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第四章 机械能和能源
第四章 机械能和能源
mghAB
电火花打点计时器
刻度尺
接通电源
ma
Ek1
Ek2
合力
动能的变化
Ek2－Ek1
末动能
初动能
合外力做的功
增加
减小
不变
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以例说法·触类旁通探究外力做功与物体动能变化的关系
关于物体动能变化与做功的关系，下列说法正确的是( )
A．只要动力对物体做功，物体的动能就增加
B．只要物体克服阻力做功，物体的动能就减少
C．动力、阻力都做功，物体动能不变
D．外力对物体做功的代数和等于物体末动能与初动能的差
解析：选D.根据动能定理可知物体动能的变化与外力对物体做功的代数和有关，即与合外力对物体做的功有关，只要合外力做的功大于零，物体的动能就增加，只要合外力做的功小于零，物体的动能就减少，故A、B、C错误，D正确．
如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂．用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l.重力加速度大小为g.在此过程中，外力做的功为( )
A.mgl B.mgl
C.mgl D.mgl
解析：选A.QM段绳的质量为m′＝m，未拉起时，QM段绳的重心在QM中点处，与M点距离为l，绳的下端Q拉到M点时，QM段绳的重心与M点距离为l，此过程重力做功WG＝－m′g·＝－mgl，对绳的下端Q拉到M点的过程，应用动能定理，可知外力做功W＝－WG＝mgl，可知A项正确，B、C、D项错误．
在做“探究外力做功与物体动能变化的关系”的实验中，发现重力做的功总是大于重物增加的动能，造成这种现象的原因是( )
A．选用的重物质量过大
B．选用的重物质量过小
C．空气对重物的阻力和打点计时器对纸带的阻力做功
D．实验时操作不精细，实验数据测量不准确
解析：选C.重物和纸带下落过程中要克服阻力做功，因此重力做的功要大于增加的动能，C正确；重物质量的大小对阻力有影响，但不是造成上述现象的原因，A、B错误．
4.连接A、B两点的弧形轨道ACB和ADB形状相同，材料相同，如图所示，一个小物体由A以一定的速度v开始沿ACB轨道到达B的速度为v1；若由A以相同初速度v沿ADB轨道到达B的速度为v2，比较v1和v2的大小，有( )
A．v1>v2 B．v1＝v2
C．v1解析：选A.由题意可知，弧形材料ACB和ADB的长度相等，物块在上面滑动时动摩擦因数相同，物块在上面运动可认为圆周运动，由于物块在上运动时对曲面的正压力大于在上对曲面的正压力(考虑圆周运动向心力)，故在上克服摩擦力做的功大于在上克服摩擦力做的功，再由动能定理即可得出答案．
在用自由落体运动探究外力做功与动能关系时，某同学按照正确的操作选得纸带如图所示，其中O点是起始点，A、B、C是打点计时器连续打下的三个点，该同学用毫米刻度尺测量O点到A、B、C各点的距离，并记录在图中(单位cm)．已知打点计时器电源频率为50 Hz，重物质量为m，当地重力加速度g＝9.80 m/s2.
(1)这三组数据中不符合有效数字读数要求的是________．
(2)该同学用重物在OB段的运动来探究两者之间的关系，先计算出该段时间重力做的功为：________，接着从打点计时器打下的第一个点O数起，图中的B点是打点计时器打下的第9个点，他用vB＝gt计算B点对应的重物的瞬时速度，得到动能的增加量为________(均保留三位有效数字)．这样他发现重力做的功________(填“大于”或“小于”)动能的增加量，造成这一错误结论的原因是___________________________________________________
