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第三章 万有引力定律及其应用
第三章 万有引力定律及其应用
地球
地球
托勒密
太阳
太阳
哥白尼
椭圆
椭圆
面积
平方
立方
牛顿
互相吸引
连线
正比
反比
6.67×
10－11 N·m2/kg2
两球心之间
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以例说法·触类旁通万有引力定律
下列关于天体运动说法正确的是( )
A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动
B．太阳是宇宙的中心，所有天体都绕太阳运动
C．太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
D．“地心说”和“日心说”现在看来都是不正确的
解析：选D.“地心说”的主要内容是：地球是宇宙的中心且处于静止状态，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动；“日心说”的主要内容是：太阳是宇宙的中心且绝对静止，所有天体都绕太阳运动．目前来看，“地心说”和“日心说”都具有历史局限性，都不是完全正确的．故A、B、C错，D对．
2．地球绕太阳公转，地球本身绕地轴自转，形成了一年四季：春夏秋冬，如图所示，则下面说法中正确的是( )
A．春分地球公转速率最小
B．夏至地球公转速率最小
C．秋分地球公转速率最小
D．冬至地球公转速率最小
答案：B
(多选)关于太阳与行星间的引力表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关
B．M、m彼此受到的引力总是大小相等
C．M、m彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于零，M和m都处于平衡状态
D．M、m彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
解析：选ABD.太阳与行星间的引力是两物体因质量而引起的一种力，分别作用在两个物体上，是一对作用力与反作用力，不能进行合成，故B、D正确，C错误；公式中的G为比例系数，与太阳、行星均没有关系，A正确．
(多选)要使两物体间的万有引力减小到原来的1/4，下列办法能实现的是( )
A．使两物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的1/4，距离不变
C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．使两物体间的距离和质量都减为原来的1/4
解析：选ABC.由万有引力定律F＝G可知，A、B、C选项中两物体间的万有引力都将减小到原来的1/4，而D选项中两物体间的万有引力保持不变．
5．长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于( )
A．15天 B．25天
C．35天 D．45天
解析：选B.根据开普勒第三定律得eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)，所以T2＝eq \r(\f(r,r))T1≈25天，选项B正确，选项A、C、D错误．
[课时作业]
一、单项选择题
关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
解析：选B.开普勒在第谷的观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，B项正确；牛顿在开普勒总结的行星运动规律的基础上发现了万有引力定律，找出了行星运动的原因，A、C、D项错．
某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于( )
A．F2 B．A
C．F1 D．B
解析：选A.根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相同的面积，因为行星在A点的速率比在B点的速率大，所以太阳和行星的连线必然是行星与F2的连线，故太阳位于F2.
关于万有引力定律的正确说法是( )
A．天体间万有引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比
B．任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比
C．万有引力与质量、距离和引力常数都成正比
D．万有引力定律对质量大的物体适用，对质量小的物体不适用
解析：选B.根据万有引力定律，任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，A、C错，B对．万有引力定律的适用范围是：质点和质量分布均匀的球体，与物体的质量大小无关，D错．
如图所示，两个半径分别为r1＝0.40 m，r2＝0.60 m，质量分布均为的实心球质量分别为m1＝4.0 kg、m2＝1.0 kg，两球间距离r0＝2.0 m，则两球间的相互引力的大小为(G＝6.67×10－11N·m2/kg2)( )
A．6.67×10－11N B．大于6.67×10－11N
C．小于6.67×10－11N D．不能确定
解析：选C.此题中为两质量分布均匀的球体，r是两球心间的距离，由万有引力定律公式得F＝＝N＝2.96×10－11N<6.67×10－11N，故选C.
1987年6月8日，在美国国家天文馆，天文学家宣布在太阳系的边缘发现一个亮度很弱而不易被发现的新行星，该行星半径比地球大2倍，质量是地球的36倍，则它的表面重力加速度是地球表面重力加速度的( )
A．6倍 B．18倍
C．4倍 D．13.5倍
解析：选C.在天体表面，mg＝，所以，天体表面的重力加速度g＝，因此＝·＝.
