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第一章 机械振动
第一章 机械振动
时间t
平衡位置
正弦(或余弦)
位移
平衡位置
振幅
初相位
初相
摆长
相位差
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B
C第3节 简谐运动的图像和公式
[随堂检测]
1.(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由P→Q，位移在增大
B．由P→Q，速度在增大
C．由M→N，位移先减小后增大
D．由M→N，加速度先增大后减小
解析：选AC．由P→Q，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，选项B错误；由M→N，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因此位移先减小后增大，由a＝＝－可知，加速度先减小后增大，选项C正确，选项D错误．
2．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点( )
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．3 s末至5 s末的位移方向都相同
D．3 s末至5 s末的速度方向都相同
解析：选AD．由x＝Asint知周期T＝8 s．第1 s、第3 s、第5 s间分别相差2 s，恰好是个周期．根据简谐运动图像中的对称性可知A、D选项正确．
3．如图所示，一个弹簧振子在A、B间做简谐运动，O是平衡位置，选向右的方向为正方向，以某时刻作为计时零点(t＝0)，经过周期，振子具有正方向的最大加速度，那么如图所示的四个振动图像中能正确反映振动情况的是( )
解析：选D．从计时起经周期，振子具有正方向的最大加速度，即周期末振子在负的最大位移处，说明开始计时时振子从平衡位置O向负方向A处运动，故选项D正确．
4．如图所示为一简谐运动的振动图像，在0～0.8 s时间内，下列说法正确的是( )
A．质点在0和0.8 s时刻具有正向最大速度
B．质点在0.2 s时刻具有负向最大加速度
C．0至0.4 s质点加速度始终指向－x方向不变
D．在0.2 s至0.4 s时间内，加速度方向和速度方向相同
解析：选D．在0和0.8 s时刻具有负向的最大速度，而不是正向，故A错；0.2 s时刻加速度方向指向平衡位置即正向，故B错；0至0.4 s质点加速度方向指向x正方向不变，故C错；0.2 s至0.4 s内，加速度方向和速度方向相同，D对．
5．某个质点的简谐运动图像如图所示，求振动的振幅和周期．
解析：由题图读出振幅A＝10 cm
简谐运动方程x＝Asin
代入数据－10＝10sin
得T＝8 s.
答案：10 cm 8 s
[课时作业]
一、单项选择题
1．如图，弹簧振子在M、N之间做简谐运动．以平衡位置O为原点，以向右为正方向建立Ox轴．若振子位于N点时开始计时，则其振动图像为( )
解析：选B．由题意：向右为x正方向时，振子运动到N点时，振子具有正方向最大位移，所以振子运动到N点时开始计时振动图像应是余弦曲线，故B正确，A、C、D错误．
2．如图为某质点做简谐运动的图像，则下列说法正确的是( )
A．由图可知，振动质点运动的轨迹是正弦曲线
B．振动质点在3.5 s时的位移大小大于1.5 s时的位移大小
C．质点振动的振幅为10 cm
D．质点在第1 s末和第3 s末位移的方向相反
解析：选D．轨迹是质点运动的路径，如弹簧振子的轨迹是直线，单摆的轨迹是圆弧，x－t图线是物体位移随时间变化的曲线，不代表物体运动的轨迹，A选项不正确．由简谐振动的对称性，振动质点在3.5 s时的位移大小等于1.5 s时的位移大小，B选项不正确．质点振动的振幅是质点离开平衡位置的最大距离，为5 cm，C选项不正确．质点在第1 s末的位移方向为正，第3 s末位移方向为负，故选项D是正确的．
3．有一个弹簧振子，振幅为0.6 cm，周期为0.5 s．初始时具有正方向的最大加速度，则它的振动方程为( )
A．x＝0.6sin cm
B．x＝0.6sin cm
C．x＝0.6sin cm
D．x＝0.6sin cm
解析：选B．由题意，A＝0.6 cm，＝4π，初始位置加速度正向最大，即在负方向的最大位移处，初相位为φ＝－或φ＝，振动方程为选项B．
4.在做单摆振动过程中的位移与时间关系图像的实验时所用的装置如图所示，图中的B为装沙的漏斗，当匀速拉动下面的木板时，在单摆摆动的过程中，B中漏出的沙在木板上留下的图形就是简谐运动中的位移x与时间t的图像．对于该图像，下列说法中正确的是(漏斗的质量相对沙子而言较小，但漏斗大小不可忽略不计)( )
A．由该图像可以看出单摆的周期是一个恒量
B．由该图像可以看出单摆的周期是一个变量，且变大
C．由该图像可以看出单摆的周期是一个变量，且变小
D．由该图像可以看出单摆的周期是一个变量，且先变大后变小
