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第一章 机械振动
第一章 机械振动
微小变化
质量
阻力
圆弧切线
正比
平衡位置
简谐运动
质量
振幅
长
正比
反比
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突破疑难·讲练提升第2节 单摆
1．做简谐振动的单摆，在摆动的过程中( )
A．只有在平衡位置时，回复力才等于重力和细绳拉力的合力
B．只有在最高点时，回复力才等于重力和细绳拉力的合力
C．小球在任意位置处，回复力都等于重力和细绳拉力的合力
D．小球在任意位置处，回复力都不等于重力和细绳拉力的合力
解析：选B．单摆在一个圆弧上来回运动，摆球做圆周运动的向心力由重力沿悬线方向的分力和悬线拉力的合力提供，而回复力是指重力沿圆弧切线方向的分力．摆球在平衡位置速度不为零，向心力不为零，而回复力为零，所以合力不是回复力；摆球在最高点时，速度为零，向心力为零，合力等于回复力．故选项B正确．
2．将秒摆的周期变为4 s，下列措施正确的是( )
A．只将摆球质量变为原来的1/4
B．只将振幅变为原来的2倍
C．只将摆长变为原来的4倍
D．只将摆长变为原来的16倍
解析：选C．单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A、B均错；对秒摆，T0＝2π＝2 s，对周期为4 s的单摆，T＝2π＝4 s，故l＝4l0.故C对、D错．
3．如图所示是一个单摆，其周期为T，则下列说法正确的是( )
A．把摆球质量增加一倍，则周期变小
B．把偏角α变小时，周期也变小
C．摆球由O→B→O，运动的时间为T
D．摆球由O→B→O，运动的时间为
解析：选D．单摆的周期T与质量无关，选项A错．偏角α变小，振幅变小，但单摆的周期T与振幅无关，选项B错．摆球由O→B→O的过程仅完成了半个全振动，运动时间等于，选项C错，D对．
4.如图所示，曲面AO是一段半径为2 m的光滑圆弧面，圆弧与水平面相切于O点，AO弧长为10 cm，现将一小球先后从曲面的顶端A和AO弧的中点B由静止释放，到达底端的速度分别为v1和v2，经历的时间分别为t1和t2，那么( )
A．v1B．v1>v2，t1＝t2
C．v1＝v2，t1＝t2
D．以上三种情况都有可能
解析：选B．因为AO弧长远小于半径，所以小球从A、B处沿圆弧滑下可等效成小角度单摆的摆动，即做简谐运动，等效摆长为2 m，单摆的周期与振幅无关，故t1＝t2，因mgh＝mv2，所以v＝，故v1>v2.
5．已知在单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m．则两单摆摆长la与lb分别为多少？
解析：设单摆a、b振动的时间为t.根据单摆振动周期公式，有
Ta＝＝2π①
Tb＝＝2π②
由①②式看出>，所以lb>la，则有
lb－la＝1.6 m③
由①②式联立，解得100la＝36lb④
由③④式联立，解得la＝0.9 m，lb＝2.5 m.
答案：0.9 m 2.5 m
[课时作业]
一、单项选择题
1．在“探究单摆的周期跟摆长关系”的实验中，需测定单摆的周期，为了减小周期测量的误差，应测定( )
A．单摆完成一次全振动的时间，并在摆球到达最大位移处开始计时
B．单摆完成多次全振动的时间，并在摆球到达最大位移处开始计时
C．单摆完成一次全振动的时间，并在摆球到达平衡位置时开始计时
D．单摆完成多次全振动的时间，并在摆球到达平衡位置时开始计时
解析：选D．在探究单摆周期与摆长关系实验中，为减小实验误差，应采用多次测量求平均值的方法，为便于对全振动的计数，计时时应在摆球通过平衡位置的时候，故D正确．
2．要增加单摆在单位时间内的摆动次数，可采取的方法是( )
A．增大摆球的质量 B．缩短摆长
C．减小摆动的角度 D．升高气温
解析：选B．由单摆的周期公式T＝2π可知，周期只与l、g有关，而与质量、摆动的幅度无关，当l增大时，周期增大；g增大时，周期减小；l减小时，周期减小，频率增大．所以选B．
3．做简谐运动的单摆摆长不变，若摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减小为原来的，则单摆振动的( )
A．频率、振幅都不变
B．频率、振幅都改变
C．频率不变，振幅改变
D．频率改变，振幅不变
解析：选C．由单摆周期公式T＝2π知周期只与l、g有关，与m和v无关，周期不变频率不变．又因为没改变质量前，设单摆最低点与最高点高度差为h，最低点速度为v, mgh＝mv2.质量改变后：4m′gh′＝·4m′·，可知h′≠h，振幅改变．
