(共37张PPT)
第4章 怎样求合力与分力
第4章 怎样求合力与分力
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突破疑难·讲练提升(共26张PPT)共点力的平衡及其应用
1.知道平衡状态和平衡力的概念． 2.掌握共点力的平衡条件．
3．会用共点力的平衡条件解决有关平衡问题．(重点、难点)
一、生活离不开平衡
如果物体保持静止或匀速直线运动状态称物体处于平衡状态．
二、从二力平衡到共点力平衡
1．在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零．即F合＝0．
2．共点力作用下物体的平衡条件在直角坐标系中可表示为Fx＝0，Fy＝0．
物体的速度为零，物体是否处于平衡状态？
提示：不一定，因为速度为零时物体所受合外力不一定为零，例如竖直上抛上升到最高点的那一时刻，物体速度为零，所受合外力为重力．
对平衡状态和平衡条件的理解[学生用书P55]
1．动态平衡与静态平衡的比较
物体的平衡状态分为静态平衡(物体保持静止)和动态平衡(物体做匀速直线运动)两种形式．
(1)区别：物体的加速度和速度都为零的状态叫做静止状态；物体的加速度为零，而速度不为零且保持不变的状态是匀速直线运动状态．
(2)联系：静态平衡和动态平衡的共同点是运动状态保持不变，加速度为零．
2．平衡条件
F合＝0或，其中Fx和Fy分别是将各力进行正交分解后，物体在x轴和y轴方向上所受的合力．
3．由平衡条件得出的结论
(1)物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力必定等大反向，是一对平衡力．
(2)物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力等大反向．
(3)物体受N个共点力作用处于平衡状态时，其中任意一个力与剩余(N－1)个力的合力一定等大反向．
(4)当物体处于平衡状态时，沿任意方向物体所受的合力均为零．
平衡状态与力的平衡不同，平衡状态指物体的匀速直线运动或静止状态，力的平衡是作用在同一处于平衡状态的物体上的几个力所满足的一种关系．力的平衡是物体平衡的条件，物体处于平衡状态是力的平衡的结果．
下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是( )
A．如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B．如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C．如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D．如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相同
[思路点拨] 处于平衡状态的物体，在运动形式上是处于静止或匀速直线运动，从受力上来看是所受合外力为零．
[解析] 物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A选项错；物体运动速度大小不变、方向变化时，不是做匀速直线运动，一定不是处于平衡状态，B选项错；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，C选项正确；如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大反向、合力为零，D选项错误．
[答案] C
eq \a\vs4\al()
(1)判断物体是否处于平衡状态，可依据平衡条件，也可以利用平衡状态的定义．
(2)物体受多个共点力而平衡时，平衡条件可以有不同的叙述形式，如任何一个力必与其他所有力的合力大小相等，方向相反．
1.如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，轻绳一端固定在圆环的最高点A，另一端与小球相连．小球静止时位于环上的B点，此时轻绳与竖直方向的夹角为60°，则轻绳对小球的拉力大小为( )
A．2mg B．mg
C．mg D．mg
解析：选C.对B点处的小球受力分析，如图所示，则有
FTsin 60°＝FNsin 60°
FTcos 60°＋FNcos 60°＝mg
解得FT＝FN＝mg，则A、B、D错误，C正确．
共点力平衡问题的求解方法及步骤[学生用书P55]
1．共点力平衡问题的常用方法
(1)合成法：对于三个共点力作用下的物体平衡，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反．
(2)分解法：对于三个共点力作用下的物体平衡，任意一个力沿与另外两个力反方向进行分解，所得分力与另外两个力大小相等、方向相反．
(3)正交分解法：把力沿两个互相垂直的方向进行分解的方法叫正交分解法．选共点力作用的交点为坐标原点，恰当地建立直角坐标系xOy，将各力沿两坐标轴依次分解为互相垂直的两个分力．然后分别求出相互垂直的x、y两个方向的合力且满足平衡条件Fx＝0，Fy＝0.多用于物体受到三个以上共点力作用而平衡的情况．
2．处理共点力平衡的一般步骤
(1)根据问题的要求和计算方便，恰当地选择研究对象．
(2)对研究对象进行受力分析，画出受力分析图．
(3)通过“平衡条件”，找出各力之间的关系，把已知量和未知量联系起来．
(4)求解，必要时对求解结果进行讨论．
如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g.若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为( )
A． B．
C．mgtan α D．mgcot α
[思路点拨] 本题属于三力平衡，可以根据任意两个力的合力与第三力等大反向求解，也可以根据力的分解求解，还可以用正交分解法求解．
[解析] 法一：合成法
以石块为研究对象，受力如图所示，由对称性可知两侧面所受弹力大小相等，设为N，由三力平衡可知四边形OABC为菱形，故△ODC为直角三角形，且∠OCD为α，则由mg＝Nsin α可得N＝，故A正确．
法二：分解法
以石块为研究对象，受力如图所示
将重力G按效果分解为G1、G2
由对称性知G1＝G2＝＝
由牛顿第三定律知，N1＝N2＝，故A正确．
法三：正交分解法
以石块为研究对象，受力分析如图所示，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立坐标系．
x轴上：N1cos α－N2cos α＝0 ①
y轴上：N1sin α＋N2sin α＝mg ②
由①②得：N1＝N2＝，故A正确．
[答案] A
eq \a\vs4\al()
处理平衡问题时应注意的事项
先确定研究对象(可以是物体，也可以是一个点)，再正确地分析物体的受力情况，根据物体的受力，结合物体的平衡条件来选择合适的解题方法，一般情况若物体受三个力作用时，常用合成法或分解法，受力个数多于三个一般要用正交分解法．
2.如图所示，重力为500 N的人通过跨过定滑轮的轻绳牵引重200 N的物体，当绳与水平面成60°角时，物体静止，不计滑轮与绳的摩擦．求地面对人的支持力和摩擦力的大小．
解析：人和物体静止，所受合力皆为零，对物体分析得到：绳的拉力F等于物重200 N.