________________________________________________________________________.
解析：(1)从有效数字的位数上不难得出15.7不符合有效数字的读数要求．
(2)重力做的功为：
WG＝mghOB＝m×9.80×12.42×10－2 J≈1.22m J
vB＝gt＝9.80×0.16 m/s＝1.568 m/s
动能的增加量ΔEk＝mv＝m×1.5682 J≈1.23m J
ΔEk＞WG，造成这一现象的原因是计算重物速度时，认为重物下落加速度为g，而实际由于重物下落过程中受到空气阻力作用，故重物的加速度小于g，将重物的速度算大了．应该用AC段的平均速度计算，即vB＝(T＝0.02 s)．
答案：(1)15.7 (2)见解析
[课时作业]
一、单项选择题
两辆汽车在同一水平路面上行驶，它们的质量之比为1∶2，速度之比为2∶1.设两车与地面间的动摩擦因数相等，则当两车紧急刹车后，滑行的最大距离之比为( )
A．1∶2 B．1∶1
C．2∶1 D．4∶1
解析：选D.汽车刹车后由动能定理得－μmgs＝0－mv2，故滑行的最大距离s与v2成正比，所以汽车滑行的最大距离之比s1∶s2＝v∶v＝4∶1，D正确．
一物体质量为2 kg，以4 m/s的速度在光滑水平面上向左滑行，从某时刻起对物体施加一水平向右的力，经过一段时间后，物体的速度方向变为水平向右，大小为4 m/s，在这段时间内，水平力做功为( )
A．0 B．8 J
C．16 J D．32 J
解析：选A.由动能定理得水平力做的功W＝mv2－mv＝0，故A正确．
利用重物下落探究外力做功与物体动能变化的实验中，下面叙述正确的是( )
A．应该用天平称出物体的质量
B．应该选用点迹清晰，特别是第一点没有拉成长条的纸带
C．操作时应先放纸带再通电
D．打点计时器应接在电压为4 V～6 V的直流电源上
解析：选B.因为重力做的功与动能变化中都含有质量m，验证相等时质量可消去，因此不需称出物体的质量，A错；打点计时器应接在低压交流电源上，D错；操作时先通电再放纸带，C错；选用纸带时，要求点迹清晰，B对．
4．一空盒以某一初速度在水平面上滑行，滑行的最远距离为L.现往空盒中倒入沙子，使空盒与沙子的总质量为原来空盒的3倍，仍以原来的初速度在水平面上滑行，此时滑行的最远距离为( )
A.L B.L
C．L D．3L
解析：选C.盒子与水平面的动摩擦因数一定，根据动能定理得－μmgs＝0－mv，则位移为s＝eq \f(v,2μg)，位移s与物体的质量无关，正确选项为C.
二、多项选择题
一物体做变速运动时，下列说法正确的有( )
A．合外力一定对物体做功，使物体动能改变
B．物体所受合外力一定不为零
C．合外力一定对物体做功，但物体动能可能不变
D．物体加速度一定不为零
解析：选BD.物体的速度发生了变化，则合外力一定不为零，加速度也一定不为零，B、D正确；物体的速度变化，可能是大小不变，方向变化，故动能不一定变化，合外力不一定做功，A、C错误．
一质量为1 kg的物体被人用手由静止开始向上提升1 m，这时物体的速度是2 m/s，取g为10 m/s2，则下列结论中正确的是( )
A．手对物体做功12 J B．合力对物体做功12 J
C．合力对物体做功2 J D．物体克服重力做功10 J
解析：选ACD.明确此过程两个力做功，即人的拉力和物体的重力，由动能定理可得：F合h＝mv2或W人－mgh＝mv2，所以W合＝2 J，W人＝12 J，WG＝－mgh＝－10 J.
