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第四章 机械能和能源
第四章 机械能和能源
重力
弹性
机械能
重力或弹力
重力
动能
重力势能
弹力做功
保持不变
Ep2＋Ek2
重力
弹力
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以例说法·触类旁通机械能守恒定律
1．如图所示实例中均不考虑空气阻力，系统机械能守恒的是( )
解析：选D.人上楼、跳绳过程中机械能不守恒，从能量转化角度看都要消耗人体的化学能，从做功角度看，上楼时除人所受重力做功外，楼梯对人的支持力也做功，人匀速上楼时，机械能增加；跳绳时，人落地跳起时，地面支持力对人做功，故A、B两项机械能不守恒；水滴石穿，水滴的机械能减少的部分转变为内能；弓箭射出过程中是弹性势能与动能、重力势能的相互转化，只有重力和弹力做功，机械能守恒．
2.如图所示，一小孩从公园中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其机械能的变化情况是( )
A．重力势能减小，动能不变，机械能减小
B．重力势能减小，动能增加，机械能减小
C．重力势能减小，动能增加，机械能增加
D．重力势能减小，动能增加，机械能守恒
解析：选B.小孩从粗糙的滑梯上自由加速滑下，由于摩擦力做了负功，小孩的机械能减小，但由于小孩加速下滑，说明小孩的运动速度增加，则其动能增加，又因小孩的高度降低，则其重力势能减小，则选项B正确，其他选项均错误．
如图所示，在距地面h高处以初速度v0沿水平方向抛出一个物体，不计空气阻力，物体在下落过程中，下列说法中正确的是( )
A．物体在c点比在a点具有的机械能大
B．物体在b点比在c点具有的动能大
C．物体在a、b、c三点具有的动能一样大
D．物体在a、b、c三点具有的机械能相等
解析：选D.小球在运动过程中，只受到重力作用，机械能守恒，在任何一个位置小球的机械能都是一样的，A错误，D正确；物体在下落过程中，重力势能转化为动能，Eka＜Ekb＜Ekc，B、C错误．
4.如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g，当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )
A．Mg－5mg B．Mg＋mg
C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg
解析：选C.设大环半径为R，质量为m的小环滑下过程中遵守机械能守恒定律，所以mv2＝mg·2R.小环滑到大环的最低点时的速度为v＝2，根据牛顿第二定律得FN－mg＝，所以在最低点时大环对小环的支持力FN＝mg＋＝5mg.根据牛顿第三定律知，小环对大环的压力F′N＝FN＝5mg，方向向下．对大环，据平衡条件，轻杆对大环的拉力T＝Mg＋F′N＝Mg＋5mg.根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为T′＝T＝Mg＋5mg，故选项C正确，选项A、B、D错误．
某人站在离地面h＝10 m高处的平台上以水平速度v0＝5 m/s 抛出一个质量m＝1 kg的小球，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)人对小球做了多少功？
(2)小球落地时的速度为多大？
解析：(1)人对小球做的功等于小球获得的初动能，由动能定理得：W＝mv＝×1×52 J＝12.5 J.
(2)小球下落过程中，只有重力做功，取地面为零势能面，由机械能守恒定律得：
mgh＋mv＝mv2
解得：v＝eq \r(v＋2gh)＝ m/s＝15 m/s.