二、多项选择题
关于开普勒第三定律中的公式＝k，下列说法中正确的是( )
A．k值对所有的天体都相同
B．该公式适用于围绕太阳运行的所有行星
C．该公式也适用于围绕地球运行的所有卫星
D．以上说法都不对
解析：选BC.开普勒第三定律公式＝k中的k只与中心天体有关，对于不同的中心天体，k不同，A错．此公式虽由行星运动规律总结所得，但它也适用于其他天体的运动，包括卫星绕地球的运动，B、C对，D错．
下列关于行星对太阳的引力的说法正确的是( )
A．行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
C．太阳对行星的引力等于行星对太阳的引力
D．行星对太阳的引力大小与行星的质量成正比，与行星距太阳的距离的二次方成反比
解析：选ACD.行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力与反作用力，是同一性质的力，大小相等，方向相反，A、C对，行星与太阳间的引力大小与行星的质量成正比，与行星距太阳的距离的二次方成反比，B错，D对．
关于对万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看作质点的两物体间也存在相互作用的引力
B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝G计算
C．由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力常数的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11 N·m2/kg2
解析：选AC.任何物体间都存在相互作用的引力，故称为万有引力，A对；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用F＝G来计算，B错；物体间的万有引力与它们距离r的二次方成反比，故r减小，它们之间的引力增大，C正确；引力常数G是由卡文迪许精确测出的，D错．
关于万有引力常数G，以下说法正确的是( )
A．在国际单位制中，G的单位是N·m2/kg
B．在国际单位制中，G的数值等于两个质量各1 kg的物体，相距1 m时的相互吸引力
C．在不同星球上，G的数值不一样
D．在不同的单位制中，G的数值不一样
解析：选BD.在国际单位制中，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，G的数值等于两个质量各1 kg的物体，相距1 m时的相互吸引力，任何星球上G的大小都相同，不同的单位制中，G的数值不一样，A、C错，B、D对．
10．二十四节气中的春分和秋分均为太阳直射赤道，春分为太阳从南回归线回到赤道，秋分则为太阳从北回归线回到赤道.2015年3月21日为春分，9月23日为秋分．可以推算从春分到秋分186天，而从秋分到春分则为179天．关于上述自然现象，下列说法正确的是(设两段时间内地球公转的轨迹长度相等)( )
A．从春分到秋分地球离太阳远
B．从秋分到春分地球离太阳远
C．夏天地球离太阳远
D．冬天地球离太阳远
解析：选AC.公转轨迹相同的情况下，从春分到秋分时间长，说明地球公转速率小，因此离太阳远，A说法正确；夏至时地球到达远日点，冬至时到达近日点，因此C说法正确，B、D说法错误．
三、非选择题
11．天文学家观测哈雷彗星的周期为T，离太阳的最短距离为b，但它离太阳的最远距离不能测出，试根据开普勒第三定律计算这个最远距离．(太阳系中开普勒恒量为k)
解析：设它离太阳的最远距离为a，则椭圆轨道的半长轴为，由开普勒第三定律知＝k，则a＝2－b.
答案：2－b
已知太阳的质量M＝2.0×1030 kg，地球的质量m＝6.0×1024 kg，太阳与地球相距r＝1.5×1011 m，(比例系数G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)求：
(1)太阳对地球的引力大小；
(2)地球对太阳的引力大小．
解析：(1)太阳与地球之间的引力跟太阳的质量成正比、跟地球的质量成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比，则F＝G
＝ N
＝3.56×1022 N.
(2)地球对太阳的引力与太阳对地球的引力是作用力与反作用力，由牛顿第三定律可知F′＝3.56×1022 N.
答案：(1)3.56×1022 N (2)3.56×1022 N
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- 4 -第一节 万有引力定律
1.了解地心说和日心说的内容． 2.知道开普勒行星运动定律． 3.了解万有引力定律的发现过程．
4．理解万有引力定律的内容、公式并能解答有关问题．
一、天体究竟做怎样的运动
地心说
地球是宇宙的中心，是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动．地心说的代表人物是托勒密．
日心说
太阳是宇宙的中心，是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动．日心说的代表人物是哥白尼．
行星的运动规律
(1)开普勒第一定律(又叫椭圆轨道定律)
所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于所有椭圆的一个焦点上，如图甲所示．
甲 乙
(2)开普勒第二定律(又叫面积定律)
行星和太阳之间的连线在相等的时间内扫过相同的面积，如图乙所示．
(3)开普勒第三定律(又叫周期定律)
行星绕太阳公转周期的平方和轨道半长轴的立方成正比．
数学表达式为＝k，或者为a3＝kT2.
