章末过关检测(三)
万有引力定律及其应用
(时间：60分钟，满分：100分)
一、单项选择题(本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求)
1．万有引力定律的发现实现了物理学史上第一次大统一——“地上物理学”和“天上物理学”的统一．它表明天体运动和地面上物体的运动遵循相同的规律．牛顿在发现万有引力定律的过程中将行星的椭圆轨道运动假想成圆周运动；另外，还应用到了其他的规律和结论，其中不正确的是( )
A．牛顿第二定律
B．牛顿第三定律
C．开普勒的研究成果
D．卡文迪许通过扭秤实验得出的引力常量
解析：选D.牛顿运用其运动规律(牛顿第二定律、牛顿第三定律)研究天体运动并结合开普勒定律建立了万有引力定律．卡文迪许测得引力常量是在牛顿建立万有引力定律之后．
地球上有两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星，相对自己静止不动，则这两位观察者的位置以及这两颗人造地球卫星到地球中心的距离可能是( )
A．一人在南极，一人在北极；两卫星到地球中心的距离一定相等
B．一人在南极，一人在北极；两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍
C．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等
D．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍
解析：选C.同步卫星由于其绕地球转动周期与地球的自转周期相同，根据万有引力定律和匀速圆周运动的规律，G＝mr，可知其轨道半径是唯一确定的，即它们与地面的高度是相同的，所以C正确．
有两颗质量相同的人造卫星，其轨道半径分别是rA、rB，且rA＝，那么下列判断中正确的是( )
A．它们的周期之比TA∶TB＝1∶4
B．它们的线速度之比vA∶vB＝8∶1
C．它们所受的向心力之比FA∶FB＝8∶1
D．它们的角速度之比ωA∶ωB＝8∶1
解析：选D.由G＝ma＝m＝mω2r＝mr知D对．
“静止”在赤道上空的地球同步气象卫星把广阔视野内的气象数据发回地面，为天气预报提供准确、全面和及时的气象资料．设地球同步卫星的轨道半径是地球半径的n倍，下列说法中正确的是( )
A．同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的倍
B．同步卫星的运行速度是地球赤道上物体随地球自转获得的速度的倍
C．同步卫星的运行速度是第一宇宙速度的倍
D．同步卫星的向心加速度是地球表面重力加速度的倍
解析：选C.同步卫星绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力，则G＝ma＝m＝mr，得同步卫星的运行速度v＝ ，又第一宇宙速度v1＝ ，所以＝＝，故A错误，C正确；a＝，g＝，所以＝＝，故D错误；同步卫星与地球自转的角速度相同，则v＝ωr，v自＝ωR，所以＝＝n，故B错误．
5．“北斗”卫星导航定位系统由地球静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．地球静止轨道卫星和中轨道卫星都在圆轨道上运行，它们距地面的高度分别约为地球半径的6倍和3.4倍．下列说法正确的是( )
A．静止轨道卫星的周期约为中轨道卫星的2倍
B．静止轨道卫星的线速度大小约为中轨道卫星的2倍
C．静止轨道卫星的角速度大小约为中轨道卫星的
D．静止轨道卫星的向心加速度大小约为中轨道卫星的
解析：选A.根据G＝mr，可得T＝2π ，代入数据，A正确；根据G＝m，可得v＝ ，代入数据，B错误；根据G＝mω2r，可得ω＝ ，代入数据，C错误；根据G＝ma，可得a＝，代入数据，D错误．
二、多项选择题(本题共5小题，每小题6分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分)
关于人造地球卫星的运行速度和发射速度，以下说法中正确的是( )
A．低轨道卫星的运行速度大，发射速度也大
B．低轨道卫星的运行速度大，但发射速度小
C．高轨道卫星的运行速度小，发射速度也小
D．高轨道卫星的运行速度小，但发射速度大
解析：选BD.对于人造地球卫星，其做匀速圆周运动的线速度由G＝m得v＝.可看出其随着半径的增大而减小．将卫星发射到越远的轨道上，所需要的发射速度就越大，故B、D正确．
“行星”是指围绕太阳运转、能清除其轨道附近其他物体的天体．而同样具有足够质量，但不能清除其轨道附近其他物体的天体则被称为“矮行星”．备受争议的冥王星被“开除”出太阳系行星家族之后．游走在太阳系边缘．只能与其他个头相近的“兄弟姐妹”一道被称为“矮行星”．下列关于冥王星的说法正确的是( )
A．冥王星是牛顿运用了万有引力定律经过大量计算而发现的
B．它绕太阳公转的轨道平面一定过太阳中心
C．它绕太阳公转的周期一定大于一年
D．它被降级为矮行星后，将不再绕太阳运转
解析：选BC.冥王星是天文学家汤苞用“计算、预测、观察和照相”的方法发现的，选项A错误；冥王星被“开除”出行星后，仍绕太阳运转，且它的轨道半径大于地球绕太阳运转的轨道半径，由v＝和T＝可知选项B、C均正确，选项D错误．
8.如图所示，有A、B两颗行星绕同一恒星O做圆周运动，运转方向相同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，在某一时刻两行星第一次相遇(即相距最近)，则( )
A．经过时间t＝T1＋T2两行星将第二次相遇
B．经过时间t＝两行星将第二次相遇
C．经过时间t＝两行星第一次相距最远
D．经过时间t＝两行星第一次相距最远
解析：选BD.根据天体运动知识可知T2>T1，第二次相遇经历时间为t，则有t－t＝2π，解得：t＝，所以选项B正确；从第一次相遇到第一次相距最远所用时间为t′，两行星转过的角度差为π，即t′－t′＝π，解得t′＝，所以选项D正确．
如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R.下列说法正确的是( )
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析：选BC.地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误.