解析：选B．由单摆的周期公式可以看出周期与摆球的质量无关，但是此实验过程的漏斗相当于摆球，它的质量是变化的，虽然质量不影响周期，但是摆长却影响周期．而单摆的摆长是悬点到摆球质心(一般是球心)间的距离，而漏斗在漏沙的过程中，其质心是下降的，当沙漏完的瞬间，质心突然上升，也就是说漏斗在摆动的过程中，其摆长是先增大，后减小．但是在木板上反映出来的是漏沙的过程，当沙漏完后其周期变小，在木板上沙的图像中反映不出来．由以上分析可知，B选项正确．
5．一弹簧振子做简谐运动，其振动图像如图所示，那么在和(Δt是极短的时间)两时刻，振子的：①速度相同；②加速度相同；③相对平衡位置的位移相同；④振动的能量相同．以上选项中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：选D．由振动图像可看出，在和两时刻，振子的速度相同，加速度大小相等方向相反，相对平衡位置的位移大小相等方向相反，振动的能量相同，正确选项是D．
6．一质点做简谐运动的振动图像如图所示，质点的速度与加速度方向相同的时间段是( )
A．0～0.3 s B．0.3～0.9 s
C．0.6～0.9 s D．0.9～1.2 s
解析：选D．质点做简谐运动时加速度方向与回复力方向相同，与位移方向相反，总是指向平衡位置；位移增加时速度与位移方向相同，位移减小时速度与位移方向相反．
7．如图所示，一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻质弹簧，左端固定，右端与质量为m，带电荷量为＋q的小球相连，静止在光滑绝缘的水平面上，在施加一个场强为E方向向右的匀强电场后，小球开始做简谐运动，那么( )
A．小球到达最右端时，弹簧的形变量为
B．小球做简谐运动的振幅为
C．运动过程中小球的机械能守恒
D．运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
解析：选A．最初点算是振幅，小球做简谐运动的平衡位置是Eq＝kx，所以x＝，所以振幅为，由于弹簧一直处于拉伸状态，当到达最左边时候距离最右边时候2倍振幅，所以弹簧的形变量为，由于有除了弹力和重力以外的电场力做功，所以机械能不守恒，D该是弹性势能、电势能、动能的总量不变．
二、多项选择题
8．如图为甲、乙两单摆的振动图像，则( )
A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝2∶1
B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1
C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1
D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4
解析：选BD．由图像可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆长之比为l甲∶l乙＝4∶1，故B对，A错．若两摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4，故C错，D对．
9．一质点做简谐运动，其位移x与时间t关系曲线如图所示，由图可知( )
A．质点振动的频率是6 Hz
B．质点振动的振幅是2 cm
C．在t＝3 s时，质点的速度最大
D．在t＝4 s时，质点所受的合外力为零
解析：选BC．从振动图像可知振幅A＝2 cm，周期T＝4 s，则频率为f＝＝0.25 Hz.t＝3 s时，质点位于平衡位置，速度最大，而t＝4 s时，质点位于最大位移处，所以回复力最大．
10．一质点做简谐运动的图像如图所示，下列说法不正确的是( )
A．质点的振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．第4 s末质点的速度为零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
解析：选ACD．振动图像表示质点在不同时刻相对平衡位置的位移，由题图图像可看出，质点运动的周期T＝4 s，其频率f＝＝0.25 Hz；10 s内质点运动了T，其运动路程为s＝×4A＝×4×2 cm＝20 cm；第4 s末质点在平衡位置，其速度最大；t＝1 s和t＝3 s两时刻，由题图图像可看出，位移大小相等，方向相反．由以上分析可知，B项正确．A、C、D均错误．
三、非选择题
11.如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题：
(1)振幅、周期各是多少？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在第2 s末的位移是多少？在前4 s内的路程是多少？
(4)这个简谐运动的位移随时间变化的关系式．
解析：由图上的信息，结合质点的振动过程可以得出：
(1)质点离开平衡位置的最大位移x＝10 cm，所以振幅A＝10 cm；质点完成一次全振动的时间为4 s，则周期T＝4 s.
(2)在1.5 s以后质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5 s以后质点位移增大，因此是背离平衡位置运动．
(3)质点2 s末时在平衡位置，因此位移为零．质点在前4 s内完成一个周期性运动，其路程10 cm×4＝40 cm.