某物体在恒力作用下，从静止开始做直线运动，若t表示时间，s表示位移，则物体的动能( )
A．与t成正比 B．与t2成正比
C．与s成正比 D．与s2成正比
解析：选BC.物体在恒力F作用下做初速度为零的匀加速直线运动，有v＝at＝t，则动能Ek＝mv2＝t2，A错误，B正确；由运动学公式得v2＝2as＝s，则动能可表示为Ek＝mv2＝Fs，C正确，D错误．
质量不同而具有相同动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平面上滑行到停止，则( )
A．质量大的物体滑行的距离长
B．质量大的物体滑行的距离短
C．它们克服阻力做的功不相等
D．它们运动的加速度一样大
解析：选BD.两物体的初动能相同，末动能也相同，动能的变化量相同，由动能定理知，合力对它们做的总功相等，即它们克服摩擦力做的功一样大．由关系式μm1gs1＝μm2gs2可知，质量大的物体滑行的距离短．由牛顿第二定律a＝＝＝μg知，它们运动的加速度相同．
甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s.如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )
A．力F对甲物体做功多
B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C．甲物体获得的动能比乙大
D．甲、乙两个物体获得的动能相同
解析：选BC.由功的公式W＝Fscos α＝F·s可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误、B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有，Fs－fs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，C正确，D错误．
三、非选择题
质量为1 kg的重物自由下落，通过打点计时器在纸带上记录运动过程，打点计时器所接电源为6 V、50 Hz的交流电源，如图甲所示，纸带上O点为重物自由下落时纸带打点的起点，选取的计数点A、B、C、D、E、F、G依次间隔一个点(图中未画出)，各计数点与O点之间的距离依次为31.4、70.6、125.4、195.9、282.1、383.8、501.2，单位为mm.则：
(1)求出B、C、D、E、F各点速度，并填入下表：
计数点 B C D E F
v/(m·s－1)
(2)求出物体下落时从O点到图中各点过程中重力所做的功，并填入下表：
计数点 B C D E F
W/J
(3)适当选择坐标轴，在图乙中作出物体重力做的功与物体速度之间的关系图象．图中纵坐标表示________________，横坐标表示________________，由图可得重力所做的功与________成________关系．
解析：(1)各点速度可由公式v＝求出．
vB＝eq \f(,Δt)＝ m/s≈1.18 m/s
同理vC≈1.57 m/s，vD≈1.96 m/s，vE≈2.35 m/s，
vF≈2.74 m/s.
(2)重力做的功由W＝mgΔs求出
WB＝mg＝1×9.8×70.6×10－3 J≈0.69 J
同理WC≈1.23 J，WD≈1.92 J，WE≈2.76 J，WF≈3.76 J.
(3)如图所示
纵坐标表示重力做的功W，横坐标表示物体速度的平方v2，由图可得重力所做的功与物体速度的平方v2成正比关系。
答案：(1)1.18 1.57 1.96 2.35 2.74
(2)0.69 1.23 1.92 2.76 3.76 (3)见解析
某同学从h＝5 m高处，以初速度v0＝8 m/s抛出一个质量为m＝0.5 kg的橡皮球，测得橡皮球落地前的瞬时速度为12 m/s，求该同学抛球时所做的功和橡皮球在空中运动时克服空气阻力做的功．(取g＝10 m/s2)
解析：该同学抛球的过程中，橡皮球的速度由零增加为抛出时的初速度v0，由动能定理得，他抛球时所做的功
W＝mv＝×0.5×82 J＝16 J.
橡皮球被抛出后，只有重力和空气阻力对它做功，由动能定理得mgh＋Wf＝mv2－mv
得Wf＝mv2－mv－mgh＝－5 J，
即橡皮球克服空气阻力做功为5 J.
答案：16 J 5 J
12．如图所示，粗糙的水平面AB与竖直平面内的光滑弯曲轨道BC在B点相接(即水平面是弯曲轨道的切线)，一小物块从水平面上的D点以初速度v0＝8 m/s出发向
B点滑行，DB长为12 m，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2，求：
(1)小物块滑到B点时的速度为多大？
(2)小物块沿弯曲轨道上滑的最大高度为多少？
解析：(1)在水平面上运动，只有滑动摩擦力f对物体做功，从D到B运动的过程运用动能定理，设物体在B点时的速度为v，则
－f·DB＝mv2－mv
又f＝μmg
联立以上两式解得v＝4 m/s.
(2)设物体能够上滑的最大高度为h，物体沿弯曲轨道上滑的过程中，只有重力对物体做功，运用动能定理得
－mgh＝0－mv2
解得h＝0.8 m.
答案：(1)4 m/s (2)0.8 m
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- 2 -第三节 探究外力做功与物体动能变化的关系
1.会用实验的方法来探究外力做功与物体动能变化的关系，并能用牛顿第二定律和运动学公式推导动能定理．
2．理解动能定理的内容，并能用动能定理分析、计算有关问题．
一、探究外力做功与物体动能变化的关系
实验与探究
(1)实验目的：探究外力做功与物体动能变化的关系．
(2)实验方法：让物体自由下落，下落过程经过A、B两点，测出A、B两点的高度差hAB和A、B两点的速度vA、vB，则重力做的功为WG＝mghAB．
动能变化为ΔEk＝mv－mv．
验证WG与ΔEk的关系．
(3)实验器材：铁架台(带铁夹)、电火花打点计时器、刻度尺、重物、纸带、电源等．
(4)实验步骤
①按如图所示把打点计时器安装在铁架台上，并接到电源上．
②把纸带的一端用夹子与重物固定好，另一端穿过计时器的限位孔，用手竖直提起纸带使重物停靠在电火花打点计时器附近．
③先接通电源，后松开纸带，让重物自由下落．
④重复几次，挑选出点迹清晰的纸带．在挑选出的纸带上，记下打第一个点的位置O，并在纸带上任意选出几个点，并标上1、2、3、…量出各点到O点的距离h1、h2、h3、…
⑤利用公式vn＝及Ek＝mv2、W＝mgh计算出各点对应的动能及重力对物体所做的功W.