答案：(1)12.5 J (2)15 m/s
[课时作业]
一、单项选择题
1．如图所示，游乐场中一位小朋友沿滑梯从静止开始下滑，在此过程中他的机械能不守恒，其原因是( )
A．因为小朋友做加速运动，所以机械能不守恒
B．因为小朋友做曲线运动，所以机械能不守恒
C．因为小朋友受到了除重力以外的其他力作用，所以机械能不守恒
D．因为除重力做功外，其他力做功不为零，所以机械能不守恒
解析：选D.小朋友沿滑梯滑下过程中除了重力做功以外，摩擦阻力和空气阻力也对小朋友做了负功，因此，小朋友的机械能减少，而不守恒，选项D正确，其他选项均错误．
2．在物体自由下落过程中，下列说法正确的是( )
A．动能增大，势能减小，机械能增大
B．动能减小，势能增大，机械能不变
C．动能增大，势能减小，机械能不变
D．动能不变，势能减小，机械能减小
解析：选C.在自由下落过程中，只有重力做功，物体的机械能守恒，重力势能不断减小，动能不断增大，选项C正确．
如图所示，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，D中的斜面是粗糙的．图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动．在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )
解析：选C.机械能守恒的条件是只有重力或系统内弹力做功．在A、B图中木块受三个力作用，即重力、支持力和推力F，因有外力F做功，故不符合条件；D中因有摩擦力做功，故也不符合条件．因此只有C图符合守恒条件．
如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，质量为m的小球，从轻弹簧的正上方某一高处自由落下，并将弹簧压缩，直到小球的速度变为零．对于小球、轻弹簧和地球组成的系统，在小球开始与弹簧接触时起到小球速度变为零的过程中( )
A．小球的动能和重力势能的总和越来越小，小球的动能和弹性势能的总和越来越大
B．小球的动能和重力势能的总和越来越小，小球的动能和弹性势能的总和越来越小
C．小球的动能和重力势能的总和越来越大，小球的动能和弹性势能的总和越来越大
D．小球的动能和重力势能的总和越来越大，小球的动能和弹性势能的总和越来越小
解析：选A.在小球开始与弹簧接触到小球速度变为零的过程中，只有重力和弹力做功，小球和弹簧组成的系统的机械能守恒，即动能、弹性势能和重力势能的总和不变，由于弹力一直做负功，弹性势能不断增大，故小球的动能和重力势能的总和越来越小，故C、D错；同理，由于重力一直做正功，重力势能不断减小，故小球的动能和弹性势能的总和越来越大，故A对、B错．
如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
解析：选B.圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度h＝L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝mgL，选项B正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误．
将物体从地面竖直上抛，如果不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H.当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的3倍，则这一位置的高度是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.物体在运动过程中机械能守恒，设动能是重力势能的3倍时的高度为h，取地面为零势能面，则有mgH＝Ek＋mgh，即mgH＝4mgh，解得：h＝，故D正确．
某跳高运动员的身高为1.89 m，在一次训练中起跳后身体横着越过了2.14 m的横杆，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度接近(设人的重心在身高一半处，取g＝10 m/s2)( )
A．2 m/s B．5 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
解析：选B.可认为跨杆时刻，该运动员速度为零．由机械能守恒定律得：mgh＝，h为重心上升的高度，解得速度约为：v≈4.89 m/s，接近5 m/s，故选B.
二、多项选择题
关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法中正确的是( )
A．只有重力和系统内弹力作用时，机械能守恒
B．除重力或系统内弹力外有其他力作用时，只要合外力为零，机械能守恒
C．除重力或系统内弹力外有其他力作用时，只要其他力的合力的功为零，机械能守恒
D．炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒
解析：选AC.系统只有重力或系统内弹力作用时，没有其他力做功，机械能一定守恒，A对；合外力为零，则合外力做的功为零，动能不变，但势能不一定不变，故机械能可能变化，B错；除重力或系统内弹力外，其他力做的总功为零，相当于只有重力或系统内弹力做功，机械能一定守恒，C对；爆炸瞬间炸药的化学能转化为炮弹的动能，炮弹的动能增加，机械能增加，D错．
如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有( )
A．N小于滑块重力 B．N大于滑块重力
C．N越大表明h越大 D．N越大表明h越小
解析：选BC.设滑块质量为m，在B点所受支持力为FN，圆弧半径为R，所需向心力为F.滑块从高度h处由静止下滑至B点过程中，由机械能守恒定律有mv＝mgh，在B点滑块所需向心力由合外力提供，得FN－mg＝meq \f(v,R).由牛顿第三定律知，传感器示数N等于FN，解得N＝mg＋，由此式知N＞mg且h越大，N越大．选项B、C正确．
10．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力先做正功后做负功，弹性势能先减小后增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取无关
解析：选ACD.运动员在下落过程中，重力做正功，重力势能减小，故A正确．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力向上，位移向下，弹力做负功，弹性势能增加，故B错误．选取运动员、地球和蹦极绳为一系统，在蹦极过程中，只有重力和系统内弹力做功，这个系统的机械能守恒，故C正确．重力势能改变的表达式为ΔEp＝mgΔh，由于Δh是绝对的，与选取的重力势能参考零点无关，故D正确．
三、非选择题
轻弹簧k一端与墙相连，质量为4 kg的木块沿光滑水平面以5 m/s的速度运动，并压缩弹簧，求弹簧在被压缩的过程中最大弹性势能及木块速度减为3 m/s时的弹性势能．
解析：木块压缩弹簧的过程中，只有弹力做功，木块的动能与弹簧的弹性势能之和守恒．从开始压缩至木块速度为零，根据机械能守恒mv＝Ep
可得：Ep＝50 J
从开始压缩至木块速度为3 m/s，根据机械能守恒mv－mv2＝E′p
可得E′p＝32 J.
