(共31张PPT)
第4章 怎样求合力与分力
第4章 怎样求合力与分力
预习导学新知探究
梳理知识·夯实基础
要点探究讲练互动
突破疑难·讲练提升
30°
30°
F3(共32张PPT)怎样分解力
1.知道力的分解的含义及力的分解的方法． 2.知道力的分解要从实际情况出发．
3．会用图示法根据实际要求运用平行四边形定则求分力．(重点)
1．力的分解原因：沿着某方向作用的一个力，确实能产生其他方向的作用效果，这些效果就是由这个力的分力产生的，所以，在实际应用中，常常需要对力进行分解．
2．力的分解方法
力的合成遵循平行四边形定则，力的分解也应遵循平行四边形定则，在进行力的分解时，必须根据力的作用效果，获得一些关于分力的信息(例如分力的大小或分力的方向等)，才能根据平行四边形定则求出分力．
3．力分解的依据：力的分解必须依据力的作用效果．
4．正交分解：把一个力分解成互相垂直的两个分力，称为正交分解法，是物理学中最常用方法．
力的分解的理解[学生用书P51]
1．力的分解原则
(1)一个力分解为两个力，从理论上讲有无数组解．因为同一条对角线可以构成的平行四边形有无穷多个(如图所示)．
(2)实际分解时，按力的作用效果可分解为两个确定的分力．
2．力的分解的思路
3．力的效果分解的常见实例
实例 分解思路
地面上的物体受斜向上的拉力F，拉力F一方面使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2.F1＝Fcos α，F2＝Fsin α
质量为m的物体静止在斜面上，其重力产生两个效果：一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1，二是使物体压紧斜面的分力F2.F1＝mgsin α，F2＝mgcos α
质量为m的光滑小球被竖直挡板挡住而静止于斜面上时，其重力产生两个效果： 一是使球压紧挡板的分力F1，二是使球压紧斜面的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝
质量为m的光滑小球被悬线挂靠在竖直墙壁上，其重力产生两个效果：一是使球压紧竖直墙壁的分力F1，二是使球拉紧悬线的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝
A、B两点位于同一平面上，质量为m的物体被AO、BO两线拉住，其重力产生两个效果：一是使物体拉紧AO线的分力F1，二是使物体拉紧BO线的分力F2.F1＝F2＝
质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：一是拉伸AB的分力F1，二是压缩BC的分力F2.F1＝mgtan α，F2＝
如图所示，两完全相同的小球在挡板作用下静止在倾角为θ的光滑斜面上，求甲、乙两种情况下小球对斜面的压力之比．
[思路点拨] 根据重力的效果将重力分解，画出平行四边形利用几何关系求解．
[解析] 重力产生的效果有两个：(1)压紧斜面，(2)压紧挡板．将重力分解如图1、图2所示，可知球对斜面的压力
N甲＝G2＝
N乙＝G2′＝Gcos θ
即N甲∶N乙＝1∶cos2θ.
[答案] 1∶cos2θ
eq \a\vs4\al()
根据力的实际效果分解力时的一般顺序
(1)首先根据力的实际效果确定两个分力的方向．
(2)根据两个分力的方向作出力的平行四边形，确定表示分力的有向线段．
(3)利用数学知识解平行四边形或三角形，计算分力的大小和方向．
1．如图所示，光滑小球放在夹角为45°的竖直墙壁和斜面之间，处于静止状态，则斜面对球的弹力与球的重力的大小之比为多少？墙对球的弹力与球的重力的大小之比又为多少？
解析：球重力可分解为与接触面垂直的两个分力如图，
其中G1与斜面对球的弹力大小相等，G2与墙对球的弹力大小相等，由图可得G1＝＝G，G2＝G，故斜面对球的弹力与球重力的比为∶1，墙对球的弹力与球重力的比为1∶1.
答案：∶1 1∶1
力的正交分解[学生用书P52]
1．目的：将力的合成化简为同向、反向或垂直方向的分力，便于运用普通代数运算公式解决矢量的运算，“分”的目的是为了更好的“合”．
2．适用情况：适用于计算三个或三个以上力的合成．
3．步骤
(1)建立坐标系：以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上．
(2)正交分解各力：将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并在图上注明，用符号Fx和Fy表示，如图所示．
(3)在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出Fx、Fy的数学表达式，与两轴重合的力不需要分解．
(4)分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力，即：
Fx＝F1x＋F2x＋…，
Fy＝F1y＋F2y＋….
