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第三章 万有引力定律及其应用
第三章 万有引力定律及其应用
万有引力
周期
距离
海王星
万有引力
7.9 km/s
环绕
地球引力
脱离
16.7 km/s
逃逸
11.2 km/s
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以例说法·触类旁通万有引力定律的应用
若已知行星绕太阳公转的半径为R，公转周期为T，万有引力常数为G，由此可求出( )
A．某行星的质量
B．太阳的质量
C．某行星的密度
D．太阳的密度
解析：选B.由G＝mR得：太阳的质量为M＝，B对；由上式可知行星的质量m被约掉，故不能求出某行星的质量及密度，A、C错；由于不知道太阳的体积，不能求出太阳的密度，D错．
2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大
B．速率变大
C．动能变大
D．向心加速度变大
解析：选C.组合体比天宫二号质量大，轨道半径R不变，根据＝m，可得v＝，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B项错误；又T＝，则周期T不变，A项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C项正确；向心加速度a＝，不变，D项错误．
3．(多选)高度不同的三颗人造卫星，某一瞬时的位置恰好与地心在同一直线上，如图所示．若此时它们的飞行方向相同，角速度分别为ω1、ω2、ω3，线速度分别为v1、v2、v3，周期分别为T1、T2、T3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则( )
A．ω1>ω2>ω3
B．v3>v2>v1
C．T1＝T2＝T3
D．a1>a2>a3
解析：选AD.由题图可知，r1
由G＝m，v＝ ，
所以v1>v2>v3，所以B选项错误．
由G＝mω2r，ω＝，
所以ω1>ω2>ω3，所以A选项正确．
由G＝mr，T＝2π ，
所以T1由G＝ma，a＝，
所以a1>a2>a3，所以D选项正确．
4．若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( )
A. 倍 B.倍
C.倍 D. 倍
解析：选C.设地球质量为M，半径为R，根据＝得地球卫星的环绕速度为v＝ ，同理该“宜居”行星卫星的环绕速度为v′＝ ，故v′为地球卫星环绕速度的倍．选项C正确．
地球绕太阳公转的轨道半径为1.49×1011 m，公转的周期是3.16×107 s，太阳的质量是多少？
解析：根据牛顿第二定律得：
F向＝ma向＝mr ①
又因为F向是由万有引力提供的，所以
F向＝F万＝G ②
由①②式联立可得：
M＝
＝ kg
＝1.96×1030 kg.
答案：1.96×1030 kg
[课时作业]
一、单项选择题
设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆，已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
解析：选A.对行星有＝mr，故GM＝，选项A正确．
“神舟十号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2.则 等于( )
A. eq \r(\f(R,R)) B.
C. eq \f(R,R) D.
解析：选B.“天宫一号”运行时所需的向心力由万有引力提供，根据G＝得线速度v＝，所以＝，故选项B正确，选项A、C、D错误．
关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是( )
A．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍
B．它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播
C．它以第一宇宙速度运行
D．它运行的角速度与地球自转角速度相同
解析：选D.从＝m得：r＝，可知轨道半径与卫星质量无关，A错误；同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B错误；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C错误；所谓同步就是卫星保持与地球相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D正确．
如图所示，a、b、c是环绕地球在圆形轨道上运行的3颗人造卫星，它们的质量关系是ma＝mbA．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．b、c的周期相等，且小于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b所需向心力最小
解析：选D.卫星的线速度v＝，故va>vb＝vc，A错．周期T＝2π，故Taab＝ac，C错．因为向心力F＝ma，aa>ab＝ac，ma＝mbFb，Fc>Fb，D对．
利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