4．在一个单摆装置中，摆动物体是个装满水的空心小球，球的正下方有一小孔，当摆开始以小角度摆动时，让水从球中连续流出，直到流完为止，由此摆球的周期将( )
A．逐渐增大 B．逐渐减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
解析：选C．单摆小角度摆动，做简谐运动的周期为T＝2π，式中l为摆长，其值为悬点到摆动物体重心之间的距离，当小球装满水时，重心在球心，水流完后，重心也在球心，但水刚流出过程中重心要降低，因此，在水的整个流出过程中，重心位置先下降后上升，即摆长l先增大后减小，所以摆动周期将先增大后减小．
5．一只钟从甲地拿到乙地，它的钟摆摆动加快了，则下列对此现象的分析及调准方法的叙述中正确的是( )
A．g甲>g乙，将摆长适当增长
B．g甲>g乙，将摆长适当缩短
C．g甲D．g甲解析：选C．钟从甲地拿到乙地，钟摆摆动加快，说明周期变短，由T＝2π可知，g甲6.如图所示，光滑槽的半径R远大于小球运动的弧长，今有两个小球(视为质点)同时由静止释放，其中甲球开始离圆槽最低点O较远些，则它们第一次相遇的地点是在( )
A．O点
B．O点偏左
C．O点偏右
D．无法确定，因为两小球的质量关系未知
解析：选A．因为槽半径R远大于小球运动的弧长，所以小球的运动可看成单摆模型．由T＝2π知，两球经T在最低点O相遇，选项A正确．
二、多项选择题
7．单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是( )
A．摆线质量不计
B．摆线长度不伸缩
C．摆球的直径比摆线长度短得多
D．只要是单摆的运动就是一种简谐运动
解析：选ABC．单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确．但把单摆作为简谐运动来处理是有条件的，只有在摆角很小的情况下才能视单摆运动为简谐运动．
8．单摆原来的周期为T，下列哪种情况会使单摆的周期发生变化( )
A．摆长减为原来的
B．摆球的质量减为原来的
C．振幅减为原来的
D．重力加速度减为原来的
解析：选AD．由单摆的周期公式可知周期仅与摆长、重力加速度有关．
9.如图所示，单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放．碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则( )
A．如果mA＞mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧
B．如果mA＜mB，下一次碰撞将发生在平衡位置左侧
C．无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右侧
D．无论两球的质量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左侧
解析：选CD．单摆做简谐运动的周期T＝2π ，与摆球的质量无关，因此两单摆周期相同．碰后经过T都将回到最低点再次发生碰撞，下一次碰撞一定发生在平衡位置，不可能在平衡位置左侧或右侧．故C、D正确．
三、非选择题
10．甲、乙两个单摆，甲的摆长是乙的摆长的4倍，摆球乙的质量是甲的2倍．若它们在同一地点做简谐运动，在甲摆完成5次全振动的时间内，乙摆完成全振动的次数为________．
解析：由周期公式T＝2π可知，周期与摆长有关，与摆球质量无关．甲的摆长是乙的摆长的4倍，那么甲的周期是乙的周期的2倍，频率是乙的.所以甲振动5次，乙应振动10次．
答案：10次
11．在“探究单摆的周期和摆长的关系”实验中．
(1)下列说法正确的是________．
A．悬线越短越好
B．悬线上端固定且摆角要小
C．摆球应在竖直平面内摆动
D．摆球摆至最高点时开始计时
(2)以摆球通过平衡位置时开始计时，用停表记下摆球通过平衡位置n次所用的时间t，则单摆周期T＝________；用米尺量出悬线的长度l0，用游标卡尺量出摆球的直径d，则摆长l＝________．
(3)根据记录的数据，在坐标纸上以T为纵轴，l为横轴，作出T－l图像，发现图线是曲线；然后尝试以T2为纵轴，l为横轴，作出T2－l图像，发现图线是一条过原点的倾斜直线，由此得出单摆做简谐运动的周期和摆长的关系是________．
A．T∝ B．T2∝
C．T∝l D．T2∝l
解析：(1)摆线长些好，否则摆球的运动不明显；悬线上端要固定以防摆长变长，并且摆角要小，否则单摆周期公式不成立；摆球应在竖直平面内摆动，应该在摆球摆至最低点时开始计时，因为此时摆球的速度最大，计时更准确．
(2)以摆球通过平衡位置时开始计时，记为0，用停表记下摆球通过平衡位置n次所用的时间t，则单摆周期T＝；摆长指的是从悬点到摆球球心的距离，本题中摆长l＝l0＋.