(4)因为A＝10 cm，T＝4 s，＝，φ0＝0，所以简谐运动的表达式x＝10sint.
答案：(1)10 cm 4 s (2)负方向 负方向
(3)0 40 cm (4)x＝10sint
12．如图甲是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设摆球向右运动为正方向．图乙是这个单摆的振动图像．根据图像回答：
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，这个摆的摆长是多少？
解析：(1)由题图乙可知：T＝0.8 s
所以f＝＝ Hz＝1.25 Hz.
(2)t＝0时x＝－4 cm，故开始时刻摆球在B位置．
(3)根据T＝2π ，所以l＝≈0.16 m.
答案：(1)1.25 Hz (2)B点 (3)0.16 m
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B第3节 简谐运动的图像和公式
1.掌握简谐运动的位移－时间图像．(重点＋难点) 2.知道简谐运动的表达式，明确图像所表示的物理意义及图像信息．(重点) 3.了解相位、初相和相位差的概念．
一、简谐运动的图像
1．坐标系的建立：以横轴表示做简谐运动的物体运动的时间t，纵轴表示做简谐运动的物体运动过程中相对平衡位置的位移x.
2．图像的特点：一条正弦(或余弦)曲线．如图所示．
3．图像意义：表示做简谐运动的物体在任意时刻相对于平衡位置的位移．
二、简谐运动的表达式
x＝Asin(ωt＋φ)＝Asin或x＝Asin(2πft＋φ)
一般表达式为：x＝Asin.式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示振动时间，A表示简谐运动的振幅．
三、简谐运动的相位、相位差
1．相位：在式x＝Asin(2πft＋φ)中，2πft＋φ叫做简谐运动的相位，t＝0时的相位φ叫做初相位，简称初相．
2．相位差：当两个摆长相同的单摆，从平衡位置拉开后，相隔不同时间放开，它们的振动步调将不相同，即它们各时刻的相位也就不同，或者说二者振动具有相位差．
1．简谐运动图像描述的是什么？
提示：简谐运动图像描述的是一个质点位移随时间的变化规律．
2．简谐运动中的圆频率ω在简谐运动中到底有什么意义？
提示：“简谐运动”就是“圆周运动”在其直径上的投影．ω就是“圆周运动”的角速度．与“简谐运动”的周期T关系为：ω＝.
对简谐运动图像的理解
1．图像含义：表示某一质点不同时刻偏离平衡位置的位移．如图中. t1时刻质点的位移比t2时刻质点的位移大，t1时刻位移为正，t2时刻位移为负.
2．图像斜率：该时刻速度的大小和方向，如图中t1时刻质点的速度比t2时刻质点的速度小，t1时刻速度为负，t2时刻速度也为负．
3．加速度的判断：从图像上可以比较质点在各个时刻加速度的大小及符号(表示方向)，如图中，质点在t1时刻的加速度比在t2时刻的加速度大，t1时刻质点加速度符号为负，沿x轴负向，t2时刻质点加速度符号为正，沿x轴正向．
4．任一时刻运动规律的判断：看下一时刻质点的位置，判断是远离还是靠近平衡位置，若远离平衡位置，则速度越来越小，加速度、位移越来越大，若靠近平衡位置，则速度越来越大，加速度、位移越来越小，如图中t1时刻，从正位移向着平衡位置运动，位移变小，速度为负且增大，加速度正在减小，t2时刻从负位移远离平衡位置运动，则速度为负且减小，位移、加速度正在增大．
(1)简谐运动图像表示的是位移随时间的变化关系，不是振子的运动轨迹．
(2)当位移相同时，物体运动速度大小相等，但方向可能相同，也可能相反；当速度相同时，位移大小相等，但方向可能相同，也可能相反．
命题视角1 根据振动情况判断振动图像
装有砂粒的试管竖直静立于水面，如图所示，将管竖直提起少许，然后由静止释放并开始计时，在一定时间内试管在竖直方向近似做简谐运动．若取竖直向上为正方向，则如图所示描述试管振动的图像中可能正确的是( )
[解析] 试管在竖直方向上做简谐运动，平衡位置是在重力与浮力相等的位置，开始时向上提起的距离，就是其偏离平衡位置的位移，为正向最大位移．故正确答案为D．
[答案] D
命题视角2 根据振动图像判断振子某时刻的运动情况
如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图像中的信息，回答下列问题：
(1)质点离开平衡位置的最大距离是多少？
(2)在1.5 s和2.5 s两个时刻，质点向哪个方向运动？
(3)质点在第2秒末的位移是多少？在前4秒内的路程是多少？
[解析] 由图像上的信息，结合质点的振动过程可知：
(1)质点离开平衡位置的最大距离就是x的最大值为10 cm；
(2)在1.5 s后质点位移减小，因此是向平衡位置运动，在2.5 s后质点位移增大，因此是背离平衡位置运动；
(3)质点第2秒末在平衡位置，因此位移为零．质点在前4秒内完成一个周期性运动，其路程为10 cm×4＝40 cm.