解析：选B.设地球半径为R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示．由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径r＝2R.设地球自转周期的最小值为T，则由开普勒第三定律可得，＝，解得T≈4 h，选项B正确．
6.如图，地球赤道上山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周运动速率分别为ve、vp、vq，向心加速度分别为ae、ap、aq，则( )
A．aeB．ae>ap>aq
C．veD．ve>vp>vq
解析：选A.由G＝m可得：v＝，则vp>vq，山丘e与同步卫星q具有相同的角速度，由v＝rω可得：vq>ve，故有vp>vq>ve，所以C、D均错误；由G＝ma可知a＝，则ap>aq，由a＝rω2，则aq>ae，所以A正确，B错误．
7．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大
C．线速度变大 D．角速度变大
解析：选A.地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．由＝m(R＋h)，得h＝－R，T变大，h变大，A正确．由＝ma，得a＝，r增大，a减小，B错误．由＝，得v＝ ，r增大，v减小，C错误．由ω＝可知，角速度减小，D错误．
二、多项选择题
第一宇宙速度是物体在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的速度，则有( )
A．被发射的物体质量越大，第一宇宙速度越大
B．被发射的物体质量越小，第一宇宙速度越大
C．第一宇宙速度与被发射物体的质量无关
D．第一宇宙速度与地球的质量有关
解析：选CD.第一宇宙速度v＝与地球质量M有关，与被发射物体的质量无关．
已知地球的质量为M，月球的质量为m，月球绕地球运行的轨道半径为r，周期为T.万有引力常数为G，则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等于( )
A. B.
C. D.r
解析：选BD.对月球由牛顿第二定律得
G＝man＝m
解得an＝＝，故B、D正确．
人造地球卫星可在高度不同的轨道上运转，下列判断正确的是( )
A．各国发射的所有人造地球卫星的运行速度都不超过vm＝
B．各国发射的所有人造地球卫星的运行周期都不超过Tm＝2πR地
C．若卫星轨道为圆形，则该圆形的圆心必定与地心重合
D．地球同步卫星相对地面静止在南极或北极的正上空
解析：选AC.由万有引力定律和牛顿第二定律得：G＝m＝mr，解得：v＝，T＝2π，因此人造地球卫星轨道越高，速度越小，周期越大，A选项中的速度为第一宇宙速度的表达式，所有人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大线速度为近地轨道的运行速度，即第一宇宙速度，A正确；B选项是近地轨道的周期，为人造地球卫星的最小运行周期，B错误；卫星的向心力总是指向圆周轨道的圆心，而向心力由万有引力提供，万有引力总是指向地心，故卫星圆周轨道的圆心与地心重合，C正确；地球同步卫星都在赤道正上方同一轨道上，D错误．
三、非选择题
11．两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运动的轨道半径分别为r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的引力之比；
(2)它们的公转周期之比．
解析：(1)行星与太阳间的引力F＝G
则引力之比＝eq \f(m1r,m2r).
(2)行星绕太阳运动时的向心力由太阳对其引力提供，即G＝mr
解得T＝2π
则周期之比＝eq \f(\r(r),\r(r)) .
答案：(1)m1r∶m2r (2)eq \r(r)∶eq \r(r)
经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心的圆形轨道上运行，这个轨道半径约为3×104光年(约等于2.8×1020 m)，转动一周的周期约为2亿年(约等于6.3×1015 s)．太阳做圆周运动的向心力由它轨道内侧的大量星体的引力提供，可以把这些星体的全部质量看作集中在银河系中心来处理问题．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)用给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量．
解析：假设太阳轨道内侧这些星体的总质量为M，太阳的质量为m，轨道半径为r，周期为T，太阳做圆周运动的向心力由这些星体的引力提供，则
G＝mr
故这些星体的总质量为
M＝
＝ kg≈3.3×1041 kg.
答案：3.3×1041 kg
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- 6 -第二节 万有引力定律的应用
1.会用万有引力定律计算天体的质量． 2.了解海王星和冥王星的发现过程．
3．理解人造卫星的线速度、角速度和周期等物理量与轨道半径的关系，并能用卫星环绕规律解决相关问题．
4．知道三个宇宙速度的含义，会推导第一宇宙速度．
一、计算天体的质量(以地球为例讨论)
基本思路
月球绕地球做匀速圆周运动的向心力是由它们之间的万有引力提供的，由此可列方程，从中求得地球的质量．
计算表达式
设M是地球的质量，m是月球的质量，T为月球绕地球做匀速圆周运动的周期，月球到地心的距离为r.