⑥比较重力做功W与对应过程的动能变化ΔEk是否相等．
(5)误差产生的原因：重物和纸带在下落过程中受到打点计时器和空气的阻力，比较W和ΔEk的关系时，只计算重力的功，未考虑阻力的功，给实验带来误差．
(6)实验结论：通过对实验数据进行对比，可知在误差允许的范围内重力做功与物体动能的变化相等．
(7)注意事项
①应尽最大可能减小各种阻力的影响，可采取如下措施：
a．应选用质量和密度较大的重物，以减小空气阻力的影响．
b．打点计时器必须稳固安装在铁架台上，并且两个限位孔的中线要严格竖直，以减小纸带所受的摩擦力．
c．释放前将纸带拉至竖直且保证不与限位孔接触以减小纸带与限位孔间的摩擦．
②实验时必须是先接通电源，打点计时器正常工作后再放开纸带让重物下落.
理论分析与论证
如图所示，设物体的质量为m，在与运动方向相同的恒力F的作用下，在粗糙的水平面上发生一段位移s，速度由v1增加到v2.
由牛顿第二定律得F－f＝ma，
由运动学公式：v－v＝2as得a＝eq \f(v－v,2s)，
代入上式得(F－f)·s＝mv－mv，
即W＝Ek2－Ek1．
二、动能定理
内容：合力对物体所做的功等于物体动能的变化．
表达式：W＝Ek2－Ek1．
式中Ek2表示物体的末动能；Ek1表示初动能；W表示合外力做的功．
功与物体动能变化的关系
(1)W＞0时，Ek2＞Ek1，物体的动能增加．
(2)W＜0时，Ek2＜Ek1，物体的动能减小．
(3)W＝0时，Ek2＝Ek1，物体的动能不变．
适用范围
动能定理不仅适用于直线运动，也适用于曲线运动．
(1)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化．( )
(2)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零．( )
(3)物体的动能增加，合外力做正功．( )
提示：(1)√ (2)× (3)√
探究外力做功与动能变化的关系[学生用书P56]
根据匀变速直线运动某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，因此，纸带上某点的瞬时速度就等于该点前后相邻两点间的平均速度．
重物下落过程，阻力做负功．由动能定理可得WG－W阻＝ΔEk，故由实验数据计算的结果应该是WG＞ΔEk.
在探究外力做功与物体动能变化的实验中，已知打点计时器所用电源的频率为50 Hz，查得当地的重力加速度g＝9.80 m/s2，测得所用重物的质量为1.00 kg.实验中得到一条点迹清晰的纸带，如图所示，把第一个点记作O，另选连续的四个点A、B、C、D作为测量的点，经测量知道A、B、C、D各点到O点的距离分别是62.99 cm、70.18 cm、77.76 cm、85.73 cm.根据以上数据，可知重物由O点运动到C点，重力做的功为____________J，动能的增加量等于________J(取两位有效数字)．结论是：在误差允许的范围内，______________
[思路点拨] 重力做的功由公式WG＝mgh求出，动能的增加量由ΔEk＝mvC2、vC＝联立求出．
[解析] 根据实验原理直接进行计算，T＝ s＝0.02 s，由O点到C点，重力做的功为
WG＝mgh＝1.00×9.80×77.76×10－2 J≈7.62 J
打下C点时纸带(即物体)的瞬时速度
vC＝＝ m/s
＝3.887 5 m/s
即动能的增加量为
ΔEk＝mv＝×1.00×3.887 52 J≈7.56 J.