[答案] 见解析
对于振动图像，不要错误地理解为振子的振动轨迹，振子位移的起始位置为平衡位置，应该与运动学中物体的位移区分开．
命题视角3 根据振动图像判断某段时间内的运动变化情况
(多选)如图所示为某简谐运动的图像，若t＝0时，质点正经过O点向b运动，则下列说法正确的是( )
A．质点在0.7 s时，正在远离平衡位置运动
B．质点在1.5 s时的位移达到最大
C．1.2 s到1.4 s，质点的位移在增大
D．1.6 s到1.8 s，质点的位移在增大
[解析] 由于位移是指由平衡位置指向质点所在位置的有向线段，故质点在0.7 s时的位移方向向右，且正在向平衡位置运动，A错误；质点在1.5 s时的位移达到最大，B正确；质点在1.2 s到1.4 s过程中，正在远离平衡位置，所以其位移在增大，C正确；1.6 s到1.8 s时间内，质点正向平衡位置运动，所以其位移正在减小，D错误．
[答案] BC
解答有关振动图像的题目时的注意点
(1)将图像与题目中振子的运动情况结合起来．
(2)要理解从图像上能直接得到或间接得到的信息．
(3)将图像表现的信息与振子运动的几个特点结合起来，如振子的往复性、对称性．
【通关练习】
1．(多选)如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是( )
A．由t1→t2，位移在增大
B．由t1→t2，速度在增大
C．由t3→t4，位移先减小后增大
D．由t3→t4，位移始终减小
解析：选AC．由t1→t2，位置坐标越来越大，质点远离平衡位置运动，位移在增大而速度在减小，选项A正确，B错误；由t3→t4，质点先向平衡位置运动，经平衡位置后又远离平衡位置，因而位移先减小后增大，选项C正确，D错误．
2．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程并画出图像．
解析：简谐运动的振动方程的一般式为x＝Asin
根据题给条件有：A＝0.08 m，＝2πf＝π
所以x＝0.08sin(πt＋φ0)m
将t＝0时x＝0.04 m代入得0.04＝0.08sin φ0
解得初相φ0＝或φ0＝π
因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ0＝π
所求的振动方程为x＝0.08sinm.
振动图像如图所示
答案：x＝0.08sinm 图像见解析
简谐运动的表达式
1．简谐运动的表达式：x＝Asin(ωt＋φ)
(1)x表示振动质点相对平衡位置的位移，t表示振动的时间．
(2)A表示振幅，描述的是振动的强弱．
(3)ω是简谐运动的圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝＝2πf，表示振动的快慢．
(4)φ表示t＝0时简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相．(ωt＋φ)表示物体在t时刻所处的状态，代表简谐运动的相位．
(ωt＋φ)是描述不同振动的振动步调的物理量．它是一个随时间变化的量，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动．
2．相位差：即某一时刻的相位之差．两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1.
相位差的取值范围一般为－π≤Δφ≤π，当Δφ＝0时两运动步调完全相同，称为同相，当Δφ＝π(或－π)时，两运动步调相反，称为反相．
(多选)如图，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动．以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin (2.5πt) m．t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度．取重力加速度的大小g＝10 m/s2.以下判断正确的是( )
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程为0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
[解析] 由物块简谐运动的表达式y＝0.1sin(2.5πt) m知，ω＝2.5π，T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；t＝0.6 s时，y＝－0.1 m，对小球：h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；物块0.6 s内路程为0.3 m，t＝0.4 s时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同．故选项C、D错误．
[答案] AB
简谐运动的表达式x＝Asin中的每个物理量都要清楚，振动的初相φ0跟起始时刻振子向正方向还是负方向运动有关．
(多选)有两个振动的振动方程分别是：x1＝3sincm，x2＝5sincm，下列说法正确的是( )
A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致
解析：选BC．由两振动的表达式可知，它们的振幅分别为3 cm和5 cm，振幅不同，A错；它们的周期T1＝＝＝0.02 s＝T2，相同，B对；它们的相位差Δφ＝φ2－φ1＝－＝－为一常数，故C对；振动步调不一致，D错．
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