则有：G＝mr解得：M＝．
如果已知卫星绕行星(或行星绕中心天体)运动的周期和卫星与行星(或行星与中心天体)之间的距离，也可以算出行星(或中心天体)的质量．
1．根据月球绕地球做圆周运动的观测数据，应用万有引力定律求出的天体质量是地球的还是月球的？
提示：求出的是地球的质量，因为利用F万＝F向只能求出中心天体的质量．
二、理论的威力：预测未知天体
历史上天文学家曾经根据万有引力定律计算太阳系中天王星的运动轨道，由于计算值与实际情况有较大偏差，促使天文学家经过进一步的研究先后发现了海王星和冥王星．这两颗星的发现进一步证明了万有引力定律的正确性，而且也显示了万有引力定律对天文学研究的重大意义．
三、理想与现实：人造卫星和宇宙速度
人造卫星
卫星环绕地球做匀速圆周运动，则地球对它的万有引力就是其所需的向心力，所以G＝m，解得：v＝.
宇宙速度
(1)第一宇宙速度：v1＝7.9__km/s，这是人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，也叫环绕速度．
(2)第二宇宙速度：v2＝11.2__km/s，当人造卫星的发射速度大于或等于这一速度时，卫星就会挣脱地球引力的束缚，不再绕地球运动，所以第二宇宙速度也叫脱离速度．
(3)第三宇宙速度：v3＝16.7__km/s，人造卫星要想摆脱太阳引力的束缚，飞出太阳系，其发射速度至少要达到这一速度，所以第三宇宙速度又叫逃逸速度．
2．发射一个火星探测器，那么这个探测器大体以多大的速度从地面上发射？
提示：发射速度应介于第二宇宙速度和第三宇宙速度之间，即11.2 km/s 天体质量与密度的计算[学生用书P37]
计算天体的质量
(1)利用地球表面的物体
若不考虑地球自转，地球表面的物体所受重力等于地球对它的万有引力，即mg＝G.
所以地球质量M＝.
(2)利用地球的卫星
质量为m的卫星绕地球做匀速圆周运动
G＝
计算天体的密度
若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，
把M＝代入上式得ρ＝
当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝.
(1)计算天体质量的方法不仅适用于地球，也适用于其他任何星体．注意方法的拓展应用．明确计算出的是中心天体的质量．
(2)要注意R、r的区分．R指中心天体的半径，r指行星或卫星的轨道半径．若绕近地轨道运行，则有R＝r.
(多选)利用下列数据，可以计算出地球质量的是( )
A．已知地球的半径R和地面的重力加速度g
B．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r和周期T
C．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和地球半径R
D．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v和周期T
[解析] 设相对地面静止的某一物体的质量为m，则G＝mg得M＝，所以A符合题意；G＝m得M＝，所以B符合题意；由G＝知M＝，还需要知道卫星的轨道半径，而不是地球的半径，C不符合题意；由M＝，v＝，得M＝，所以D符合题意．
[答案] ABD
(1)质量的估算最常用的方法有两种：一是“测g法”，二是“环绕法”．根据题设条件选择合适的方法和合适的公式．
(2)密度的估算在质量估算的基础上，由公式ρ＝＝进一步计算得出．
1.假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m()2R＝G，以上两式联立解得地球的密度ρ＝.故选项B正确，选项A、C、D错误．
人造卫星的特点[学生用书P38]
卫星绕地球的轨道
(1)若是椭圆轨道，地心是椭圆的一个焦点，其运动遵循开普勒定律．
(2)若是圆轨道，卫星所需的向心力由地球对它的万有引力提供，由于万有引力指向地心，所以卫星圆轨道的圆心必然是地心，即卫星绕地心做匀速圆周运动．
(3)轨道平面：卫星的轨道平面可以跟赤道平面重合，也可以跟赤道平面垂直，也可以跟赤道平面成任意角度．轨道平面一定过地心，如图所示．
人造卫星的线速度、角速度、周期、加速度与半径的关系
(1)由G＝m得v＝，即v∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其运行线速度就越小．
(2)由G＝mrω2得ω＝，即ω∝，说明卫星的运动轨道半径越大，其角速度越小．
(3)由G＝mr得T＝2π，即T∝，说明卫星运动的轨道半径越大，其运行周期越长．
(4)由G＝ma得a＝G，即a∝，说明卫星运动的轨道半径越大，其加速度越小．
地球同步卫星
(1)周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，T＝24 h.