[答案] 7.62 7.56 重力所做的功等于物体动能的增加量
1.(多选)某同学想利用自由落体运动“探究外力做功与动能变化的关系”，实验中，下列四组物理量中需要直接或间接测量的量有( )
A．物体的质量
B．重力加速度
C．物体下落的高度
D．与物体下落高度对应的物体的瞬时速度
解析：选CD.物体受力不变，可以利用下落高度关系代表功的关系，所以必须测量下落高度，再利用下落高度计算对应各点的瞬时速度，故C、D正确，A、B错误．
对动能定理的理解[学生用书P57]
动能定理反映了一种因果关系，即合力做功是物体动能变化的原因．当合力对物体做正功时W>0，Ek2－Ek1>0，即Ek2>Ek1，动能增加．
动能只为非负值，但动能的变化有正负．“变化”是指末状态的物理量减去初状态的物理量，而不一定是大的减小的．动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应合力对物体做正功；动能的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功．
动能定理的研究对象是单一物体，或者是可以看成单一物体的物体系．
动能定理适用于物体的直线运动，也适用于物体的曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功，力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用．只要求出在作用过程中各力做功的多少和正负即可．用动能定理解题一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便．
动能定理的计算式为标量式，v为相对同一参考系的速度，一般以地面为参考系．
外力对物体所做的功是指物体所受的一切外力对它做的总功．
(1)动能定理只强调初末状态动能的变化，在一段过程中初末位置的动能变化量为零，并不意味着在此过程中的各个时刻动能不变化．
(2)物体所受合力不为零时，其动能不一定变化，比如合力方向始终与速度垂直时，动能就不会变化．
如图所示，小球从高为h的斜面上的A点，由静止开始滑下，经B点在水平面上滑到C点而停止，现在要使小球由C点沿原路径回到A点时速度为0，那么必须给小球以多大的初速度？(设小球经过B点时无能量损失)
[解析] 以小球为研究对象，在斜面上和水平面上它都受到重力、支持力、摩擦力三个力的作用，在整个运动过程中支持力始终不做功，重力做正功，摩擦力做负功，由动能定理可知小球从A点开始下滑到C点静止的过程中有：
W重－W阻＝0，所以W阻＝W重＝mgh.
当小球沿原路径返回时，摩擦力所做的负功与滑下过程中摩擦力所做的负功完全相同，而此时重力也做负功，由动能定理得：
－W重－W阻＝0－mv，
所以mv＝2W重＝2mgh，
解得vC＝＝2.
即要使小球从C点沿原路径返回到A点时速度为0，必须给小球2的初速度．
[答案] 2
动能定理反映了合力做功与初、末状态动能变化量之间的关系，由于初、末动能与初、末速度对应，因而利用动能定理可方便地求解初、末状态的速度．
2.对于动能定理，下列说法中正确的是( )
A．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和
B．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变
C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动
D．动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况
解析：选D.外力做的总功等于各个力单独做功的代数和，A错．根据动能定理，决定动能是否改变的是总功，而不是某一个力做的功，B错．动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况，C错、D对．
方法技巧——动能定理在多过程问题中的应用
对于包含多个运动阶段的复杂运动过程，可以选择分段或全程应用动能定理．
1．分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解．
2．全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力的做功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解．
如图所示，将质量m＝2 kg的一块石头从离地面H＝2 m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h＝5 cm深处，不计空气阻力．求泥对石头的平均阻力．(g取10 m/s2)
[思路点拨] 解答本题时应把握以下两点：
(1)明确小球的运动分为两个阶段．
(2)小球在两个阶段的受力情况不同．
[解析] 法一：(应用牛顿第二定律与运动学公式求解)
石头在空气中做自由落体运动，落地速度v＝
在泥潭中的运动阶段，设石头做减速运动的加速度的大小为a，则有v2＝2ah
解得a＝g
由牛顿第二定律 f－mg＝ma
所以泥对石头的平均阻力
f＝m(g＋a)＝m＝·mg＝×2×10 N＝820 N.
法二：(应用动能定理分段求解)
设石头着地时的速度为v，对石头在空中运动阶段应用动能定理，有mgH＝mv2
对石头在泥潭中运动阶段应用动能定理，有
mgh－f h＝0－mv2
由以上两式解得泥对石头的平均阻力
f＝·mg＝×2×10 N＝820 N.