(3)根据题述“T2－l图线是一条过原点的倾斜直线”可知，T2∝l，选项D正确．
答案：(1)BC (2) l0＋ (3)D
12．“嫦娥二号”载人飞船的成功发射，标志着我国航天技术新的突破．如果宇航员将在地面上校准的摆钟拿到月球上去．
(1)若此钟在月球上记录的时间是1 h，那么实际的时间是多少？
(2)若要在月球上使该钟与在地面上时一样准，摆长应如何调节？
解析：(1)设在地球上钟的频率为f0，指示时间为t0，在月球上的频率为f，指示时间为t，
则可得＝
又周期T＝2π
所以f＝
即＝＝
所以实际时间t0＝t＝ h.
(2)要使其与在地面上时走得一样准应使T＝T0
即＝
l月＝·l地＝l地．应将摆长调为原来的.
答案：(1) h (2)调为原来的
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考资源网第一时间更新名校试题,30个省市区资源一网打尽!课件、教案、学案、素材、论文种类齐全第2节 单摆
1.理解什么是单摆及在什么情况下单摆的振动是简谐运动．(重点) 2.知道单摆的周期跟哪些因素有关，了解单摆周期公式，并能进行有关计算． 3.单摆的回复力及单摆简谐运动的推导．(重点＋难点)
一、单摆的简谐运动
1．单摆模型：细线的上端固定，下端系一小球，若忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，与小球受到的重力及绳的拉力相比，空气等对它的阻力可以忽略，这样的装置就叫做单摆．
2．单摆的回复力：单摆的回复力是摆球的重力沿圆弧切线方向的分力，在摆角很小的情况下，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，因此单摆在摆角很小时做简谐运动．
二、单摆做简谐运动的周期
1．影响单摆周期的因素：实验表明，单摆振动的周期与摆球质量无关，在振幅较小时与振幅无关，但与摆长有关，摆长越长，周期越长．
2．单摆的周期公式：周期T跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，周期公式为T＝2π__．
1．为了能够忽略空气阻力，选择摆球时应选择什么样的球？
提示：选质量大体积小的球，这样就可以忽略空气阻力．
2．为什么摆角很小时，单摆的振动可以看做简谐运动？
提示：摆角很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看做沿这条直线作用，这样就可以证明F＝－kx.
对单摆模型的理解
1．运动特点
(1)摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，在运动过程中只要速度v≠0，沿半径方向都有向心力．
(2)摆球以平衡位置为中心做往复运动，在运动过程中只要不在平衡位置，轨迹的切线方向都有回复力．
2．摆球的回复力
(1)平衡位置：小球静止时所在的位置．
(2)小球的受力情况：小球受重力和绳的拉力(如图)．
(3)单摆的简谐运动：在θ很小时(理论值为5°)，sin θ≈，G1＝Gsin θ＝x，G1方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F回＝－G1＝－x＝－kx.因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动．
摆球经过平衡位置时，回复力为零，而合力不为零，此时合力提供小球做圆周运动的向心力．
关于单摆，下列说法中正确的是( )
A．摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B．摆球受到的回复力是它的合力
C．摆球经过平衡位置时，所受的合力为零
D．摆角很小时，摆球受到的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比
[解析] 单摆的回复力不是它的合力，而是重力沿圆弧切线方向的分力，A对、B错；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)，C错；另外摆球所受的合力与位移大小不成正比，D错．
[答案] A
对单摆的摆动过程的动力学分析，首先要搞清单摆的运动既有往复性摆动又有绕悬点的圆周运动，搞清单摆回复力和向心力的来源．
关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )
A．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用
B．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大
C．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大
D．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向
解析：选B．单摆在运动过程中，摆球受重力和绳的拉力，故A错．重力垂直于绳的分力提供回复力．当回复力最大时，摆球在最大位移处，速度为零，向心力为零，则拉力小于重力，在平衡位置处，回复力为零，速度最大，向心力最大，摆球的加速度方向沿绳指向悬点，故C、D错，B对．
对单摆周期公式的理解及应用
1．摆长l
(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝L＋，L为摆线长，d为摆球直径．
(2)等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sin α，这就是等效摆长，其周期T＝2π .