(2)轨道是确定的，地球同步卫星的运行轨道在赤道平面内．
(3)在赤道上空距地面高度有确定的值．
由万有引力提供向心力得
G＝m(R＋h)
解得h＝－R＝3.6×107 m.
关于环绕地球运动的卫星，下列说法正确的是( )
A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期
B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率
C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同
D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合
[解析] 根据开普勒第三定律，＝恒量，当圆轨道的半径R与椭圆轨道的半长轴a相等时，两卫星的周期相等，故选项A错误；卫星沿椭圆轨道运行且从近地点向远地点运行时，万有引力做负功，根据动能定理，知动能减小，速率减小；从远地点向近地点移动时动能增加，速率增大，且两者具有对称性，故选项B正确；所有同步卫星的运行周期相等，根据G＝mr知，同步卫星轨道的半径r一定，故选项C错误；根据卫星做圆周运动的向心力由万有引力提供，可知卫星运行的轨道平面过某一地点，轨道必过地心，但轨道不一定重合，故北京上空的两颗卫星的轨道可以不重合，选项D错误．
[答案] B
行星、人造地球卫星的向心加速度、线速度、角速度、周期都跟轨道半径有关，跟行星、人造地球卫星自身的质量无关．
2.如图，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙的大
D．甲的线速度比乙的大
解析：选A.卫星绕行星做匀速圆周运动的向心力由行星对卫星的引力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律解决问题．
根据G＝ma得a＝，故甲卫星的向心加速度小，选项A正确；根据G＝mr，得T＝2π ，故甲的运行周期大，选项B错误；根据G＝mω2r，得ω＝，故甲运行的角速度小，选项C错误；根据G＝，得v＝，故甲运行的线速度小，选项D错误．
发射速度、运行速度和宇宙速度[学生用书P39]
发射速度：是指被发射物在离开发射装置时的初速度，要发射一颗人造地球卫星，发射速度不能小于第一宇宙速度．若发射速度大于7.9 km/s，而小于11.2 km/s，卫星将环绕地球做椭圆轨道运动．若发射速度大于等于11.2 km/s而小于16.7 km/s，卫星将环绕太阳运动．若发射速度大于等于16.7 km/s，卫星将飞出太阳系．
运行速度：是指卫星在进入运行轨道后绕地球做匀速圆周运动的线速度，当卫星“贴着”地面运行时，运行速度等于第一宇宙速度，根据v＝可知，人造卫星距地面越高(即r越大)，运行速度越小．
宇宙速度：三个宇宙速度分别是指发射的卫星成为近地卫星、脱离地球引力和脱离太阳引力所需要的最小地面发射速度．
第一宇宙速度的推导：设地球质量为M，卫星质量为m，卫星到地心的距离为r，卫星做匀速圆周运动的线速度为v，根据万有引力定律和牛顿第二定律得：G＝m，v＝.应用近地条件r≈R(R为地球半径)，取R＝6 400 km，M＝6×1024 kg，则：v＝＝7.9 km/s.
