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第一章 机械振动
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机械振动(物体在平衡位置附近所做的往复运动
必要条件:要有回复力
动学方面定义:质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即x-t图像是一条正弦曲线
简谐运动{动力学方面定义:物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比、并总指向平衡位置的回复力
(F=-kx)的作用下的运动简谐运动中x、F、a按正弦或余弦规律变化,E会变化更快
位移:x=Asin(t+
振幅A:振动强弱,决定能量
表示振动的物理量/期7
频率劲快慢7=1=2m
o+q为相位,q为初相
固有周期和固有频率:由振动系统本身决定
自由
是正弦或余弦曲线
机/振简谐运动图像物理意义
图像可获得的信息有A、T、q、任意时刻的位移
械振动
「水平的弹簧振子回复力由弹力提侠,竖直方向的弹簧振子回复力由弹力与重力的合力
弹簧振子提供机枝能(动能+弹性势能+重力势能)守恒
T与A无关
两种模型
单摆是一种理想化模型,在偏角很小时可认为做简谐运动,回复力由重力的切向分量提供,
在平衡位置回复力为0,但合力不为0
单摆振动周期
与摆球质量、振幅无关
l为等效摆长,g为等效重力加速度
阻尼振动
∫持征:振幅逐渐减小
原因:由于受到摩擦阻力,振动的机械能逐渐转化为其他形式的能
受[定义:周期性的驱动力作用下的振动
参/f=,跟
无关
与缅相差越小,振幅A越大
动共振=时,振幅A最大
知识体系网络构建
宏观把握·理清脉络
专题归纳,整合提升
归纳整合·深度升华章末过关检测(一)
(时间：90分钟，满分：100分)
一、单项选择题(本题共7小题，每小题4分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)
1．关于做简谐运动的物体完成一次全振动的意义有以下说法，其中正确的是( )
A．回复力第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程
B．速度第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程
C．动能或势能第一次恢复原来的大小和方向所经历的过程
D．速度和加速度第一次同时恢复原来的大小和方向所经历的过程
解析：选D．物体完成一次全振动，是一次完整的振动过程．物体回到原位置，位移、速度、回复力的大小和方向与原来的大小和方向都相同．因此D正确．
2．一个弹簧振子放在光滑的水平桌面上，第一次把它从平衡位置拉开距离为d，释放后做简谐运动，振动频率为f1；第二次把它从平衡位置拉开距离为3d，释放后仍做简谐运动，其振动频率为f2.则f1∶f2等于( )
A．1∶3 B．3∶1
C．1∶1 D． ∶1
解析：选C．因为弹簧振子固有周期和频率与振幅大小无关，只由系统本身决定，所以f1∶f2＝1∶1，选C．
3．振动的物体都具有周期性，若简谐运动的弹簧振子的周期为T，那么它的动能、势能变化的周期为( )
A．2T B．T
C． D．
解析：选C．振动中动能、势能相互转化，总机械能不变，动能和势能为标量，没方向，C正确．
4．图甲是演示简谐运动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板N被匀速地拉出时，摆动着的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系．板上的直线OO′代表时间轴．图乙是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线．若板N1和板N2的速度v1和v2的关系为v2＝2v1，则板N1、N2上曲线所代表的振动的周期T1和T2的关系为( )
A．T2＝T1 B．T2＝2T1
C．T2＝4T1 D．T2＝T1
解析：选D．因N2板和N1板匀速拉过的距离相同，故两板运动时间之比＝＝2.在这段距离内N1板上方的摆只完成一个全振动，N2板上方的摆已完成两个全振动，即t1＝T1，t2＝2T2，故T2＝T1，D项正确．
5．如图所示，两根完全相同的弹簧和一根张紧的细线将甲、乙两物块束缚在光滑水平面上，已知甲的质量大于乙的质量．当细线突然断开后，两物块都开始做简谐运动，在运动过程中( )
A．甲的振幅大于乙的振幅
B．甲的振幅小于乙的振幅
C．甲的最大速度小于乙的最大速度
D．甲的最大速度大于乙的最大速度
解析：选C．由题意知，在细线未断之前两个弹簧所受到的弹力是相等的，所以当细线断开后，甲、乙两个物体做简谐运动时的振幅是相等的，A、B错；两物体在平衡位置时的速度最大，此时的动能等于弹簧刚释放时的弹性势能，所以甲、乙两个物体的最大动能是相等的，则质量大的速度小，所以C正确，D错误．
6.如图所示，两个单摆 A和B的摆长LA＞ LB，将它们都拉离竖直方向一个很小的角度θ然后释放，那么这两个摆球到达最低点时的速度v的大小和经历时间t应满足( )
A．vA＞ vB，tA＞tB B．vA＞vB，tAC．vA＜vB，tA＜ tB D．vA＜vB，tA＞ tB
解析：选A．由机械能守恒定律可知 vA＞vB，由周期公式可知tA＞tB.