人受力如图所示，由平衡条件得：
Fcos 60°－Ff＝0
Fsin 60°＋FN－G＝0
解得：Ff＝100 N FN＝326.8 N.
答案：326.8 N 100 N
动态平衡问题的求解[学生用书P56]
动态平衡是指物体的状态发生缓慢变化，可以认为任一时刻都处于平衡状态．分析此类问题时，常用方法有：
1．图解法：对研究对象进行受力分析，再根据平行四边形定则或三角形定则画出不同状态下力的矢量图(画在同一个图中)，然后根据有向线段(表示力)长度的变化判断各个力的变化情况．
2．解析法：对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出因变参量与自变参量的一般函数，然后根据自变参量的变化确定因变参量的变化．
如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的弹力大小为FN1，木板对球的弹力大小为FN2.以木板与墙连接点所形成的水平直线为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中( )
A．FN1始终减小，FN2始终增大
B．FN1始终减小，FN2始终减小
C．FN1先增大后减小，FN2始终减小
D．FN1先增大后减小，FN2先减小后增大
[解析] 法一：解析法
如图所示，由平衡条件得FN1＝，
FN2＝，随θ逐渐增大到90°，tan θ、sin θ都增大，FN1、FN2都逐渐减小，所以选项B正确．
法二：图解法
对球受力分析，球受3个力，分别为重力G、墙对球的弹力FN1和板对球的弹力FN2.当板逐渐放至水平的过程中，球始终处于平衡状态，即FN1与FN2的合力F始终竖直向上，大小等于球的重力G，如图所示，由图可知FN1的方向不变，大小逐渐减小，FN2的方向发生变化，大小也逐渐减小，故选项B正确．
[答案] B
3.如图，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切．穿在轨道上的小球在拉力F作用下，缓慢地由A向B运动，F始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为FN.在运动过程中( )
A．F增大，FN减小
B．F减小，FN减小
C．F增大，FN增大
D．F减小，FN增大
解析：选A.由题意知，小球在由A运动到B过程中始终处于平衡状态．设某一时刻小球运动至如图所示位置，则对球由平衡条件得：F＝mgsin θ，FN＝mgcos θ，在运动过程中，θ增大，故F增大，FN减小，A正确．
整体法、隔离法在平衡问题中的应用[学生用书P56]
如图所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于静止状态，若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则( )
A．球B对墙的压力增大
B．物体A与球B之间的作用力增大
C．地面对物体A的摩擦力减小
D．物体A对地面的压力减小
[思路点拨] A、B都处于静止状态，运动状态相同．在判断地面对A的摩擦力、A对地面的压力以及墙壁对B的弹力时，可将A、B看做一个整体来处理．判断A、B间的作用力时，可以隔离B来分析．
[解析] 将A、B作为一个整体来研究，受力如图甲所示，受到总的重力GA＋GB、地面对A的支持力NA、地面的静摩擦力fA、墙壁对B的弹力NB.根据平衡条件有水平方向：fA＝NB
甲
竖直方向：NA＝GA＋GB
可见，当A向右移动少许时，物体A对地面的压力不变．
乙
再隔离B分析，如图乙所示，受到重力GB、墙壁的弹力NB、A对B的弹力N三个力的作用．根据平衡条件可知，弹力N和NB的合力与GB等大反向．则有N＝
NB＝GBtan θ
A向右移动时，角度θ减小，则弹力N和NB都减小，fA减小．结合牛顿第三定律，球B对墙的压力减小．故选项A、B、D错误，C正确．
[答案] C
eq \a\vs4\al()
当涉及多个研究对象时，如果一个一个地用隔离法来研究，不仅麻烦，而且无法直接判断它们之间的运动趋势，较难处理，但采用整体法来解决，就直观容易得多，必要时再隔离物体分析．
4.如图所示，物体A放在物体B上，物体B为一个斜面体，且放在粗糙的水平地面上，A、B均静止不动，则物体B的受力个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选C.对物体A受力分析，如图a所示；由于A、B均静止，故可将A、B视为一个整体，其水平方向无外力作用，B相对地面也就无运动趋势，故地面对B无摩擦力，受力如图b所示；对物体B受力分析，如图c所示，共有四个力，选项C正确．