(5)求共点力的合力：合力大小F＝eq \r(F＋F)，合力的方向与x轴的夹角为α，则tan α＝，即α＝arctan.
如图，已知共面的三个力F1＝20 N、F2＝30 N、F3＝40 N作用于物体的同一点上，三个力之间的夹角都是120°，求合力的大小和方向．
[思路点拨] 建立正交坐标系，将每个力向两个相互垂直的方向分解，然后求出这两个方向上的合力，最后求出总的合力．
[解析] 如图所示，沿水平、竖直方向建立直角坐标系，把F1、F2正交分解，可得
F1x＝－F1sin 30°＝－10 N
F1y＝－F1cos 30°＝－10 N
F2x＝－F2sin 30°＝－15 N
F2y＝F2cos 30°＝15 N故沿x轴方向的合力Fx＝F3＋F1x＋F2x＝15 N
沿y轴方向的合力Fy＝F2y＋F1y＝5 N
可得这三个力合力的大小F＝eq \r(F＋F)＝10 N
方向与x轴的夹角θ＝arctan＝30°.
[答案] 10 N 方向与x轴夹角为30°斜向右上方
eq \a\vs4\al()
本题如果直接对三个力两两合成求合力，过程十分繁乱．因此可以选择两个互相垂直的方向先进行力的正交分解，然后再进行力的合成．用正交分解法求共点力的合力建立坐标系时，应注意让尽可能多的力落在坐标轴上．
2.在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19 N、40 N、30 N和15 N，方向如图所示，求它们的合力．
解析：如图甲所示建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有
Fx＝F1＋F2cos 37°－F3cos 37°＝27 N
Fy＝F2sin 37°＋F3sin 37°－F4＝27 N
甲 乙
因此，如图乙所示，合力F＝eq \r(F＋F)≈38.2 N，
tan φ＝＝1
即合力的大小约为38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向上．
答案：38.2 N，方向与F1夹角为45°斜向上
力的分解的唯一性讨论[学生用书P53]
把一个已知力分解为不在一条直线上的两个分力，常见的有四种分解情况.
已知条件 示意图 解的情况
已知两个分力的方向
已知两个分力的大小 有两解或无解(当F<|F1－F2|或F>F1＋F2时无解)
已知一个分力的大小和方向 有唯一解(可由矢量三角形确定)
已知一个分力的大小和另一个分力的方向 (1)当F1＝Fsin θ时有唯一解(a)(2)当F>F1>Fsin θ时有两解(b)(3)当F1≥F时，有唯一解(c)(4)当F1 (多选)把一个已知力F分解，要求其中一个分力F1跟F成30°角，而大小未知；另一个分力F2＝F，但方向未知，则F1的大小可能是 ( )
A．F B．F
C．F D．F
[思路点拨]
→→
[解析] 因Fsin 30°FOA＝Fcos 30°＝F
FAB＝FAC＝＝F
F11＝FOA－FAB＝F，
F12＝FOA＋FAC＝F，A、D正确．
[答案] AD
eq \a\vs4\al()
(1)力分解时有解或无解，关键看代表合力和分力的有向线段是否能构成三角形，若能，即有解；若不能，则无解．
(2)先确定“最大”“最小”等极值状态下的分力是解决此类问题的有效途径．
3.物体静止于光滑水平面上，力F作用于物体上的O点，现要使合力沿着OO′方向，如图所示，则必须同时再加一个力F′，如F和F′均在同一水平面上，则这个力的最小值为( )
A．Fcos θ B．Fsin θ
C．Ftan θ D．Fcot θ
解析：选B.过力F的最右端，向OO′的方向做垂线，则垂足与力F右端的距离即为最小力的大小，故该最小力为Fsin θ，选项B正确．
[随堂检测][学生用书P54]
1．(多选)将一个力F分解为两个分力F1和F2，则下列说法正确的是( )
A．F是物体实际受到的力
B．F1和F2两个分力在效果上可以取代力F
C．F1和F2是物体实际受到的力
D．F是F1和F2的合力
解析：选ABD.由分力和合力具有等效性可知B对；分力F1和F2并不是物体实际受到的力，故A对，C错；根据合力的定义，可知D对．
2．粗细均匀的电线架在A、B两根电线杆之间．由于热胀冷缩，电线在夏、冬两季呈现如图所示的两种形状，若电线杆始终处于竖直状态，下列说法中正确的是( )
A．冬季，电线杆对电线的拉力较大
B．夏季，电线杆对电线的拉力较大
C．夏季与冬季，电线杆对电线的拉力一样大
D．夏季，杆对地面的压力较大
解析：选A.以整条电线为研究对象，受力分析如图所示(F＝F′)，由共点力的平衡条件知，两电线杆对电线的拉力的合力与电线的重力平衡，由几何关系得：Fcos θ＝，即：F＝.由于夏季气温较高，电线的体积会膨胀，两杆正中部位电线下坠的距离h变大，则θ变小，故变小，所以夏季两电线杆对电线的拉力与冬季相比是变小的．B、C错误，A正确．电线杆上的电线和电线杆的总质量一定，总重力一定，故夏季、冬季杆对地面的压力相等，所以D错误．
3．如图所示为斧头劈柴的剖面图，图中BC边为斧头背，AB、AC边为斧头的刃面．要使斧头容易劈开木柴，需要( )
A．BC边短些，AB边也短些
B．BC边长一些，AB边短一些
C．BC边短一些，AB边长一些
D．BC边长一些，AB边也长一些
解析：选C.