1．行星绕太阳在椭圆轨道上运行，行星距太阳较近处与距太阳较远处相比较，运动速率何处较大？
提示：由开普勒第二定律可知，距太阳较近处运动速率较大．
二、苹果落地的思考：万有引力定律的发现
万有引力的发现
在前人研究的基础上，经过一系列想象、假设、理想实验、类比、归纳，牛顿终于发现了万有引力，并经严密的推理运算和实践检验，提出了万有引力定律．
万有引力定律
(1)内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的，两个物体间引力的方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量的乘积成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比．
(2)公式：F＝G．式中质量的单位用kg，距离的单位用m，力的单位用N，G称为引力常数，首先由英国科学家卡文迪许利用扭秤测出．现在精确的实验测得G＝6.67×10－11__N·m2/kg2．
(3)公式的适用条件
公式中的r对于可看作质点的物体而言指的就是两质点间的距离；对于一般物体而言，r应为两个物体的重心间的距离，如质量分布均匀的球体，r应为两球心之间的距离．
2．设想把质量为m的物体放到地球的中心，地球质量为M，半径为R，则物体与地球间的万有引力是无穷大吗？
提示：不是，把物体放到地球的中心时，r＝0，两物体不能看成质点，此时万有引力定律不再适用，所以不能应用公式F＝G来讨论．由于地球和物体关于地心对称，所以吸引力相互抵消，整体而言，万有引力为零．
对开普勒行星运动规律的理解[学生用书P34]
从空间分布认识：行星的轨道都是椭圆，所有椭圆有一个共同的焦点，太阳就在此焦点上．因此第一定律又叫椭圆轨道定律，如图所示．
意义：第一定律告诉我们，尽管各行星的轨道大小不同，但它们的共同规律是：所有行星都沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳则位于所有椭圆的一个公共焦点上．否定了行星圆形轨道的说法，建立了正确的轨道理论，给出了太阳准确的位置．
从速度大小认识：行星靠近太阳时速度增大，远离太阳时速度减小．近日点速度最大，远日点速度最小．因此第二定律又叫面积定律，如图所示．
对 ＝k的认识：第三定律反映了行星公转周期跟轨道
半长轴之间的关系．椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越大；反之，其公转周期越小．如图所示，半长轴是AB间距的一半，T是公转周期．其中常数k与行星无关，只与太阳有关．因此第三定律又叫周期定律．
火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
[思路点拨] (1)对选项A思考开普勒第一定律．
(2)对选项B、D根据开普勒第二定律，思考二者轨道不同的意义．
[解析] 根据开普勒行星运动定律，火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行时，太阳位于椭圆的一个焦点上，选项A错误；行星绕太阳运行的轨道不同，周期不同，运行速度大小也不同，选项B错误；火星与木星运行的轨道半长轴的立方与周期的平方之比是一个常量，选项C正确；火星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，木星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等，但这两个面积不相等，选项D错误．
[答案] C
1.(多选)关于行星绕太阳运动，下列说法正确的是( )
A．行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大
B．所有行星在椭圆轨道上绕太阳运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上
C．所有行星绕太阳运动的周期都是相等的
D．行星之所以在椭圆轨道上绕太阳运动，是由于太阳对行星的引力作用
解析：选BD.由开普勒第一定律知所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，B正确；由开普勒第二定律知行星离太阳距离小时速度大，距离大时速度小，A错误；由开普勒第三定律知所有行星的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，C错误；行星绕太阳做曲线运动，说明行星的合力不为零，而行星仅受太阳的引力作用，故D正确．
对万有引力定律的理解[学生用书P34]
对万有引力定律F＝G的理解
(1)引力常数G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其物理意义为：引力常数在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互吸引力．
(2)公式的适用条件
①严格地说，万有引力定律只适用于计算质点间相互作用的引力的大小，r为两质点间的距离．
②两个质量分布均匀的球体间的相互作用，也可用此定律来计算，其中r是两球心间的距离．
③一个均匀球体与球外一个质点之间的万有引力也可用此定律来计算，其中r为球心到质点间的距离．
④两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，定律也近似适用，其中r为两物体质心间的距离．
万有引力定律的“四性”
性质 解释
普遍性 万有引力不仅存在于天体间，任何客观存在的有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力
相互性 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们之间的关系遵循牛顿第三定律，即大小相等，方向相反，作用在同一直线上