[随堂检测][学生用书P57]
1．(多选)下列运动项目中的运动员处于平衡状态的是( )
A．体操运动员双手握住单杠吊在空中不动时
B．蹦床运动员在空中上升到最高点时
C．举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间内
D．游泳运动员仰卧在水面静止不动时
解析：选ACD.物体处于平衡状态的条件是a＝0，B项中运动员在最高点时v＝0，而a≠0，故不是处于平衡状态，B错误，A、C、D正确．
2.如图，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑．已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A与B的质量之比为( )
A． B．
C． D．
解析：选B.设水平作用力为F.滑块B刚好不下滑，根据平衡条件得mBg＝μ1F；滑块A恰好不滑动，则滑块A与地面之间的摩擦力等于最大静摩擦力，把A、B看成一个整体，根据平衡条件得F＝μ2(mA＋mB)g，解得＝.选项B正确．
3．如图所示，拉B物体的轻绳与竖直方向成60°角，O为一定滑轮，物体A与B间用跨过定滑轮的细绳相连且均保持静止，已知B的重力为100 N，水平地面对B的支持力为80 N，绳和滑轮质量及摩擦均不计，试求：
(1)物体A的重力；
(2)B受到的摩擦力．
解析：对A、B受力分析如图，由平衡条件
对A：T＝GA ①
对B：N＋Tcos 60°＝GB ②
由①②：GA＝＝40 N
又对B：Tsin 60°＝f，故f＝34.6 N.
答案：(1)40 N (2)34.6 N
[课时作业][学生用书P123(单独成册)]
一、单项选择题
1．下列说法正确的是( )
A．相对另一个物体匀速运动的物体一定是动态平衡
B．相对另一个物体静止的物体一定是静态平衡
C．不论是动态平衡还是静态平衡其合力一定为零
D．速度为零的物体一定是静态平衡
解析：选C.相对地面处于静止和匀速运动状态的物体才是平衡状态，所以A、B错．只要是平衡状态物体所受合力必为零，C对．速度为零的物体可能加速度不为零，不一定是静态平衡，D错．
2.一个重为20 N的物体置于光滑的水平面上，当用一个F＝5 N的力竖直向上拉该物体时，如图所示，物体受到的合力为( )
A．15 N B．25 N
C．20 N D．0
解析：选D.由于物体的重力大于拉力，所以没有拉动物体，物体仍处于静止状态，所受合力为零．
3．某物体在三个共点力作用下处于平衡状态，若把其中一个力F1的方向沿顺时针转过90°而保持其大小不变，其余两个力保持不变，则此时物体所受到的合力大小为( )
A．F1 B．F1
C．2F1 D．无法确定
解析：选B.由物体处于平衡状态可知，F1与另外两个共点力的合力F′等大反向，这是解本题的巧妙之处．如甲图所示，当F1转过90°时，F′没变化，其大小仍等于F1，而F1沿顺时针转过90°时，如乙图所示，此时物体所受总的合力F＝eq \r(F＋F′2)＝F1，选项B正确．
4.如图所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐慢慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是( )
A．增大 B．先减小后增大
C．减小 D．先增大后减小
解析：选B.
对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如图所示．由图可看出，FBC先减小后增大．
5．两光滑平板MO、NO构成一具有固定夹角θ0＝75°的V形槽，一球置于槽内，用θ表示NO板与水平面之间的夹角，如图所示．若球对板NO压力的大小正好等于球所受重力的大小，则下列θ值中哪个是正确的( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析：选B.球受重力mg和两个挡板给它的支持力N1、N2，由于球对板NO压力的大小等于球的重力，所以板对小球的支持力N1＝mg，三力平衡，则必构成如图所示、首尾相接的矢量三角形，由于N1＝mg，此三角形为等腰三角形，设底角为β，则α＋2β＝180°，又因为四边形内角和为360°，则α＋β＋θ0＝180°，θ0＝75°，解得α＝30°，由几何关系得θ＝α＝30°.