第一宇宙速度的另一种推导：
在地面附近，万有引力近似等于重力，此力提供卫星做匀速圆周运动的向心力．(地球半径R、地面重力加速度g已知)由mg＝m得
v＝＝ m/s＝7.9 km/s.
已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )
A．3.5 km/s B．5.0 km/s
C．17.7 km/s D．35.2 km/s
[思路点拨] (1)航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动时由万有引力提供向心力．
(2)近地卫星的速度与第一宇宙速度(7.9 km/s)相等．
(3)计算速率时可以借助于近地卫星采用比值法分析．
[解析] 由G＝m得，对于地球表面附近的航天器有：G＝eq \f(mv,r)，对于火星表面附近的航天器有：G＝eq \f(mv,r′)，由题意知M′＝M、r′＝，且v1＝7.9 km/s，联立以上各式得v2≈3.5 km/s，选项A正确．
[答案] A
计算第一宇宙速度的方法
(1)应用公式v＝计算：用于已知天体的质量M及天体的半径R的情况．
(2)应用公式v＝计算：用于已知天体的半径R及天体表面的重力加速度g的情况．
3.(多选)关于地球的第一宇宙速度，下列说法中正确的是( )
A．它是人造地球卫星绕地球运行的最小速度
B．它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度
C．它是能使卫星进入近地轨道的最小速度
D．它是能使卫星进入轨道的最大发射速度
解析：选BC.卫星绕地球做圆周运动的向心力是地球对卫星的引力，则＝，得v＝，所以，随着卫星轨道半径的增大，其线速度减小，当其轨道半径最小为地球半径时，线速度最大，这一线速度正是第一宇宙速度，A选项错，B选项对．如果不计空气阻力，在地面附近以第一宇宙速度平抛一物体，该物体恰能绕地球做匀速圆周运动，成为地球的卫星，而若以小于第一宇宙速度的速度平抛物体，则物体在重力作用下会落到地面上．所以，第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，选项C对，D错．
规范答题——万有引力定律与抛体运动的综合问题
为了探测某星球，宇航员乘飞船沿该星球的近地圆形轨道(可以认为飞船运行半径等于星球半径)绕该星球运行一周，所用时间为T.降落至该星球后，又做了如下两个实验：
实验1：将一质量为m的小球挂在弹簧秤下，静止时读数为F；
实验2：将该小球以一定初速度竖直上抛，经过时间t小球落回原处；
若不考虑该星球的自转，请回答下列问题：
(1)由实验1所给物理量，求出该星球表面的重力加速度g；
(2)求实验2中竖直上抛小球的初速度v0；
(3)若万有引力常数为G，求该星球的半径R和质量M.
[思路点拨] 解答本题应把握以下三点：
(1)根据弹簧秤的示数等于物体的重力，求重力加速度．
(2)根据竖直上抛规律求小球的初速度．
(3)在天体表面时，物体的重力近似等于万有引力．
[解析] (1)由F＝mg得该星球表面的重力加速度g＝.
(2)小球上升时间和下落时间相等，均为，则：
v0＝＝.
(3)在该星球表面，物体重力等于它所受万有引力，有：
mg＝G
又飞船绕行时，飞船所受万有引力提供向心力，则：
G＝m′R(m′为飞船的质量)
解得：R＝
M＝＝.
[答案] (1) (2) (3)
在天体的有关计算中，有时要利用弹簧秤的示数或抛体运动(平抛或竖直上抛)求天体表面的重力加速度，然后结合万有引力定律求M、半径R或密度ρ.