宏观性 通常情况下，万有引力非常小，只有在质量巨大的天体间或天体与天体附近的物体间，它的存在才有实际的物理意义
特殊性 两物体间的万有引力与它们本身的质量有关，与它们间的距离有关，而与所在空间的性质无关，也与周围的其他物体无关
(1)任何物体间的万有引力都是同种性质的力．
(2)当两物体间的距离趋近于零时，万有引力仍然存在，只是公式不再适用．
两个质量大小相等的实心小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F，若两个半径是小铁球2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为( )
A. B．4F
C．8F D．16F
[思路点拨] 在求质量分布均匀的两球体(如两个天体)间的万有引力时，公式中的r为两球心间的距离．
[解析] 由万有引力定律可求小铁球之间的万有引力F＝G＝G，小铁球质量m＝ρ·πr3，大铁球质量M＝ρ·π(2r)3，即M＝8m，故两大铁球间的万有引力F′＝G＝16G ＝16F，故D正确．
[答案] D
在计算两个物体间的万有引力时，首先分析条件，物体能否被看成质点，或所求的是不是质量分布均匀的
两球体间的万有引力，然后再将数据代入表达式F＝G进行计算．
2.(多选)对于质量分别为m1和m2的两个物体间万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中的G是引力常数，它是由实验测得的，而不是人为规定的
B．当两个物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大
C．m1与m2受到的万有引力总是大小相等的，而与m1、m2是否相等无关
D．m1与m2受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力
解析：选AC.引力常数G是由英国物理学家卡文迪许运用扭秤实验测定出来的，所以A正确；当两物体间的距离r趋于零时，已不再满足万有引力定律，不能通过公式分析，其间的万有引力为有限值，B错误；两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等、方向相反，分别作用在两个物体上，不是平衡力，故C正确、D错误．
万有引力与重力的关系[学生用书P35]
重力是万有引力的分力
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G.
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体的重力mg，故一般情况mg 物体随地球自转需要的向心力很小．地球表面的物体所受的重力可近似地认为等于地球对物体的引力，mg＝G，即GM＝gR2，该式通常叫做黄金代换，适用于任何天体．
重力与纬度的关系
(1)在赤道上满足mg＝G－mRω2(物体受万有引力和地面对物体的支持力N的作用，其合力充当向心力，N的大小等于物体重力的大小，ω为地球自转角速度)．
(2)在地球两极处，由于F向＝0，即mg＝G.
(3)物体的重力随纬度的增加而增大．
重力、重力加速度与高度的关系
(1)在地球表面：mg＝G，g＝，g为常数．
(2)在距地面高h处：mg′＝G，g′＝，高度h越大，重力加速度g′越小．
设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球对物体的万有引力的作用而产生的加速度为g，则为( )
A．1 B.
C. D.
[解析] 地球表面处的重力加速度和离地心高4R处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有：
F＝G＝mg
所以：＝＝＝，故D正确．
[答案] D
3.(多选)关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是( )
A．地面附近物体所受到的重力就是万有引力
B．重力是由于地面附近的物体受到地球吸引而产生的
C．在不太精确的计算中，可以近似认为其重力等于万有引力
D．严格说来重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力
解析：选BCD.万有引力是由于物体具有质量而在物体之间产生的一种相互作用．任何两个物体之间都存在这种吸引作用．物体之间的这种吸引作用普遍存在于宇宙万物之间，称为万有引力．重力，就是由于地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的，重力只是万有引力的一个分力，故A错误．重力是由于地面附近的物体受到地球的吸引而产生的，故B正确．在不太精确的计算中，可以近似认为物体的重力等于万有引力，故C正确．严格来说重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力，故D正确．
方法技巧——割补法求解万有引力
有一质量为M、半径为R，密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图所示，求剩下部分对m的万有引力F为多大？
[思路点拨] 仔细观察球体挖去部分及完整球体的形状特点，可知，完整部分与质点m以及挖去部分与质点m间万有引力均可用公式计算，由此联想到利用填补的方式先将剩余部分还原为完整体，计算出万有引力，然后计算出割去部分与质点m间的万有引力，两者之差即为所求．
[解析] 设想将被挖部分重新补回，则完整球体对质点m的引力为F1，可以看作是剩余部分对质点的引力F与被挖小球对质点的引力F2的合力，即F1＝F＋F2.
设被挖小球的质量为M′，其球心到质点间的距离为r′.由题意知M′＝
r′＝R
由万有引力定律，得F1＝G＝
F2＝G＝G＝
所以剩下部分对m的万有引力为F＝F1－F2＝.