法三：(在全过程中应用动能定理求解)
mg(H＋h)－f h＝0－0
解出f＝820 N.
[答案] 820 N
从本例提供的三种解法中有如下感悟：
(1)在不涉及加速度和时间的问题中，应用动能定理求解比应用牛顿第二定律与运动学公式求解简单得多；
(2)对物体运动的全过程应用动能定理，往往要比分段应用动能定理显得更为简捷，只需关注初、末状态，不必关心中间运动的细节．
[随堂达标][学生用书P58]
关于物体动能变化与做功的关系，下列说法正确的是( )
A．只要动力对物体做功，物体的动能就增加
B．只要物体克服阻力做功，物体的动能就减少
C．动力、阻力都做功，物体动能不变
D．外力对物体做功的代数和等于物体末动能与初动能的差
解析：选D.根据动能定理可知物体动能的变化与外力对物体做功的代数和有关，即与合外力对物体做的功有关，只要合外力做的功大于零，物体的动能就增加，只要合外力做的功小于零，物体的动能就减少，故A、B、C错误，D正确．
如图，一质量为m，长度为l的均匀柔软细绳PQ竖直悬挂．用外力将绳的下端Q缓慢地竖直向上拉起至M点，M点与绳的上端P相距l.重力加速度大小为g.在此过程中，外力做的功为( )
A.mgl B.mgl
C.mgl D.mgl
解析：选A.QM段绳的质量为m′＝m，未拉起时，QM段绳的重心在QM中点处，与M点距离为l，绳的下端Q拉到M点时，QM段绳的重心与M点距离为l，此过程重力做功WG＝－m′g·＝－mgl，对绳的下端Q拉到M点的过程，应用动能定理，可知外力做功W＝－WG＝mgl，可知A项正确，B、C、D项错误．
在做“探究外力做功与物体动能变化的关系”的实验中，发现重力做的功总是大于重物增加的动能，造成这种现象的原因是( )
A．选用的重物质量过大
B．选用的重物质量过小
C．空气对重物的阻力和打点计时器对纸带的阻力做功
D．实验时操作不精细，实验数据测量不准确
解析：选C.重物和纸带下落过程中要克服阻力做功，因此重力做的功要大于增加的动能，C正确；重物质量的大小对阻力有影响，但不是造成上述现象的原因，A、B错误．
4.连接A、B两点的弧形轨道ACB和ADB形状相同，材料相同，如图所示，一个小物体由A以一定的速度v开始沿ACB轨道到达B的速度为v1；若由A以相同初速度v沿ADB轨道到达B的速度为v2，比较v1和v2的大小，有( )
A．v1>v2 B．v1＝v2
C．v1解析：选A.由题意可知，弧形材料ACB和ADB的长度相等，物块在上面滑动时动摩擦因数相同，物块在上面运动可认为圆周运动，由于物块在上运动时对曲面的正压力大于在上对曲面的正压力(考虑圆周运动向心力)，故在上克服摩擦力做的功大于在上克服摩擦力做的功，再由动能定理即可得出答案．
在用自由落体运动探究外力做功与动能关系时，某同学按照正确的操作选得纸带如图所示，其中O点是起始点，A、B、C是打点计时器连续打下的三个点，该同学用毫米刻度尺测量O点到A、B、C各点的距离，并记录在图中(单位cm)．已知打点计时器电源频率为50 Hz，重物质量为m，当地重力加速度g＝9.80 m/s2.
(1)这三组数据中不符合有效数字读数要求的是________．
(2)该同学用重物在OB段的运动来探究两者之间的关系，先计算出该段时间重力做的功为：________，接着从打点计时器打下的第一个点O数起，图中的B点是打点计时器打下的第9个点，他用vB＝gt计算B点对应的重物的瞬时速度，得到动能的增加量为________(均保留三位有效数字)．这样他发现重力做的功________(填“大于”或“小于”)动能的增加量，造成这一错误结论的原因是___________________________________________________