6．用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图所示，已知绳ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则绳ac和绳bc中的拉力分别为( )
A．mg，mg B．mg，mg
C．mg，mg D．mg，mg
解析：
选A.将绳ac和bc的拉力合成，由二力平衡条件可知，合力与重力大小相等，即F＝mg，如图所示．因绳ac和绳bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，所以平行四边形为矩形，由图可知，ac绳中的拉力Tac＝mgcos 30°＝mg，bc绳中的拉力Tbc＝mgsin 30°＝mg，A正确．
二、多项选择题
7.如图所示，铁板AB与水平地面间的夹角为θ，一块磁铁吸附在铁板下方．先缓慢抬起铁板B端使θ角增加(始终小于90°)的过程中，磁铁始终相对铁板静止．下列说法正确的是( )
A．磁铁始终受到四个力的作用
B．铁板对磁铁的弹力逐渐增加
C．磁铁所受合外力逐渐减小
D．磁铁受到的摩擦力逐渐减小
解析：选AB.对磁铁受力分析，受重力G、磁力F、支持力FN和摩擦力Ff，如图，所以磁铁受到四个力的作用；由于磁铁受力始终平衡，故合力为零，故A正确，C错误；根据平衡条件，有：
Gsin θ－Ff＝0
F－Gcos θ－FN＝0
解得：Ff＝Gsin θ
FN＝F－Gcos θ
由于θ不断变大，故Ff不断变大，FN不断变大，故D错误，B正确．
8．如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部O′处(O为球心)，弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点．已知容器半径为R、与水平地面之间的动摩擦因数为μ，OP与水平方向的夹角为θ＝30°.下列说法正确的是( )
A．轻弹簧对小球的作用力大小为mg
B．容器相对于水平面有向左的运动趋势
C．容器和弹簧对小球的作用力的合力竖直向上
D．弹簧原长为R＋
解析：选CD.对小球受力分析，如图所示，因为θ＝30°，所以三角形OO′P为等边三角形，由相似三角形法得FN＝F＝mg，所以A项错．由整体法得，容器与地面没有相对运动趋势，B项错．小球处于平衡状态，容器和弹簧对小球的作用力的合力与重力平衡，故C项对．由胡克定律有F＝mg＝k(L0－R)，解得弹簧原长L0＝R＋，D项对．
9．半圆柱体P放在粗糙的水平地面上，其右端有一固定放置的竖直挡板MN.在半圆柱体P和MN之间放有一个光滑均匀的小圆柱体Q，整个装置处于平衡状态，如图所示是这个装置的截面图．现使MN保持竖直并且缓慢地向右平移，在Q滑落到地面之前，发现P始终保持静止．则在此过程中，下列说法中正确的是( )
A．MN对Q的弹力逐渐减小
B．P对Q的弹力逐渐增大
C．地面对P的摩擦力逐渐增大
D．Q所受的合力逐渐增大
解析：选BC.
圆柱体Q的受力如图所示，在MN缓慢地向右平移的过程中，它对圆柱体Q的作用力F1方向不变，P对Q的作用力F2的方向与水平方向的夹角逐渐减小，由图可知MN对Q的弹力F1逐渐增大，A错误；P对Q的弹力F2逐渐增大，B正确；以P、Q为整体，地面对P的摩擦力大小等于MN对Q的弹力F1，故地面对P的摩擦力逐渐增大，C正确；Q所受的合力始终为零，D错误．
三、非选择题
10.如图所示，物体质量为m，靠在粗糙的竖直墙上，物体与墙之间的动摩擦因数为μ，若要使物体沿墙向上匀速运动，试求外力F的大小．(F与水平方向夹角为α)
解析：物体向上运动，受力分析如图所示，建立如图所示的坐标系．
由共点力平衡条件得：
Fcos α－N＝0 ①
Fsin α－f－mg＝0 ②
又f＝μN ③
由①②③得F＝.
答案：
11.如图所示，在水平粗糙横杆上，有一质量为m的小圆环A，用一细线悬吊一个质量为m的球B.现用一水平拉力缓慢地拉起球B，使细线与竖直方向成37°角，此时环A仍保持静止．求：
(1)此时水平拉力F的大小；
(2)横杆对环的支持力的大小；
(3)杆对环的摩擦力．
解析：(1)取小球为研究对象进行受力分析，由平衡条件得：
FTsin 37°＝F
FTcos 37°＝mg
联立解得F＝mg.
(2)取A、B组成的系统为研究对象
FN＝2mg，Ff＝F.
(3)由(2)可知环受到的摩擦力大小为mg，方向水平向左．
答案：(1)mg (2)2mg
(3)mg 方向水平向左
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