[答案]
对于此类问题，利用万有引力定律直接求解是不对的，当质点与质量分布均匀的球体间距离较小时，球体虽然不能被看作质点，但仍可用F＝G计算求解，此时的r应等于质点与球心间的距离．此题目中球体被挖，质量分布不均匀，要先“割补”变为质量分布均匀的球体再求解．
应用割补时应注意：
(1)找到原来物体所受的万有引力、割去部分所受的万有引力与剩余部分所受的万有引力之间的关系．
(2)所割去的部分为规则球体，剩余部分不再为球体时适合应用割补法．若所割去部分不是规则球体，则不适合应用割补法．
[随堂达标][学生用书P36]
下列关于天体运动说法正确的是( )
A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动
B．太阳是宇宙的中心，所有天体都绕太阳运动
C．太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动
D．“地心说”和“日心说”现在看来都是不正确的
解析：选D.“地心说”的主要内容是：地球是宇宙的中心且处于静止状态，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动；“日心说”的主要内容是：太阳是宇宙的中心且绝对静止，所有天体都绕太阳运动．目前来看，“地心说”和“日心说”都具有历史局限性，都不是完全正确的．故A、B、C错，D对．
2．地球绕太阳公转，地球本身绕地轴自转，形成了一年四季：春夏秋冬，如图所示，则下面说法中正确的是( )
A．春分地球公转速率最小
B．夏至地球公转速率最小
C．秋分地球公转速率最小
D．冬至地球公转速率最小
答案：B
(多选)关于太阳与行星间的引力表达式F＝G，下列说法正确的是( )
A．公式中的G为比例系数，与太阳、行星均无关
B．M、m彼此受到的引力总是大小相等
C．M、m彼此受到的引力是一对平衡力，合力等于零，M和m都处于平衡状态
D．M、m彼此受到的引力是一对作用力与反作用力
解析：选ABD.太阳与行星间的引力是两物体因质量而引起的一种力，分别作用在两个物体上，是一对作用力与反作用力，不能进行合成，故B、D正确，C错误；公式中的G为比例系数，与太阳、行星均没有关系，A正确．
(多选)要使两物体间的万有引力减小到原来的1/4，下列办法能实现的是( )
A．使两物体的质量各减小一半，距离不变
B．使其中一个物体的质量减小到原来的1/4，距离不变
C．使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变
D．使两物体间的距离和质量都减为原来的1/4
解析：选ABC.由万有引力定律F＝G可知，A、B、C选项中两物体间的万有引力都将减小到原来的1/4，而D选项中两物体间的万有引力保持不变．
5．长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19 600 km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48 000 km，则它的公转周期T2最接近于( )
A．15天 B．25天
C．35天 D．45天
解析：选B.根据开普勒第三定律得eq \f(r,T)＝eq \f(r,T)，所以T2＝eq \r(\f(r,r))T1≈25天，选项B正确，选项A、C、D错误．
[课时作业][学生用书P102(单独成册)]
一、单项选择题
关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
解析：选B.开普勒在第谷的观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，B项正确；牛顿在开普勒总结的行星运动规律的基础上发现了万有引力定律，找出了行星运动的原因，A、C、D项错．
某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于( )
A．F2 B．A
C．F1 D．B
解析：选A.根据开普勒第二定律：太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相同的面积，因为行星在A点的速率比在B点的速率大，所以太阳和行星的连线必然是行星与F2的连线，故太阳位于F2.
关于万有引力定律的正确说法是( )
A．天体间万有引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离成反比
B．任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比
C．万有引力与质量、距离和引力常数都成正比
D．万有引力定律对质量大的物体适用，对质量小的物体不适用
解析：选B.根据万有引力定律，任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的平方成反比，A、C错，B对．万有引力定律的适用范围是：质点和质量分布均匀的球体，与物体的质量大小无关，D错．
如图所示，两个半径分别为r1＝0.40 m，r2＝0.60 m，质量分布均为的实心球质量分别为m1＝4.0 kg、m2＝1.0 kg，两球间距离r0＝2.0 m，则两球间的相互引力的大小为(G＝6.67×10－11N·m2/kg2)( )
A．6.67×10－11N B．大于6.67×10－11N
C．小于6.67×10－11N D．不能确定
解析：选C.此题中为两质量分布均匀的球体，r是两球心间的距离，由万有引力定律公式得F＝＝N＝2.96×10－11N<6.67×10－11N，故选C.
