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圆与方程检测试卷（二）
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A.(x－2)2＋y2＝5 B.x2＋(y－2)2＝5
C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D.x2＋(y＋2)2＝5
答案 A
解析 (x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，圆心关于原点的对称点为(2,0)，即为对称圆的圆心，所以关于原点对称的圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
2.已知直线x＋ay＋2＝0(a∈R)与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0相切，则a的值为( )
A.1 B.－1 C.0 D.0或1
答案 C
解析 圆(x＋1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(－1,1)，半径为1.
所以d＝＝1，
解得a＝0.
3.若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上的点到直线4x－3y－2＝0的最近距离为1，则半径r的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.9
答案 A
解析 由题意可得，圆心(3，－5)到直线的距离等于r＋1，
即＝r＋1，
求得r＝4.故选A.
4.过圆x2＋y2－4x＝0外一点(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m，n满足的关系式是( )
A.(m－2)2＋n2＝4 B.(m＋2)2＋n2＝4
C.(m－2)2＋n2＝8 D.(m＋2)2＋n2＝8
答案 C
解析 圆x2＋y2－4x＝0的圆心坐标为(2,0)，半径r＝2.
由题意，知(m－2)2＋n2＝8.
5.过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A.2x＋y－3＝0 B.2x－y－3＝0
C.4x－y－3＝0 D.4x＋y－3＝0
答案 A
解析 圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1,0)，半径为1，
以(3,1)和(1,0)为直径的圆的方程为(x－2)2＋2＝，
将两圆的方程相减可得直线AB的方程为2x＋y－3＝0，故选A.
6.若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
答案 A
解析 因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2,1)，半径为.因为直线l与圆C相切，所以＝，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2,0)到直线l的距离d＝＝<，所以直线l与圆D相交.
7.若3a2＋3b2－4c2＝0，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A. B.1 C. D.
答案 B
解析 ∵3a2＋3b2－4c2＝0，
∴a2＋b2＝c2，
则圆x2＋y2＝1的圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝.
则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长
l＝2＝1.故选B.
8.当曲线y＝1＋与直线kx－y－2k＋4＝0有两个交点时，实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 y＝1＋可化为x2＋(y－1)2＝4(y≥1).
直线kx－y－2k＋4＝0过定点A(2,4)且斜率为k.
设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B(－2,1)，
当直线的斜率k大于直线AD的斜率且小于或等于直线AB的斜率时，直线与半圆有两个交点.
当直线与半圆相切时，有＝2，
解得k＝，即kAD＝.
又∵直线AB的斜率kAB＝＝，
∴直线的斜率k的取值范围为.
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二、填空题
9.若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是________.
答案 点在圆外
解析 ∵直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同的交点，
∴<1，即>1，
∴点P(a，b)在圆外.
10.已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________.
答案 30－10
解析 圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，
∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝5，
∴原点到圆心的距离为，
则a2＋b2的最小值为(5－)2＝30－10.
11.设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是__________________________.
答案 (x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8
解析 由题意可设圆心C(a，a)，如图，
INCLUDEPICTURE "E:\\牛璐\\2019\\同步\\数学\\人教 A版 必修2\\03\\去年DD829.TIF" \* MERGEFORMAT
得22＋22＝2a2，
解得a＝±2，r2＝8.
所以圆C的方程是(x＋2)2＋(y＋2)2＝8或(x－2)2＋(y－2)2＝8.
三、解答题
12.自点(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.
解 易知圆的标准方程是(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则它关于x轴对称的圆的方程是(x－2)2＋(y＋2)2＝1.
易知光线l所在直线的斜率存在，设该直线方程是y－3＝k(x＋3).
由题设知对称圆的圆心C′(2，－2)到这条直线的距离等于1，
即＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，
解得k＝－或k＝－.
故所求的直线方程是
y－3＝－(x＋3)或y－3＝－(x＋3)，
即3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0.
13.已知圆心为N(3,4)的圆被直线x＝1截得的弦长为2.