7．如图甲，一弹簧振子在AB间做简谐运动，O为平衡位置，如图乙是振子做简谐运动时的位移—时间图像，则关于振子的加速度随时间的变化规律图像，图中正确的是( )
解析：选C．设位移x＝Asint，则加速度a＝－x＝－sin t，当t＝时a＝－，故C正确．
二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全选对的得6分，选对但不全的得3分，有错选或不答的得0分)
8．一质点做简谐运动，则下列说法中不正确的是( )
A．若位移为负值，则速度一定为正值，加速度也一定为正值
B．质点通过平衡位置时，速度为零，加速度最大
C．质点每次通过平衡位置时，加速度不一定相同，速度也不一定相同
D．质点每次通过同一位置时，其速度不一定相同，但加速度一定相同
解析：选ABC．如图所示，设质点在A、B之间振动，O点是它的平衡位置，并设向右为正，在质点由O向A运动过程中，质点的位移是以平衡位置O为起点的，故其位移为负值；而质点向左运动，速度方向与规定的正方向相反，速度也为负值．质点在通过平衡位置时，位移为零，回复力为零，加速度为零，但速度最大．振子通过平衡位置时，速度方向可正可负，由F＝－kx知，x相同，F相同，再由F＝ma知，a相同，但振子在该点的速度方向可能向左也可能向右．
9．悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点位置向上运动时刻开始计时，在一个周期内的振动图像如图所示，关于这个图像，下列哪些说法是不正确的是( )
A．t＝1.25 s时，振子的加速度方向为正，速度方向也为正
B．t＝1.7 s时，振子的加速度方向为负，速度方向也为负
C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
解析：选ABD．t＝1.25 s时，振子的加速度与速度方向均为负；t＝1.7 s时，振子的加速度方向为正，速度方向为负；t＝1.5 s时，振子的速度为最大值，加速度为零．
10．如图所示为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，下列说法正确的是( )
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比l1∶l2＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地球上完成的，则该摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地球上完成的
解析：选ABC．图线中振幅最大处对应频率应与做受迫振动的单摆的固有频率相等，从图线上可以看出，两摆的固有频率f1＝0.2 Hz，f2＝0.5 Hz.根据周期公式可得f＝＝ ，当两摆分别在月球上和地球上做受迫振动且摆长相等时，g越大，f越大，所以g2>g1，由于月球上的重力加速度比地球上的小，所以图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线，选项A正确；若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则g相同，两次摆长之比l1∶l2＝eq \f(1,f)∶eq \f(1,f)＝25∶4，所以选项B正确；图线Ⅱ若是在地球上完成的，将g＝9.8 m/s2和f2＝0.5 Hz代入频率的计算公式可解得l2≈1 m，所以选项C正确，D错误．
三、非选择题(本题共6小题，共54分，按题目要求作答．计算题要有必要的文字说明和解题步骤，有数值计算的要注明单位)
11．(4分)某同学用DIS系统在实验室做“单摆的周期T与摆长L的关系”实验，通过计算机描绘出两次实验中的单摆的振动图像，由图可知，两次实验中单摆的频率之比＝________，两单摆摆长之比＝________．
解析：由振动图线知，两单摆的周期分别是Ta＝ s，Tb＝2 s，
所以两次实验中单摆的频率之比＝＝＝4∶3
由公式T＝2π 知l＝
所以两单摆摆长之比＝9∶16.