如图所示，设劈柴的力为F，按效果可分解为两个垂直于斜边的力F1和F2，由图可知，F1＝F2＝，要使斧头容易劈开木柴，则F1和F2应较大，即θ应较小，故要求BC边短一些、AB边长一些．
4．如图所示，力F1、F2、F3、F4在同一平面内构成共点力，其中F1＝20 N，F2＝20 N，F3＝20 N，F4＝20 N，各力之间的夹角在图中已标出，求这四个共点力合力的大小和方向．
解析：以F2的方向为x轴的正方向，建立如图所示的坐标系，将F1、F3、F4向两坐标轴上分解得
F1x＝F1cos 60°＝20× N＝10 N
F1y＝F1sin 60°＝20× N＝10 N
F3x＝F3cos 45°＝20× N＝20 N
F3y＝－F3sin 45°＝－20× N＝－20 N
F4x＝－F4sin 60°＝－20× N＝－30 N
F4y＝－F4cos 60°＝－20× N＝－10 N
四个力在x轴上的合力为
Fx＝F1x＋F2＋F3x＋F4x＝20 N
在y轴上的合力为Fy＝F1y＋F3y＋F4y＝－20 N
四个力的合力为F＝eq \r(F＋F)＝20 N，合力的方向和F3的方向一致．
答案：20 N 方向和F3的方向一致
[课时作业][学生用书P121(单独成册)]
一、单项选择题
1．如图所示，两个体重相同的小孩甲、乙静止坐在秋千上，则下面的叙述正确的是( )
A．甲绳子的拉力大
B．乙绳子的拉力大
C．甲、乙绳子的拉力一样大
D．不确定
解析：选B.甲图中绳子的拉力
F1＝G/2；乙图中将重力分解，如图所示，F2＝>F1.
2．如图所示，一个半径为r，重为G的光滑均匀球，用长度为r的细绳挂在竖直光滑墙壁上，则绳子的拉力F和球对墙壁的压力N的大小分别是( )
A．G B．2G G
C．G G D．G G
解析：选D.球受重力G、绳子拉力T、墙壁对它的弹力N作用．设F与水平方向夹角为θ，由几何关系得：cos θ＝，所以θ＝60°.建立坐标系正交分解力T，如图所示，由于球静止，则得Tsin θ＝G① Tcos θ＝N②
联立①②得T＝G，F＝G，故D正确．
3．如图所示，AB、AC两光滑斜面互相垂直，AC与水平面成30°.如把球O的重力按照其作用效果分解，则两个分力的大小分别为 ( )
A．G，G B．G，G
C．G，G D．G，G
解析：选A.对球所受重力进行分解，如图所示．由几何关系得F1＝Gsin 60°＝G，F2＝Gsin 30°＝G，A正确．
4．某同学在做引体向上时处于如图所示的状态，两只手臂夹角为60°，已知该同学体重为60 kg.则两只手臂的拉力分别是(g取10 m/s2)( )
A．300 N B．200 N
C．400 N D．600 N
解析：选B.对该同学进行受力分析，采用正交分解法，以水平、竖直两方向建立直角坐标系，如右图所示．竖直方向：＝Tsin 60°，所以T＝200 N.