1987年6月8日，在美国国家天文馆，天文学家宣布在太阳系的边缘发现一个亮度很弱而不易被发现的新行星，该行星半径比地球大2倍，质量是地球的36倍，则它的表面重力加速度是地球表面重力加速度的( )
A．6倍 B．18倍
C．4倍 D．13.5倍
解析：选C.在天体表面，mg＝，所以，天体表面的重力加速度g＝，因此＝·＝.
二、多项选择题
关于开普勒第三定律中的公式＝k，下列说法中正确的是( )
A．k值对所有的天体都相同
B．该公式适用于围绕太阳运行的所有行星
C．该公式也适用于围绕地球运行的所有卫星
D．以上说法都不对
解析：选BC.开普勒第三定律公式＝k中的k只与中心天体有关，对于不同的中心天体，k不同，A错．此公式虽由行星运动规律总结所得，但它也适用于其他天体的运动，包括卫星绕地球的运动，B、C对，D错．
下列关于行星对太阳的引力的说法正确的是( )
A．行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是同一性质的力
B．行星对太阳的引力与太阳的质量成正比，与行星的质量无关
C．太阳对行星的引力等于行星对太阳的引力
D．行星对太阳的引力大小与行星的质量成正比，与行星距太阳的距离的二次方成反比
解析：选ACD.行星对太阳的引力与太阳对行星的引力是作用力与反作用力，是同一性质的力，大小相等，方向相反，A、C对，行星与太阳间的引力大小与行星的质量成正比，与行星距太阳的距离的二次方成反比，B错，D对．
关于对万有引力和万有引力定律的理解正确的是( )
A．不能看作质点的两物体间也存在相互作用的引力
B．只有能看作质点的两物体间的引力才能用F＝G计算
C．由F＝G知，两物体间距离r减小时，它们之间的引力增大
D．万有引力常数的大小首先是由牛顿测出来的，且等于6.67×10－11 N·m2/kg2
解析：选AC.任何物体间都存在相互作用的引力，故称为万有引力，A对；两个质量均匀的球体间的万有引力也能用F＝G来计算，B错；物体间的万有引力与它们距离r的二次方成反比，故r减小，它们之间的引力增大，C正确；引力常数G是由卡文迪许精确测出的，D错．
关于万有引力常数G，以下说法正确的是( )
A．在国际单位制中，G的单位是N·m2/kg
B．在国际单位制中，G的数值等于两个质量各1 kg的物体，相距1 m时的相互吸引力
C．在不同星球上，G的数值不一样
D．在不同的单位制中，G的数值不一样
解析：选BD.在国际单位制中，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，G的数值等于两个质量各1 kg的物体，相距1 m时的相互吸引力，任何星球上G的大小都相同，不同的单位制中，G的数值不一样，A、C错，B、D对．
10．二十四节气中的春分和秋分均为太阳直射赤道，春分为太阳从南回归线回到赤道，秋分则为太阳从北回归线回到赤道.2015年3月21日为春分，9月23日为秋分．可以推算从春分到秋分186天，而从秋分到春分则为179天．关于上述自然现象，下列说法正确的是(设两段时间内地球公转的轨迹长度相等)( )
A．从春分到秋分地球离太阳远
B．从秋分到春分地球离太阳远
C．夏天地球离太阳远
D．冬天地球离太阳远
解析：选AC.公转轨迹相同的情况下，从春分到秋分时间长，说明地球公转速率小，因此离太阳远，A说法正确；夏至时地球到达远日点，冬至时到达近日点，因此C说法正确，B、D说法错误．
三、非选择题
11．天文学家观测哈雷彗星的周期为T，离太阳的最短距离为b，但它离太阳的最远距离不能测出，试根据开普勒第三定律计算这个最远距离．(太阳系中开普勒恒量为k)
解析：设它离太阳的最远距离为a，则椭圆轨道的半长轴为，由开普勒第三定律知＝k，则a＝2－b.
答案：2－b
已知太阳的质量M＝2.0×1030 kg，地球的质量m＝6.0×1024 kg，太阳与地球相距r＝1.5×1011 m，(比例系数G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)求：
(1)太阳对地球的引力大小；
(2)地球对太阳的引力大小．
解析：(1)太阳与地球之间的引力跟太阳的质量成正比、跟地球的质量成正比，跟它们之间的距离的二次方成反比，则F＝G
＝ N
＝3.56×1022 N.
(2)地球对太阳的引力与太阳对地球的引力是作用力与反作用力，由牛顿第三定律可知F′＝3.56×1022 N.
答案：(1)3.56×1022 N (2)3.56×1022 N
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