答案：4∶3 9∶16
12．(8分)(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径如图甲、乙所示．测量方法正确的是________(选填“甲”或“乙”)．
(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示．光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t变化图线如图丁所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”“不变”或“变小”)，图丁中的Δt将________(填“变大”“不变”或“变小”)．
解析：(2)小球摆动到最低点时，挡光使得光敏电阻阻值增大，从t1时刻开始，再经两次挡光完成一个周期，故T＝2t0；摆长为摆线长加小球半径，当小球直径变大，则摆长增加，由周期公式T＝2π可知，周期变大；当小球直径变大，挡光时间增加，即Δt变大．
答案：(1)乙 (2)2t0 变大 变大
13．(8分)一弹簧振子的质量为100 g，频率为2 Hz，若把振子拉开4 cm后放开，弹簧的劲度系数为100 N/m，求：
(1)弹簧振子的最大加速度大小；
(2)3 s内振子通过的总路程．
解析：由题意知弹簧振子的周期T＝0.5 s
振幅A＝4×10－2 m.
(1)amax＝＝＝40 m/s2.
(2)3 s为6个周期，所以总路程为
s＝6×4×4×10－2 m＝0.96 m.
答案：(1)40 m/s2 (2)0.96 m
14．(8分)如图所示是用频闪照相的方法拍下的一个弹簧振子的振动情况，甲图是振子静止在平衡位置时的照片，乙图是振子被拉伸到左侧距平衡位置20 cm处，放手后，在向右运动周期内的频闪照片．丙图是振子从放手开始在周期内的频闪照片．已知频闪的频率为9.0 Hz，则：
(1)相邻两次闪光的时间间隔t0是多少？
(2)振动的周期T是多大？
(3)从平衡位置开始计时，振子在1 s内所走的路程是多少？
解析：(1)根据T＝，相邻两次闪光时间间隔t0＝ s.
(2)根据题图，T＝2×t0×6＝×6×2 s＝ s.
(3)从平衡位置开始计时，经过1 s为周期，
故s＝3A＝60 cm.
答案：(1) s (2) s (3)60 cm
15．(12分)在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带．当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带运动方向与振子振动方向垂直)，笔就在纸带上画出一条曲线，如图乙所示．
(1)若匀速拉动纸带的速度为1 m/s，则由图中数据算出振子的振动周期为多少？
(2)作出P的振动图像．
(3)若拉动纸带做匀加速运动，且振子振动周期与原来相同，由图丙中的数据求纸带的加速度大小．
解析：(1)由题图乙可知，当纸带匀速前进20 cm时，弹簧振子恰好完成一次全振动，由v＝，可得t＝＝ s，所以T＝0.2 s.
(2)由题图乙可以看出P的振幅为2 cm，振动图像如图所示．
(3)当纸带做匀加速直线运动时，振子振动周期仍为0.2 s，由题图丙可知，两个相邻0.2 s时间内，纸带运动的距离分别为0.21 m、0.25 m，由Δx＝aT2，得
a＝ m/s2＝1.0 m/s2.
答案：(1)0.2 s (2)见解析 (3)1.0 m/s2
16.(14分)如图所示为一弹簧振子的振动图像．求：
(1)从计时开始经过多长时间第一次达到弹性势能最大？
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能和弹性势能各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？
解析：(1)由题图知，在计时开始的时刻振子恰好以沿x轴正方向的速度通过平衡位置O，此时弹簧振子具有最大动能，随着时间的延续，速度不断减小，而位移逐渐加大，经t＝T＝1 s，其位移达到最大，此时弹性势能最大．
(2)由题图知，在t＝2 s时，振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延续，位移值不断加大，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐增大．当t＝3 s时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值．
(3)振子经一周期位移为零，路程为5×4 cm＝20 cm，前100 s刚好经过了25个周期，所以前100 s振子位移s＝0，振子路程s′＝20×25 cm＝500 cm＝5 m.
答案：(1)1 s (2)见解析 (3)0 5 m
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- 8 -本章优化总结
简谐运动的对称性和周期性
做简谐运动的物体在完成一次全振动后，再次振动时则是重复上一个振动的形式，所以简谐运动具有周期性，因此在处理实际问题时，要注意多解的可能性．简谐运动过程具有对称性，关于平衡位置对称的两位置上速度、加速度(回复力)、位移、动能、势能的大小均相等，且由某点到平衡位置和由平衡位置到该点或对称点的时间相等，由某点到最大位移处和由最大位移处回到该点的时间相等．在实际问题中利用简谐运动的周期性和对称性解题很方便．
一个做简谐运动的质点在平衡位置O点附近振动；当质点从O点向某一侧运动时，经3 s第一次过P点，再向前运动，又经2 s第二次过P点，则该质点再经________的时间第三次经过P点．
[解析] 若质点沿图中①的方向第一次过P点，历时3 s；由P到B，再由B到P共历时2 s，则由其对称性知P、B间往返等时，各为1 s，从而可知＝4 s，周期T＝16 s．第三次再过P点，
设由P向左到A再返回到P，历时为一个周期T减去P、B间往返的2 s，
则需时t＝16 s－2 s＝14 s.