(1)求圆N的方程；
(2)点B(3，－2)与点C关于直线x＝－1对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程.
解 (1)由题意得，圆心N(3,4)到直线x＝1的距离等于3－1＝2.
∵圆N被直线x＝1截得的弦长为2，
∴圆N的半径r＝＝3.
∴圆N的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9.
(2)∵点B(3，－2)与点C关于直线x＝－1对称，
∴点C的坐标为(－5，－2)，
设所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，
∵圆C与圆N外切，
∴r＋3＝＝10，得r＝7.
∴圆C的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝49.
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14.已知圆C：x2＋y2－8x＋15＝0，直线y＝kx＋2上至少存在一点P，使得以点P为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )
A.－ B.－ C.－ D.－
答案 A
解析 圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，
即圆C是以(4,0)为圆心，1为半径的圆.
又直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，
1为半径的圆与圆C有公共点，
∴只需圆C′：(x－4)2＋y2＝4与直线y＝kx＋2有公共点即可，
即圆心(4,0)到直线y＝kx＋2的距离d＝≤2，
∴3k2＋4k≤0，∴－≤k≤0，即k的最小值为－.
15.已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.
(1)求证：直线l与圆C恒相交；
(2)当m＝1时，过圆C上点(0,3)作圆的切线l1交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求|PQ|的取值范围.
(1)证明 直线l的方程可化为m(x＋2y－7)＋2x＋y－8＝0，
故l恒过点A(3,2).
∵(3－2)2＋(2－3)2＝2<4，
即点A在圆C内，∴直线l与圆C恒相交.
(2)解 由题意知直线l1的方程为x＝0.
又当m＝1时，l：x＋y＝5，
∴联立得交点P(0,5)，
∴|PC|＝2，∴|PQ|∈[2－2,2＋2].
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班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆的方程为( )
A.(x－2)2＋y2＝5 B.x2＋(y－2)2＝5
C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝5 D.x2＋(y＋2)2＝5
2.已知直线x＋ay＋2＝0(a∈R)与圆x2＋y2＋2x－2y＋1＝0相切，则a的值为( )
A.1 B.－1 C.0 D.0或1
3.若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上的点到直线4x－3y－2＝0的最近距离为1，则半径r的值为( )
A.4 B.5 C.6 D.9
4.过圆x2＋y2－4x＝0外一点(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线相互垂直时，m，n满足的关系式是( )
A.(m－2)2＋n2＝4 B.(m＋2)2＋n2＝4
C.(m－2)2＋n2＝8 D.(m＋2)2＋n2＝8
5.过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )
A.2x＋y－3＝0 B.2x－y－3＝0
C.4x－y－3＝0 D.4x＋y－3＝0
6.若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
7.若3a2＋3b2－4c2＝0，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A. B.1 C. D.
8.当曲线y＝1＋与直线kx－y－2k＋4＝0有两个交点时，实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题
9.若直线l：ax＋by＝1与圆C：x2＋y2＝1有两个不同的交点，则点P(a，b)与圆C的位置关系是________.
10.已知圆x2＋y2－2x＋4y－20＝0上一点P(a，b)，则a2＋b2的最小值是________.
11.设圆C同时满足三个条件：①过原点；②圆心在直线y＝x上；③截y轴所得的弦长为4，则圆C的方程是__________________________.
三、解答题
12.自点(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程.
13.已知圆心为N(3,4)的圆被直线x＝1截得的弦长为2.
(1)求圆N的方程；
(2)点B(3，－2)与点C关于直线x＝－1对称，求以C为圆心且与圆N外切的圆的方程.
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14.已知圆C：x2＋y2－8x＋15＝0，直线y＝kx＋2上至少存在一点P，使得以点P为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是( )
A.－ B.－ C.－ D.－
15.已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，直线l：(m＋2)x＋(2m＋1)y＝7m＋8.
(1)求证：直线l与圆C恒相交；
(2)当m＝1时，过圆C上点(0,3)作圆的切线l1交直线l于点P，Q为圆C上的动点，求|PQ|的取值范围.
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