关于人造地球卫星，下列说法中正确的是( )
A．地球的地心一定处在人造地球卫星的轨道平面内
B．人造地球卫星的线速度v、角速度ω、旋转周期T均与卫星的质量无关
C．人造地球卫星的线速度肯定不大于7.9×103 m/s
D．人造地球卫星绕地球旋转的周期可以小于5 000 s
解析：选ABC.人造地球卫星绕地球运动所需的向心力，由地球对卫星的万有引力提供，所以地心一定处在卫星的轨道平面内，故A正确；由G＝m＝mω2r＝mr，得v＝，ω＝ ，T＝2π .可见，卫星的线速度v、角速度ω、周期T均与卫星的质量无关，故B正确；人造地球卫星的线速度v＝，与轨道半径r的平方根成反比，卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的线速度最大，最大线速度vmax＝≈7.9×103 m/s，故C正确；人造地球卫星绕地心转动的周期T＝2π，卫星在地面附近绕地心转动的周期最小，最小周期Tmin＝2π＝2π＝5 024 s，显然，地球卫星的转动周期小于5 000 s是绝对不可能的，故D错误．
三、非选择题(本题共3小题，共40分．解答时应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写出最后答案的不能得分，有数值计算的题，答案中必须明确写出数值和单位)
11．(12分)火星的半径是地球半径的一半，其质量是地球质量的，一宇航员的质量是m，他在地球上能举起物体的最大质量为m0.则这名宇航员：
(1)在火星上所受的重力是在地球上的多少倍？
(2)在火星上最多能举起质量多大的物体？
解析：设地球的半径和质量分别为R和M，地球和火星表面的重力加速度分别为g和g′.
(1)由于在地球表面重力近似等于地球的万有引力，所以mg＝G
同理，在火星表面，重力近似等于火星的万有引力，所以mg′＝G＝·G，
故＝.
(2)若宇航员在火星上能举起物体的最大质量是m′，则有m0g＝m′g′
解得m′＝m0.
答案：(1) (2)m0
(12分)如图所示，两个星球A、B组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动．已知A、B星球质量分别为mA、mB，万有引力常数为G.求(其中L为两星中心距离，T为两星的运动周期)．
解析：设A、B两个星球做圆周运动的半径分别为rA、rB，则rA＋rB＝L
对星球A：G＝mArA
对星球B：G＝mBrB
联立以上三式求得
＝.
答案：
(16分)某探月卫星开始绕地球做椭圆轨道运动，经过变轨、制动后，成为一颗绕月球做圆轨道运动的卫星．设卫星距月球表面的高度为h，做匀速圆周运动的周期为T.已知月球半径为R，引力常数为G.求：
(1)月球的质量M.
(2)月球表面的重力加速度g.
(3)月球的密度ρ.
解析：(1)万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则有
G＝m(R＋h)
得M＝.
(2)在月球表面，万有引力等于重力，则有
G＝m1g
得g＝.
(3)由ρ＝
V＝πR3
得ρ＝.
答案：(1) (2) (3)
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第三章 万有引力定律及其应用
地心
日心
天体的质量
未知天体
7.9
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两种学说
说说
天体的
运动
第一定律
开普勒行星
运动定律
第二定律
第三定律
定律的发现
定律的内容
万有引
力定律
公式:F
引力常数:G
Nm/kg2)
说
两种学说
2说
天体的
运动
第一定律
开普勒行星
运动定律
第二定律
第三定律
定律的发现
定律的内容
万有引
力定律
式:F=
万
引力常数:G=a
Nm?/kg2)
有
计算
预测[6
力
定
4
mr
律
历有引力定人造地球卫星GMm
mv
及律的应用
其
mro
应
用
第一宇宙速度:团km/s
三个宇宙速度鬥第二宇宙速度:112km/」
第三宇宙速度:167km/s
火箭
飞向太空宇宙飞船、航天飞机
空间探测器
G
6.67×101l
》知识体系网络构建
宏观把握·理清脉络◆
计算
预测
4
历有引力定人造地球卫星:cMmn=m
4r2
律的应用
mro
第一宇宙速度
kr
m/s
三个宇宙速度第二宇宙速度:12lmn
第三宇宙速度:167km/s
火箭
飞向太空宇宙飞船、航天飞机
空间探测器
万有引力定律及其应用
》专题归纳整合提升
归纳整合·深度升华本章优化总结
万有引力与重力的关系[学生用书P46]
万有引力和重力的关系
实际上，地面上物体所受的万有引力F可以分解为物体所受的重力mg和随地球自转而做圆周运动的向心力F′.其中F＝G，F′＝mrω2，质量为m的物体在地面上的万有引力F大小不变，且F?F′.