若沿图中②的方向第一次过P点，则有
3－tOP＝2＋tPO＋tOP＝T′/2，而tOP＝tPO
由以上两式可解得tOP＝tPO＝ s，T′＝ s
则质点第三次过P点历时t′＝T′－2＝ s.
[答案] 14 s或 s
有关振动图像的问题
1．简谐运动的图像不是振动质点的轨迹：做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段(如弹簧振子)或那一段圆弧(如单摆)．这种往复运动的位移图像，就是以x轴上纵坐标的数值表示质点对平衡位置的位移，以t轴横坐标数值表示各个时刻，这样在x－t坐标系内，可以找到各个时刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图像．
2．简谐运动的图像问题
(1)“识图”：就是给出简谐运动的图像，能明白此图的物理意义，明白它反映出一些什么规律，图像给我们提供了哪些信息等等．
(2)“画图”：就是在所给条件下画出简谐运动的图像．然后根据图像解决相关问题．
(3)“用图”：就是运用简谐运动的图像处理有关简谐运动的问题．它体现出将抽象的、模糊的题设情景，变化为形象的、直观的图像的能力，实现了抽象思维与形象思维的结合．
(多选)如图所示，下列说法正确的是( )
A．振动图像上的A、B两点振动物体的速度相同
B．在t＝0.1 s和t＝0.3 s时，质点的加速度大小相等，方向相反
C．振动图像上A、B两点的速度大小相等，方向相反
D．质点在t＝0.2 s和t＝0.3 s时的动能相等
[解析] A、B两处位移相同，速度大小相等，但方向相反，因此A错，C对．t＝0.1 s和t＝0.3 s质点离开平衡位置的位移最大，方向相反，由F＝－kx，a＝－可知B正确．t＝0.2 s时，物体通过平衡位置，速度最大，动能最大；而t＝0.3 s时，速度为零，动能最小，D错．
[答案] BC
单摆四性的应用
1．等时性：单摆的小角度摆动时可视为简谐运动，完成每次全振动所用的时间相等，即为单摆的周期．单摆的周期只与摆长和当地的重力加速度有关，与摆球的质量和振幅无关．
2．重复性：单摆的振动是具有周期性的．振动过程中，振动的位移、速度、动量、动能、回复力都随时间周期性变化．因此，在具体分析问题时必须考虑到由于单摆运动的重复性造成的多解性．
3．对称性：单摆的运动过程关于平衡位置对称，主要表现在平衡位置两侧当摆角相同时，摆球的速率、动量的大小、动能相同，两侧的最大高度、最大摆角相等．
4．等效性
(1)等效摆长：等效摆长l是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离．
(2)等效重力加速度
①公式中g由单摆所在的空间位置决定．由＝g知，g随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求出单摆所在处的等效值g′代入公式，即g不一定等于9.8 m/s2.
②g还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处于超重或失重状态，等效重力加速度g′＝g±a.如轨道上的卫星a＝g，单摆处于完全失重状态，等效重力加速度g′＝0；如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为a，此时摆球处于超重状态，则等效重力加速度g′＝g＋a.
两个等长的单摆，一个放在地面，另一个放在高空，当第一个摆振动n次的同时，第二个摆振动n－1次，如果地球半径为R，那么第二个摆距离地面的高度为多少？
[解析] 设第二个摆距离地面的高度为h，则距离地心距离为R＋h，设此处的重力加速度为g′，地表处的重力加速度为g.
由万有引力定律有mg＝G，mg′＝G
则＝
再由单摆周期公式T＝＝2π，T′＝＝2π
所以＝
解得：h＝.
[答案]
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N2
甲
乙
A
O
t1
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D
A/cm
12
10
6
4
2
0020.40.6fHz
光敏
激光
接自动电阻
光源↑R
记录仪
△
itto
t1+2to t