________________________________________________________________________.
解析：(1)从有效数字的位数上不难得出15.7不符合有效数字的读数要求．
(2)重力做的功为：
WG＝mghOB＝m×9.80×12.42×10－2 J≈1.22m J
vB＝gt＝9.80×0.16 m/s＝1.568 m/s
动能的增加量ΔEk＝mv＝m×1.5682 J≈1.23m J
ΔEk＞WG，造成这一现象的原因是计算重物速度时，认为重物下落加速度为g，而实际由于重物下落过程中受到空气阻力作用，故重物的加速度小于g，将重物的速度算大了．应该用AC段的平均速度计算，即vB＝(T＝0.02 s)．
答案：(1)15.7 (2)见解析
[课时作业][学生用书P115(单独成册)]
一、单项选择题
两辆汽车在同一水平路面上行驶，它们的质量之比为1∶2，速度之比为2∶1.设两车与地面间的动摩擦因数相等，则当两车紧急刹车后，滑行的最大距离之比为( )
A．1∶2 B．1∶1
C．2∶1 D．4∶1
解析：选D.汽车刹车后由动能定理得－μmgs＝0－mv2，故滑行的最大距离s与v2成正比，所以汽车滑行的最大距离之比s1∶s2＝v∶v＝4∶1，D正确．
一物体质量为2 kg，以4 m/s的速度在光滑水平面上向左滑行，从某时刻起对物体施加一水平向右的力，经过一段时间后，物体的速度方向变为水平向右，大小为4 m/s，在这段时间内，水平力做功为( )
A．0 B．8 J
C．16 J D．32 J
解析：选A.由动能定理得水平力做的功W＝mv2－mv＝0，故A正确．
利用重物下落探究外力做功与物体动能变化的实验中，下面叙述正确的是( )
A．应该用天平称出物体的质量
B．应该选用点迹清晰，特别是第一点没有拉成长条的纸带
C．操作时应先放纸带再通电
D．打点计时器应接在电压为4 V～6 V的直流电源上
解析：选B.因为重力做的功与动能变化中都含有质量m，验证相等时质量可消去，因此不需称出物体的质量，A错；打点计时器应接在低压交流电源上，D错；操作时先通电再放纸带，C错；选用纸带时，要求点迹清晰，B对．
4．一空盒以某一初速度在水平面上滑行，滑行的最远距离为L.现往空盒中倒入沙子，使空盒与沙子的总质量为原来空盒的3倍，仍以原来的初速度在水平面上滑行，此时滑行的最远距离为( )
A.L B.L
C．L D．3L
解析：选C.盒子与水平面的动摩擦因数一定，根据动能定理得－μmgs＝0－mv，则位移为s＝eq \f(v,2μg)，位移s与物体的质量无关，正确选项为C.
二、多项选择题
一物体做变速运动时，下列说法正确的有( )
A．合外力一定对物体做功，使物体动能改变
B．物体所受合外力一定不为零
C．合外力一定对物体做功，但物体动能可能不变
D．物体加速度一定不为零
解析：选BD.物体的速度发生了变化，则合外力一定不为零，加速度也一定不为零，B、D正确；物体的速度变化，可能是大小不变，方向变化，故动能不一定变化，合外力不一定做功，A、C错误．
一质量为1 kg的物体被人用手由静止开始向上提升1 m，这时物体的速度是2 m/s，取g为10 m/s2，则下列结论中正确的是( )
A．手对物体做功12 J B．合力对物体做功12 J
C．合力对物体做功2 J D．物体克服重力做功10 J
解析：选ACD.明确此过程两个力做功，即人的拉力和物体的重力，由动能定理可得：F合h＝mv2或W人－mgh＝mv2，所以W合＝2 J，W人＝12 J，WG＝－mgh＝－10 J.