(1)当物体在赤道上时，F、mg、F′三力同向．此时满足F′＋mg＝F，物体的重力最小，方向指向地心．
(2)当物体在两极点时，F′＝0，F＝mg＝G.
(3)当物体在地球的其他位置时，三力方向不同，F>mg，重力略小于万有引力，重力的方向不指向地心．
(4)当忽略地球自转时，重力等于万有引力，即mg＝G.
(5)对于绕地球运行的近地卫星，所受的万有引力可认为等于卫星的重力．
赤道上物体的向心加速度和卫星的向心加速度的区别
放于地面赤道上的物体随地球自转所需的向心力是地球对物体的引力和地面支持力的合力提供的；而环绕地球运行的卫星所需的向心力完全由地球对卫星的引力提供(如图)．两个向心力的数值相差很大(如质量为1 kg的物体在赤道上随地球自转所需的向心力只有0.034 N，而它所受地球引力约为9.8 N，近地卫星上每千克的物体所需的向心力是9.8 N)，对应的两个向心加速度的计算方法也不同，赤道上的物体随地球自转的向心加速度a1＝ω2R＝R，式中T为地球自转周期，R为地球半径；卫星环绕地球运行的向心加速度a2＝，式中M为地球质量，r为卫星与地心的距离．
某星球“一天”的时间T＝6 h，用弹簧测力计在星球的“赤道”上比在“两极”处测同一物体的重力时读数小10%，设想该星球自转的角速度加快，使赤道上的物体会自动飘起来，这时星球的“一天”是多少小时？
[解析] 设该物体在星球的“赤道”上时重力为G1，在两极处时重力为G2，在“赤道”上G－G1＝mω2R①
在“两极”处G＝G2②
依题意得G2－G1＝0.1G2③
设该星球自转的角速度增大到ωx时，赤道上的物体自动飘起来，这里的自动飘起来是指星球表面与物体间没有相互作用力，物体受到的万有引力全部提供其随星球自转所需的向心力，则有G＝mωR④
由ωx＝，ω＝⑤
由①～⑤得Tx＝ h≈1.9 h
即赤道上的物体自动飘起来时，这时星球的“一天”是1.9 h.
[答案] 1.9 h
人造卫星的相关问题[学生用书P47]
发射速度与环绕速度
要将人造卫星发射到预定的轨道上，就需要给卫星一个发射速度，发射速度随着发射高度的增加而增大．最小的发射速度为v＝＝＝7.9 km/s，即第一宇宙速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度．由v＝可知，人造地球卫星的轨道半径越大，环绕速度越小，所以第一宇宙速度v＝7.9 km/s是人造地球卫星最小的发射速度和绕地球做匀速圆周运动的最大的环绕速度．
稳定运行和变轨运行
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由＝m，得v＝，由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小．当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F万和m不再相等，因此就不能再根据v＝来确定r的大小．当F万>m时，卫星做近心运动，卫星轨道半径r减小，线速度v增大；当F万两种特殊卫星
(1)近地卫星：卫星轨道半径约为地球半径，受到的万有引力近似为重力，故有
G＝mg＝m，v＝＝＝7.9 km/s.
(2)地球同步卫星：相对于地面静止的人造卫星，它的周期T＝24 h．所以它只能位于赤道正上方某一确定高度h，h＝－R≈3.6×104 km，故世界上所有同步卫星的轨道均相同，但它们的质量可以不同．
人造卫星的超重与失重
(1)人造卫星在发射升空时，有一段加速运动；在返回地面时，有一段减速运动，这两个过程加速度方向均向上，因而都是超重状态．
(2)人造卫星在沿圆轨道运行时，由于万有引力提供向心力，所以处于完全失重状态，在这种情况下凡是与重力有关的力学现象都会停止发生，因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能使用．同理，与重力有关的实验也将无法进行．
已知地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的7倍，某行星的同步卫星轨道半径约为该行星半径的3倍，
该行星的自转周期约为地球自转周期的一半，那么该行星的平均密度与地球平均密度之比约为多少？
[解析] 由万有引力定律，对地球同步卫星有
G＝m(7R)
对行星同步卫星有G＝m′(3R′)
又M地＝πR3ρ，M行＝πR′3ρ′
联立以上各式得＝＝.
[答案] 108∶343
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