5．如图所示，细绳MO与NO所能承受的最大拉力相同，长度MO>NO，则在不断增加重物G的重力过程中(绳OC不会断)( )
A．ON绳先被拉断
B．OM绳先被拉断
C．ON绳和OM绳同时被拉断
D．因无具体数据，故无法判断哪条绳先被拉断
解析：选A.由于MO>NO，所以α>β，则作出力分解的平行四边形如图所示，由四边形的两个邻边的长短可以知道TON>TOM，所以在G增大的过程中，绳ON先断．
6.如图所示，一根长为L的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小球A，为使细绳与竖直方向成30°角时小球A处于静止状态，则对小球施加的力最小为( )
A．mg B．mg
C．mg D．mg
解析：选C.将mg在如图所示方向分解，施加的最小力与F1等大反向即可使小球静止，故F＝F1＝mgsin 30°＝mg，选项C正确．
二、多项选择题
7．如图所示，假设物体沿斜面下滑，根据重力的作用效果将重力分解，关于分解后的两个分力，下列叙述正确的是( )
A．平行于斜面方向使物体沿斜面下滑的力
B．垂直于斜面的压力
C．垂直于斜面使物体压紧斜面的力
D．物体至少要受到重力以及重力的两个分力这三个力的作用
解析：选AC.物体沿斜面下滑过程中，重力产生了两个作用效果，分别为平行于斜面方向使物体沿斜面下滑的力和垂直于斜面使物体压紧斜面的力．B选项在于分力的作用点仍作用在物体上而不应该作用于斜面上，分力的作用点应保持不变，所以不正确．D选项重复考虑了力的作用效果．
8.如图所示，质量为m的物体在恒力F的作用下沿天花板匀速滑动，F与水平方向的夹角为θ，物体与天花板之间的动摩擦因数为μ，则物体受到的摩擦力大小是( )
A．Fcos θ B．Fsin θ
C．μ(Fsin θ－mg) D．μ(mg－Fsin θ)
解析：选AC.物体受力如图所示：将F沿水平方向和竖直方向分解，分力分别为F1＝Fcos θ，F2＝Fsin θ.由于物体做匀速运动，则Ff＝F1＝Fcos θ，FN＝F2－mg＝Fsin θ－mg，Ff＝μFN＝μ(Fsin θ－mg)，故选项A、C正确．
三、非选择题
9．如图所示，三个共点力F1＝5 N，F2＝10 N，F3＝15 N，则x轴上的合力Fx＝________ N，y轴上的合力Fy＝________ N，合力的大小为________ N，合力的方向跟x轴的正方向夹角为________．
解析：x轴上的合力：Fx＝F2cos 60°＋F3－F1＝10× N＋15 N－5 N＝15 N
y轴上的合力：
Fy＝F2sin 60°＝10× N＝5 N
所以合力：F＝eq \r(F＋F)＝ N＝10 N
合力的方向跟x轴正方向的夹角为α，有tan α＝＝＝，得α＝30°.
答案：15 5 10 30°
10．如图所示，灯架的横梁AO在水平方向，和绳子BO的夹角为30°，横梁重力忽略不计，若灯的重力为20 N，求绳子BO所受的拉力和横梁AO所受的压力大小．
解析：灯的拉力(大小等于G)在O点可以产生两个效果：即拉伸绳OB，压缩横梁OA.根据这两个效果，可将G按平行四边形定则分解为F1和F2，如图所示．由几何关系，得：
F2＝＝ N＝40 N，
F1＝＝ N≈34.6 N，
即绳所受的拉力是40 N，
横梁所受的压力是34.6 N.
答案：40 N 34.6 N
11．重40 N的物体静止放在水平地面上，现沿与地面成45°夹角的方向拉物体．当拉力F＝8 N时，物体未动，求物体与地面间的摩擦力f；当拉力F＝10 N时，物体做匀速滑动，求物体与地面间的动摩擦因数μ.
解析：物体在两种情况下均受四个力作用，因此用力的正交分解法较为方便．
选物体为研究对象，物体受拉力F、重力G、支持力N和摩擦力f的作用，其受力情况如图所示．物体在这四个力的作用下，处于平衡状态．将拉力F分解为沿水平方向的力和竖直方向的力，根据平衡条件，在水平方向上有
Fcos θ－f＝0 ①
在竖直方向有
Fsin θ＋N－G＝0 ②
当F＝8 N时，物体未动，
f为静摩擦力，由①式得
f＝Fcos θ＝8×cos 45° N＝5.66 N
当F＝10 N时，物体做匀速滑动，上述平衡条件仍然成立，并且f为滑动摩擦力
f＝μN ③
由①②③式解得
μ＝＝＝＝0.21.
答案：0.21
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