代数法，一种几何法.
√
(2)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝ ，则圆C的面积为____.
4π
解析 x2＋y2－2ay－2＝0，即x2＋(y－a)2＝a2＋2，
则圆心为C(0，a).
得a2＝2，所以圆C的面积为π(a2＋2)＝4π.
题型三 对称问题
解 点B(－2,1)关于x轴对称的点为B′(－2，－1)，
易知反射光线所在直线的斜率存在，
设反射光线所在的直线方程为y＋1＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k－1＝0.
故所求切线方程为x－y＋1＝0或x－7y－5＝0.
令y＝0，则x＝－1或x＝5.
所以A点的坐标为(－1,0)或(5,0).
反思感悟
(1)对称的两种类型即轴对称与中心对称.
(2)准确把握对称的几何性质.
(3)圆的对称图形关键是圆心的对称，其半径不变.
x2＋(y－1)2＝1
解析 由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，
所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
题型四 圆中的最值问题
例4 圆x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2－1＝0与x2＋y2＋2bx＋2by＋2b2－2＝0的公共弦长的最大值为
A. B.2
C. D.1
√
解析 由题意得，两圆的标准方程分别为
(x＋a)2＋(y＋a)2＝1和(x＋b)2＋(y＋b)2＝2，
两圆的圆心坐标分别为(－a，－a)，(－b，－b)，
半径分别为1， ，
则当公共弦为圆(x＋a)2＋(y＋a)2＝1的直径时，公共弦长最大，最大值为2.
反思感悟
与圆有关的最值问题包括
(1)求圆O上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：dmax＝|OP|＋r，dmin＝||OP|－r|.
(2)求圆上的点到某条直线的最大、最小距离：设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝|m－r|.
(3)已知点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求① ；② ；③x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解.
跟踪训练4 已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB的面积的最小值为______.
解析 圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心为C(1,1)，半径为1，
由题意知，当圆心C到点P的距离最小时(即为圆心到直线的距离)，四边形的面积最小，
3
达标检测
PART THREE
1.以点(－3,4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是
A.(x－3)2＋(y＋4)2＝16 B.(x＋3)2＋(y－4)2＝16
C.(x－3)2＋(y＋4)2＝9 D.(x＋3)2＋(y－4)2＝9
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
2.已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为
A.(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B.(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C.(x－1)2＋(y－1)2＝2 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
√
1
2
3
4
5
3.两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线的条数为
A.4 B.3 C.2 D.1
√
解析 两圆的标准方程分别为(x－3)2＋(y＋8)2＝121；
(x＋2)2＋(y－4)2＝64，则两圆的圆心与半径分别为
C1(3，－8)，r1＝11；C2(－2,4)，r2＝8.
∵r1－r2<|C1C2|∴两圆相交，则公切线共2条.
4.经过两个定点A(a,0)，A1(a，a)，且圆心在直线y＝ x上的圆的方程为
________________________.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
解析 圆过点A(a,0)，A1(a，a)，
1
2
3
4
5
5.已知直线x－my＋3＝0和圆x2＋y2－6x＋5＝0.
(1)当直线与圆相切时，求实数m的值；
解 因为圆x2＋y2－6x＋5＝0可化为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为(3,0)，r＝2.
因为直线x－my＋3＝0与圆相切，
1
2
3
4
5
得2＋2m2＝20m2－160，即m2＝9.
故m＝±3.
