人教版九年级上册数学学案：23.1图形的旋转（共两课时，附答案）

23．1　图形的旋转
学习目标
1．通过观察具体实例认识旋转，探索它的基本性质．
2．了解图形旋转的特征，并能根据这些特征绘制出旋转后的几何图形．
重点难点
重点：图形的旋转的基本性质及其应用．
难点：利用旋转的性质解决相关问题．
预习导学
一、自学指导．(10分钟)
动手操作：在硬纸板上挖下一个三角形的洞，再挖一个点O作为旋转中心，把挖好的硬纸板放在黑板上，先在黑板上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后围绕旋转中心O转动硬纸板，在黑板上再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移去硬纸板．
(分组讨论)根据图回答下面问题：(一组推荐一人上台说明)
1．线段OA与OA′，OB与OB′，OC与OC′有什么关系？
2．∠AOA′，∠BOB′，∠COC′有什么关系？
3．△ABC与△A′B′C′的形状和大小有什么关系？
点拨精讲：
(1)OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′，也就是对应点到旋转中心距离相等．
(2)∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′，我们把这三个相等的角，即对应点与旋转中心所连线段的夹角称为旋转角．
(3)△ABC和△A′B′C′形状相同且大小相等，即全等．
归纳：(1)对应点到旋转中心的距离相等；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，且DE＝，△ABF是△ADE的旋转图形．
(1)旋转中心是哪一点？
(2)旋转了多少度？
(3)AF的长度是多少？
(4)如果连接EF，那么△AEF是怎样的三角形？
分析：由△ABF是△ADE的旋转图形，可直接得出旋转中心和旋转角，要求AF的长度，根据旋转前后的对应线段相等，只要求AE的长度，由勾股定理很容易得到．△ABF与△ADE是完全重合的，所以△AEF是等腰直角三角形．
解：(1)旋转中心是A点；
(2)∵△ABF是由△ADE旋转而成的，
∴B是D的对应点，
∴∠DAB＝90°就是旋转角；
(3)∵AD＝1，DE＝，
∴AE＝＝.
∵对应点到旋转中心的距离相等且F是E的对应点，
∴AF＝；
(4)∵∠EAF＝90°(与旋转角相等)且AF＝AE，
∴△EAF是等腰直角三角形．
合作探究
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
1．如图，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，
画出旋转后的图形．
点拨精讲：关键是确定△ADE三个顶点的对应点的位置．
2．已知线段AB和点O，画出AB绕点O逆时针旋转100°后的图形．
作法：1.连接OA；
2．在逆时针方向作∠AOC＝100°，在OC上截取OA′＝OA；
3．连接OB；
4．在逆时针方向作∠BOD＝100°，在OD上截取OB′＝OB；
5．连接A′B′.
∴线段A′B′就是线段AB绕点O按逆时针方向旋转100°后的对应线段．
点拨精讲：作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)
1．如图，AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°，BP＝BQ，∠PBQ＝90°.
(1)此图能否旋转某一部分得到一个正方形？
(2)若能，指出由哪一部分旋转而得到的？并说明理由．
(3)它的旋转角多大？并指出它们的对应点．
解：(1)能；
(2)由△BCQ绕B点旋转得到．理由：连接AB，易证四边形ABCD为正方形．再证△ABP≌△CBQ.可知△QCB可绕B点旋转与△ABP重合，从而得到正方形ABCD.
(3)90°.点C对应点A，点Q对应点P.
2．如图，△ABC绕C点旋转后，顶点A的对应点为点D，试确定顶点B对应点的位置，以及旋转后的三角形．
解：(1)连接CD；
(2)以CB为一边作∠BCE，使得∠BCE＝∠ACD；
(3)在射线CE上截取CB′＝CB，则B′即为所求的B的对应点；
(4)连接DB′，则△DB′C就是△ABC绕C点旋转后的图形．
点拨精讲：绕C点旋转，A点的对应点是D点，那么旋转角就是∠ACD，根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即∠BCB′＝∠ACD，又由对应点到旋转中心的距离相等，即CB＝CB′，就可确定B′的位置．
3．如图，K是正方形ABCD内一点，以AK为一边作正方形AKLM，使L，M在AK的同旁，连接BK和DM，试用旋转的思想说明线段BK与DM的关系．
解：∵四边形ABCD、四边形AKLM是正方形，
∴AB＝AD，AK＝AM，且∠BAD＝∠KAM为旋转角且为90°，
∴△ADM是以A为旋转中心，以∠BAD为旋转角，由△ABK旋转而成的．
∴BK＝DM.
点拨精讲：要用旋转的思想说明就是要用旋转中心、旋转角、对应点的知识来说明．
课堂小结学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．问题：对比平移、轴对称两种变换，旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别？
2．本节课要掌握：
(1)旋转的基本性质．
(2)旋转变换与平移、轴对称两种变换有哪些共性与区别．
当堂训练: 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
23．1　图形的旋转(2)
学习目标
1．理解选择不同的旋转中心、不同的旋转角度，会出现不同的效果．
2. 掌握根据需要用旋转的知识设计出美丽的图案．
重点难点
重点：用旋转的有关知识画图．
难点：根据需要设计美丽图案．
预习导学
一、自学指导．(15分钟)
1．学生独立完成作图题．如图，△ABC绕B点旋转后，O点是A点的对应点，作出△ABC旋转后的三角形．
点拨精讲：要作出△ABC旋转后的三角形，应找出三方面的关系：①旋转中心B；②旋转角∠ABO；③C点旋转后的对应点C′.
探究：从上面的作图题中，知道作图应满足三要素：旋转中心、旋转角、对应点，而旋转中心、旋转角固定下来，对应点就自然而然地固定下来．因此，下面就选择不同的旋转中心、不同的旋转角来进行研究．
把一个图案以O点为中心进行旋转，选择不同的旋转中心，不同的旋转角，会出现不同的效果图形．
1．旋转中心不变，改变旋转角．
2．旋转角不变，改变旋转中心．
我们可以设计成如下图美丽的图案．
归纳：旋转中心不变、改变旋转角与旋转角不变、改变旋转中心会产生不同的效果，所以可以经过旋转设计出美丽的图案．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(2分钟)
如图所示是日本三菱汽车公司的标志，它可以看作是由一个菱形经过__3__次旋转，每次旋转__120°__得到的．
合作探究
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)
1．如图所示，图①沿逆时针方向旋转90°可得到图__⑤__．图①按顺时针方向至少旋转__180__度可得图③.
2．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点P是△ABC内的一点，且AP＝3，将△ABP绕点A旋转后与△ACP′重合，求PP′的长．
解：依题意，AP绕点A旋转90°时得AP′＝AP＝3，则△APP′是等腰直角三角形．
所以PP′＝＝＝3.
解题的关键是确定AP与AP′垂直且相等．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)
如图所示，点C是线段AB上任意一点，分别以AC，BC为边在同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接AE，BD，试找出图中能通过旋转完全重合的一对三角形，并指明旋转中心、旋转角及旋转方向．
解：△ACE旋转后能与△DCB完全重合．
旋转中心是点C，旋转角是60°，旋转方向是顺时针
方向．(也可看作△DCB绕点C逆时针旋转60°得到△ACE)
课堂小结 学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)
1．选择不同的旋转中心、不同的旋转角，设计出美丽的图案．
2．作出几个复合图形组成的图案旋转后的图案，要先求出图中的关键点——线的端点、角的顶点、圆的圆心等．
当堂训练 :学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)