北师大版 数学九年级上册 1.2矩形的性质与判定(1)课件 (共29张PPT)

(共29张PPT)
1.2矩形的性质与判定(1)
第一章

教学目标
理解矩形的概念，了解它与平行四边形之间的关系；
01
02
经历矩形性质定理的探索与证明过程，进一步发展合情推理能力；探索并掌握直角三角形的性质定理；
03
体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想.
下面几幅图片中都含有一些平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？
一、欣赏观察

有一个角是直角.
一、欣赏观察

概念：有 叫做矩形.
认识矩形
与平行四边形的关系：矩形是特殊的平行四边形.
一个角是直角的
平行四边形
二、探究新知

矩形与平行四边形之间有怎样的关系？
二、探究新知

矩形的性质◇猜一猜◇
1.矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？
2.你认为矩形还具有哪些特殊的性质？
我们可以从哪些角度考虑？
A
D
B
C
O

二、探究新知

矩形的性质◇做一做◇
用矩形纸片折一折，回答下列问题：
1.矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
矩形是轴对称图形.

二、探究新知

矩形的性质◇猜一猜◇
2.矩形还具有哪些特殊的性质？
A
D
B
C
O
矩形的四个角是直角.
矩形的对角线相等.
二、探究新知

矩形的性质◇证一证◇
已知：如图1-8，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°,对角线AC与BD相交
于点O.
(1)矩形的四个角是直角；(2)矩形的对角线相等.
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)，
AB∥DC(矩形的对边平行).
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
图1-8
A
D
B
C
O

二、探究新知

矩形的性质◇证一证◇
证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠ADC,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等)，
AB∥DC(矩形的对边平行).
图1-8
A
D
B
C
O
∴∠ABC+∠BCD=180°.
又∵∠ABC=90°，
∴∠BCD=90°.
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.

二、探究新知

证明：(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD(矩形的对边相等).
求证：(2)AC=BD.
矩形的性质◇证一证◇
(1)矩形的四个角是直角；(2)矩形的对角线相等.
已知：如图1-8，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°,对角线AC与BD相交
于点O.
图1-8
A
D
B
C
O

二、探究新知

证明：(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD(矩形的对边相等).
求证：(2)AC=BD.
矩形的性质◇证一证◇
图1-8
A
D
B
C
O

在△ABC与△BCD中，
AB=CD,∠ABC=∠BCD,BC=BC,
∴△ABC≌△DCB.
∴AC=BD.
二、探究新知

矩形的性质◇结论◇
定理：矩形的四个角是直角；
定理：矩形的对角线相等.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°(矩形的四个角是直角).
AC=BD(矩形的对角线相等).
文字语言：
符号语言：
A
D
B
C
O
图1-8
三、深入探究

如图1-9，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？
A
D
B
C
E
图1-9
直角三角形斜边上的中线 等于 斜边的一半.
Rt△ABC斜边上的中线
斜边AC的一半
你能进行证明吗？
三、深入探究

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
证明：延长BE到D，使BE=ED，连接AD,CD.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BE是AC上的中线.
A
B
C
E
D
求证：
在四边形ABCD中，
∵AE=CE，BE=DE,
∴四边形ABCD是平行四边形.
三、深入探究

证明：延长BE到D，使BE=ED，连接AD,CD.
在四边形ABCD中，
∵AE=CE，BE=DE,
∴四边形ABCD是平行四边形.
A
B
C
E
D
∴AC=BD(矩形的对角线相等).
∴
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形(矩形的定义).
三、深入探究

A
B
C
E
定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
文字语言：
符号语言：
◇直角三角形的性质◇
在Rt△ABC，AE=EC.
∴ (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半).
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90?(矩形的四个角都是直角)，
AC=BD(矩形的对角线相等),
OA=OC= AC,OB=OD= BD(矩形的对角线互相平分)，
∴OA=OD.
∵∠AOD=120?，
∴∠ODA=∠OAD=
∴BD=2AB=2×2.5=5.

四、典例分析
例1.如图1-10，在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O，∠AOD=120?，AB=2.5，求这个矩形对角线的长.
A
D
B
C
O
图1-10
你还有其他方法吗？

四、典例分析
例1.如图1-10，在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O，∠AOD=120?，AB=2.5，求这个矩形对角线的长.
A
D
B
C
O
图1-10
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD(矩形的对角线相等),
OA=OC= AC,OB=OD= BD(矩形的对角线互相平分)，
∴OA=OB.
∵∠AOD=120?，
∴∠AOB=60?.
∴△AOB是等边三角形.
∴BD=2OB=2AB=2×2.5=5.

四、典例分析

A
D
B
C
O
图1-10
A
D
B
C
O
图1-10
转
化
五、随堂练习
1.一个矩形的对角线长为6,对角线与一边的夹角是45?,求这个矩形的各边长.
A
D
B
C
解：如图所示：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD, BC=AD, AC=BD=6，
∠BAD=90?(矩形的四个角是直角)，
∵∠ABD=45?，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=AD=
∴AB=BC=CD=AD

五、随堂练习
2.一个矩形的两条对角线的一个夹角为60?，对角线长15，求这个矩形较短边的长.
A
D
B
C
O
解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=15(矩形的对角线相等),
OA=OC= AC, OB=OD= BD(矩形的对角线互相平分).
∴OA=OB=7.5.
∵∠AOB=60?，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=7.5，即较短的边长为7.5.
五、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90?,D为AB中点,AE∥CD,CE∥AB.试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论.
解：四边形ADCE为菱形.
∵AE∥CD, CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形，
∵∠ACB=90?，D为AB的中点，
∴CD= AB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴CD=AD
∴四边形ADCE为菱形.
五、随堂练习
4.证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
证明：∵CD是AB上的中线,
∴
∵
∴AD=BD=CD.
∴∠1=∠A,∠2=∠B.
已知：如图，在△ABC中，CD是AB上的中线,
求证：△ABC是直角三角形.
A
B
C
D
1
2

五、随堂练习
证明：∵CD是AB上的中线,
∴
∵
∴AD=BD=CD.
∴∠1=∠A,∠2=∠B.
A
B
C
D
1
2
∵∠1+∠A+∠2+∠B=180°.
∴2∠1+2∠2=180°.
∴∠ACB=∠1+∠2=90°
∴△ABC是直角三角形.
得到两个等腰三角形.
五、随堂练习
三角形一边上的中线等于这边的一半.
这个三角形是直角三角形.
斜边上的中线等于斜边的一半.
这个三角形是直角三角形.
◇直角三角形◇
性质
判定
六、课堂小结

矩形具有对称性；
性质：矩形的四个角是直角；
矩形的对角线相等.
概念：有一个角是直角的平行四边
形叫做矩形.
概念
性质
判定
应用
七、作业布置

完成练习册上习题.

同学们，再见！