[随堂达标][学生用书P40]
若已知行星绕太阳公转的半径为R，公转周期为T，万有引力常数为G，由此可求出( )
A．某行星的质量
B．太阳的质量
C．某行星的密度
D．太阳的密度
解析：选B.由G＝mR得：太阳的质量为M＝，B对；由上式可知行星的质量m被约掉，故不能求出某行星的质量及密度，A、C错；由于不知道太阳的体积，不能求出太阳的密度，D错．
2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )
A．周期变大
B．速率变大
C．动能变大
D．向心加速度变大
解析：选C.组合体比天宫二号质量大，轨道半径R不变，根据＝m，可得v＝，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B项错误；又T＝，则周期T不变，A项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C项正确；向心加速度a＝，不变，D项错误．
3．(多选)高度不同的三颗人造卫星，某一瞬时的位置恰好与地心在同一直线上，如图所示．若此时它们的飞行方向相同，角速度分别为ω1、ω2、ω3，线速度分别为v1、v2、v3，周期分别为T1、T2、T3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则( )
A．ω1>ω2>ω3
B．v3>v2>v1
C．T1＝T2＝T3
D．a1>a2>a3
解析：选AD.由题图可知，r1由G＝m，v＝ ，
所以v1>v2>v3，所以B选项错误．
由G＝mω2r，ω＝，
所以ω1>ω2>ω3，所以A选项正确．
由G＝mr，T＝2π ，
所以T1由G＝ma，a＝，
所以a1>a2>a3，所以D选项正确．
4．若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的( )
A. 倍 B.倍
C.倍 D. 倍
解析：选C.设地球质量为M，半径为R，根据＝得地球卫星的环绕速度为v＝ ，同理该“宜居”行星卫星的环绕速度为v′＝ ，故v′为地球卫星环绕速度的倍．选项C正确．
地球绕太阳公转的轨道半径为1.49×1011 m，公转的周期是3.16×107 s，太阳的质量是多少？
解析：根据牛顿第二定律得：
F向＝ma向＝mr①
又因为F向是由万有引力提供的，所以
F向＝F万＝G②
由①②式联立可得：
M＝
＝ kg
＝1.96×1030 kg.
答案：1.96×1030 kg
[课时作业][学生用书P104(单独成册)]
一、单项选择题
设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆，已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足( )
A．GM＝ B．GM＝
C．GM＝ D．GM＝
解析：选A.对行星有＝mr，故GM＝，选项A正确．
“神舟十号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了交会对接．任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道．变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2.则 等于( )
A. eq \r(\f(R,R)) B.
C.eq \f(R,R) D.
解析：选B.“天宫一号”运行时所需的向心力由万有引力提供，根据G＝得线速度v＝，所以＝，故选项B正确，选项A、C、D错误．
关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是( )
A．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍
B．它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播
C．它以第一宇宙速度运行
D．它运行的角速度与地球自转角速度相同
解析：选D.从＝m得：r＝，可知轨道半径与卫星质量无关，A错误；同步卫星的轨道平面必须与赤道平面重合，即在赤道上空运行，不能在北京上空运行，B错误；第一宇宙速度是卫星在最低圆轨道上运行的速度，而同步卫星在高轨道上运行，其运行速度小于第一宇宙速度，C错误；所谓同步就是卫星保持与地球相对静止，所以同步卫星的角速度与地球自转角速度相同，D正确．
如图所示，a、b、c是环绕地球在圆形轨道上运行的3颗人造卫星，它们的质量关系是ma＝mbA．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度
B．b、c的周期相等，且小于a的周期
C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度
D．b所需向心力最小
解析：选D.卫星的线速度v＝，故va>vb＝vc，A错．周期T＝2π，故Taab＝ac，C错．因为向心力F＝ma，aa>ab＝ac，ma＝mbFb，Fc>Fb，D对．