图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．
2．等效重力加速度
(1)若单摆在光滑斜面上摆动，如图：则等效重力加速度g′＝g·sin α，其周期为T＝2π .
(2)若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时摆线所受的张力与摆球质量的比值．
例如：图(c)场景中的等效重力加速度g′＝gsin α，球相对静止在O时，FT＝mgsin α，等效加速度g′＝＝gsin α.
3．模型的等效：
如图(d)所示，光滑的半球壳半径为R，O点为最低点，小球在O点附近的来回运动等效于单摆的简谐运动．球壳对球的支持力与摆线的拉力等效，其等效摆长为半球壳的半径R，故其周期公式为：T＝2π.
命题视角1 单摆周期公式的简单应用
如图所示是描绘沙摆振动图像的实验装置和木板上留下的实验结果．沙摆的运动可看做简谐运动．若用手向外拉木板的速度是0.20 m/s，木板的长度是0.60 m，那么下列说法中正确的是( )
A．该沙摆的周期为3 s
B．该沙摆的频率为1.5 Hz
C．这次实验所用的沙摆的摆长约为56 cm
D．这次实验所用的沙摆的摆长约为1.5 m
[解析] 由题，薄木板水平匀速运动，运动时间为：t＝＝ s＝3 s，设沙摆的周期为T，由图看出，2T＝t，得：T＝1.5 s．频率为f＝＝ Hz，选项A、B错误；由单摆的周期T＝2π，得：l＝＝0.56 m＝56 cm，选项C正确，D错误．
[答案] C
命题视角2 等效法处理单摆问题
如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的B处，今使两小球同时释放，则( )
A．球A先到达C点
B．球B先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪个球先到达C点
[解析] 球A做自由落体运动，到达C点的时间为TA＝＝ .
当BC所对的圆心角小于5°时，球B在圆弧的支持力FN和重力G的作用下做简谐运动(与单摆类似)，它的振动周期为T＝2π＝2π.
球B离最低点C很近，因此球B运动到C点所需的时间是TB＝＝，故 TA[答案] A
【通关练习】
1．做简谐运动的单摆，其摆长不变，若摆球的质量增加为原来的倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的，则单摆振动的( )
A．周期不变，振幅不变
B．周期不变，振幅变小
C．周期改变，振幅不变
D．周期改变，振幅变大
解析：选B．由单摆的周期公式T＝2π可知，单摆摆长不变，则周期不变；摆球经过平衡位置的速度减为原来的，由于振动过程中机械能守恒，故：mgh＝mv2，据此式可知，速度变小，高度减小，所以偏离平衡位置的最大距离变小，即振幅减小；故选B．
2．如图所示实线和虚线分别是同一个单摆在A、B两个大小相同的星球表面的振动图像，其中实线是A星球上的，虚线是B星球上的，则两星球的平均密度ρA∶ρB是( )
A．1∶2 B．∶1
C．4∶1 D．8∶1
解析：选C．由图示图像可知，2TA＝TB，由单摆周期公式T＝2π，故＝，万有引力等于重力，G＝mg，又M＝ρ·πR3，所以两个星球的平均密度之比ρA∶ρB＝4∶1，故C正确，A、B、D错误．
3．(多选)细长轻绳下端拴一小球构成单摆，在悬点正下方摆长处有一个能挡住摆线的钉子P，如图所示，现将单摆向左方拉开一个小角度，然后无初速度地释放，对于以后的运动，下列说法中正确的是( )
A．摆球往返运动一次的周期比无钉子时单摆的周期小
B．摆球在左右两侧上升的最大高度一样
C．摆球在平衡的位置左右两侧走过的最大弧长相等
D．摆线在平衡位置右侧的最大摆角是左侧的两倍
解析：选AB．摆线被钉子挡住后，绕A点做单摆运动，摆长发生变化，则周期也要发生变化．以前往返一次的周期T＝2π.挡住后，往返一次的周期为π＋π，故A正确；根据机械能守恒定律，摆球在左、右两侧上升的最大高度一样．故B正确；由几何关系得，右边的弧长小于左边的弧长，故C错误；由几何关系得，摆球在平衡位置右侧的最大摆角不是左侧的两倍，故D错误．
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