某物体在恒力作用下，从静止开始做直线运动，若t表示时间，s表示位移，则物体的动能( )
A．与t成正比 B．与t2成正比
C．与s成正比 D．与s2成正比
解析：选BC.物体在恒力F作用下做初速度为零的匀加速直线运动，有v＝at＝t，则动能Ek＝mv2＝t2，A错误，B正确；由运动学公式得v2＝2as＝s，则动能可表示为Ek＝mv2＝Fs，C正确，D错误．
质量不同而具有相同动能的两个物体，在动摩擦因数相同的水平面上滑行到停止，则( )
A．质量大的物体滑行的距离长
B．质量大的物体滑行的距离短
C．它们克服阻力做的功不相等
D．它们运动的加速度一样大
解析：选BD.两物体的初动能相同，末动能也相同，动能的变化量相同，由动能定理知，合力对它们做的总功相等，即它们克服摩擦力做的功一样大．由关系式μm1gs1＝μm2gs2可知，质量大的物体滑行的距离短．由牛顿第二定律a＝＝＝μg知，它们运动的加速度相同．
甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s.如图所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( )
A．力F对甲物体做功多
B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多
C．甲物体获得的动能比乙大
D．甲、乙两个物体获得的动能相同
解析：选BC.由功的公式W＝Fscos α＝F·s可知，两种情况下力F对甲、乙两个物体做的功一样多，A错误、B正确；根据动能定理，对甲有Fs＝Ek1，对乙有，Fs－fs＝Ek2，可知Ek1>Ek2，即甲物体获得的动能比乙大，C正确，D错误．
三、非选择题
质量为1 kg的重物自由下落，通过打点计时器在纸带上记录运动过程，打点计时器所接电源为6 V、50 Hz的交流电源，如图甲所示，纸带上O点为重物自由下落时纸带打点的起点，选取的计数点A、B、C、D、E、F、G依次间隔一个点(图中未画出)，各计数点与O点之间的距离依次为31.4、70.6、125.4、195.9、282.1、383.8、501.2，单位为mm.则：
(1)求出B、C、D、E、F各点速度，并填入下表：
计数点 B C D E F
v/(m·s－1)
(2)求出物体下落时从O点到图中各点过程中重力所做的功，并填入下表：
计数点 B C D E F
W/J
(3)适当选择坐标轴，在图乙中作出物体重力做的功与物体速度之间的关系图象．图中纵坐标表示________________，横坐标表示________________，由图可得重力所做的功与________成________关系．
解析：(1)各点速度可由公式v＝求出．
vB＝＝ m/s≈1.18 m/s
同理vC≈1.57 m/s，vD≈1.96 m/s，vE≈2.35 m/s，
vF≈2.74 m/s.
(2)重力做的功由W＝mgΔs求出
WB＝mgOB＝1×9.8×70.6×10－3 J≈0.69 J
同理WC≈1.23 J，WD≈1.92 J，WE≈2.76 J，WF≈3.76 J.
(3)如图所示
纵坐标表示重力做的功W，横坐标表示物体速度的平方v2，由图可得重力所做的功与物体速度的平方v2成正比关系。
答案：(1)1.18 1.57 1.96 2.35 2.74
(2)0.69 1.23 1.92 2.76 3.76 (3)见解析
某同学从h＝5 m高处，以初速度v0＝8 m/s抛出一个质量为m＝0.5 kg的橡皮球，测得橡皮球落地前的瞬时速度为12 m/s，求该同学抛球时所做的功和橡皮球在空中运动时克服空气阻力做的功．(取g＝10 m/s2)
解析：该同学抛球的过程中，橡皮球的速度由零增加为抛出时的初速度v0，由动能定理得，他抛球时所做的功
W＝mv＝×0.5×82 J＝16 J.
橡皮球被抛出后，只有重力和空气阻力对它做功，由动能定理得mgh＋Wf＝mv2－mv
得Wf＝mv2－mv－mgh＝－5 J，
即橡皮球克服空气阻力做功为5 J.
答案：16 J 5 J
12．如图所示，粗糙的水平面AB与竖直平面内的光滑弯曲轨道BC在B点相接(即水平面是弯曲轨道的切线)，一小物块从水平面上的D点以初速度v0＝8 m/s出发向
B点滑行，DB长为12 m，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2，求：
(1)小物块滑到B点时的速度为多大？
(2)小物块沿弯曲轨道上滑的最大高度为多少？
解析：(1)在水平面上运动，只有滑动摩擦力f对物体做功，从D到B运动的过程运用动能定理，设物体在B点时的速度为v，则
－f·DB＝mv2－mv
又f＝μmg
联立以上两式解得v＝4 m/s.
(2)设物体能够上滑的最大高度为h，物体沿弯曲轨道上滑的过程中，只有重力对物体做功，运用动能定理得
－mgh＝0－mv2
解得h＝0.8 m.
答案：(1)4 m/s (2)0.8 m
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