利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯．目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )
A．1 h B．4 h
C．8 h D．16 h
解析：选B.设地球半径为R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示．由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径r＝2R.设地球自转周期的最小值为T，则由开普勒第三定律可得，＝，解得T≈4 h，选项B正确．
6.如图，地球赤道上山丘e，近地资源卫星p和同步通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周运动速率分别为ve、vp、vq，向心加速度分别为ae、ap、aq，则( )
A．aeB．ae>ap>aq
C．veD．ve>vp>vq
解析：选A.由G＝m可得：v＝，则vp>vq，山丘e与同步卫星q具有相同的角速度，由v＝rω可得：vq>ve，故有vp>vq>ve，所以C、D均错误；由G＝ma可知a＝，则ap>aq，由a＝rω2，则aq>ae，所以A正确，B错误．
7．研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比( )
A．距地面的高度变大 B．向心加速度变大
C．线速度变大 D．角速度变大
解析：选A.地球的自转周期变大，则地球同步卫星的公转周期变大．由＝m(R＋h)，得h＝－R，T变大，h变大，A正确．由＝ma，得a＝，r增大，a减小，B错误．由＝，得v＝ ，r增大，v减小，C错误．由ω＝可知，角速度减小，D错误．
二、多项选择题
第一宇宙速度是物体在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的速度，则有( )
A．被发射的物体质量越大，第一宇宙速度越大
B．被发射的物体质量越小，第一宇宙速度越大
C．第一宇宙速度与被发射物体的质量无关
D．第一宇宙速度与地球的质量有关
解析：选CD.第一宇宙速度v＝与地球质量M有关，与被发射物体的质量无关．
已知地球的质量为M，月球的质量为m，月球绕地球运行的轨道半径为r，周期为T.万有引力常数为G，则月球绕地球运转轨道处的重力加速度大小等于( )
A. B.
C. D.r
解析：选BD.对月球由牛顿第二定律得
G＝man＝m
解得an＝＝，故B、D正确．
人造地球卫星可在高度不同的轨道上运转，下列判断正确的是( )
A．各国发射的所有人造地球卫星的运行速度都不超过vm＝
B．各国发射的所有人造地球卫星的运行周期都不超过Tm＝2πR地
C．若卫星轨道为圆形，则该圆形的圆心必定与地心重合
D．地球同步卫星相对地面静止在南极或北极的正上空
解析：选AC.由万有引力定律和牛顿第二定律得：G＝m＝mr，解得：v＝，T＝2π，因此人造地球卫星轨道越高，速度越小，周期越大，A选项中的速度为第一宇宙速度的表达式，所有人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大线速度为近地轨道的运行速度，即第一宇宙速度，A正确；B选项是近地轨道的周期，为人造地球卫星的最小运行周期，B错误；卫星的向心力总是指向圆周轨道的圆心，而向心力由万有引力提供，万有引力总是指向地心，故卫星圆周轨道的圆心与地心重合，C正确；地球同步卫星都在赤道正上方同一轨道上，D错误．
三、非选择题
11．两个行星的质量分别为m1和m2，绕太阳运动的轨道半径分别为r1和r2，求：
(1)它们与太阳间的引力之比；
(2)它们的公转周期之比．
解析：(1)行星与太阳间的引力F＝G
则引力之比＝eq \f(m1r,m2r).
(2)行星绕太阳运动时的向心力由太阳对其引力提供，即G＝mr
解得T＝2π
则周期之比＝eq \f(\r(r),\r(r)) .
答案：(1)m1r∶m2r (2)eq \r(r)∶eq \r(r)
经天文学家观察，太阳在绕着银河系中心的圆形轨道上运行，这个轨道半径约为3×104光年(约等于2.8×1020 m)，转动一周的周期约为2亿年(约等于6.3×1015 s)．太阳做圆周运动的向心力由它轨道内侧的大量星体的引力提供，可以把这些星体的全部质量看作集中在银河系中心来处理问题．(G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)用给出的数据来计算太阳轨道内侧这些星体的总质量．
解析：假设太阳轨道内侧这些星体的总质量为M，太阳的质量为m，轨道半径为r，周期为T，太阳做圆周运动的向心力由这些星体的引力提供，则
G＝mr
故这些星体的总质量为
M＝
＝ kg≈3.3×1041 kg.
答案：3.3×1041 kg
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