答案：50 J 32 J
如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为2m的砝码相连，把绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离时砝码未落地，木块仍在桌面上，求此时砝码的速度以及轻绳对砝码做的功．
解析：砝码从静止开始下降h的过程中，两物体组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律，系统减少的重力势能等于系统增加的动能，则：
2mgh＝mv2＋·2mv2
解得：v＝
设轻绳对砝码做功为W，对砝码由动能定理得
2mgh＋W＝·2mv2－0
解得：W＝－mgh.
答案： －mgh
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- 1 -第四节 机械能守恒定律
1.知道什么是机械能，知道动能和势能是可以相互转化的． 2.会推导机械能守恒定律，理解机械能守恒定律的内容和适用条件． 3.会用机械能守恒定律分析和计算相关问题．
一、动能与势能之间的相互转化
机械能：动能与势能(包括重力势能和弹性势能)统称为机械能．
相互转化：动能和势能间能够相互转化，动能和势能间的相互转化是通过重力或弹力做功实现的．
毛泽东的诗词中曾写到“一代天骄成吉思汗，只识弯弓射大雕”．试分析成吉思汗在弯弓射雕过程中，涉及机械能中哪些能量之间的转化？
提示：箭被射出过程中，弹性势能转化为箭的动能；箭上升过程中，动能向重力势能转化；下落过程中，重力势能又向动能转化．
二、机械能守恒定律的理论指导
内容
(1)在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，而机械能的总量保持不变．
(2)在只有弹力做功的情形下，弹性势能和动能可以相互转化，但总的机械能保持不变．
表达式：Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2．
守恒条件：只有重力或弹力做功．
(1)合力为零，物体的机械能一定守恒．( )
(2)合力做功为零，物体的机械能一定守恒．( )
(3)只有重力做功，物体的机械能一定守恒．( )
提示：(1)× (2)× (3)√
对机械能守恒定律的理解[学生用书P60]
研究对象
(1)当只有重力做功时，可取一个物体(其实是物体与地球构成的系统)作为研究对象．
(2)当物体之间的弹力做功时，必须将这几个物体构成的系统作为研究对象(使这些弹力成为系统内力)．
守恒条件
(1)从能量特点看：只有系统动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)转化，则系统机械能守恒．如物体间发生相互碰撞，物体间发生相对运动、又有相互间的摩擦作用时有内能的产生，机械能一般不守恒．
(2)从机械能的定义看：动能与势能之和是否变化．如一个物体沿斜面匀速(或减速)滑下，动能不变(或减小)，势能减小，机械能减小，一个物体沿水平方向匀速运动时机械能守恒，沿竖直方向匀速运动时机械能不守恒．
(3)从做功特点看：只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在：
①只受重力(或系统内的弹力)．如：所有做抛体运动的物体(不计阻力)．
②还受其他力，但只有重力(或系统内的弹力)做功．如图甲、乙所示．
甲图中，如不计空气阻力，小球在摆动过程中机械能守恒．
乙图中，如不计空气阻力，球在摆动过程中，球与弹簧组成的系统机械能守恒．但对球来说，机械能不守恒．
③其他力做功，但做功的代数和为零，如图丙、丁所示．如图丙所示，A、B构成的系统，忽略绳的质量和绳与滑轮间摩擦，在A向下、B向上运动过程中，则A、B系统机械能守恒．
丁图中，一切摩擦均不计，A自B上端自由下滑时，B沿地面滑动中，A、B的机械能均不守恒，但A、B组成的系统机械能守恒．
(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
[思路点拨] 解答本题应把握以下两点：
(1)理解机械能守恒的条件．
(2)灵活选择判断方法．
[解析] 甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错．乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错．丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B机械能守恒，C对．丁图中动能不变，势能不变，机械能守恒，D对．
[答案] CD
判断机械能是否守恒，可以从各力的做功情况着手分析，也可以从能量转化情况着手分析；要根据实际情况灵活选择合适的分析方法．
1.下列关于机械能守恒的说法正确的是( )
A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B．做匀加速直线运动的物体的机械能不可能守恒
C．运动物体只要不受摩擦力作用，其机械能就一定守恒
D．物体只发生动能和势能的相互转化时，其机械能一定守恒
解析：选D.可通过以下表格对各选项逐一分析：
选项 分析 结论
A 做匀速直线运动只是动能不变，不能确定其势能是否变化，如匀速上升，动能不变，势能增加，机械能增加 ?
B 物体做自由落体运动，是匀加速直线运动，机械能守恒 ?
C 把物体从地面吊起，不受摩擦力，但机械能不守恒 ?
D 物体只有动能和势能相互转化时，其机械能守恒 √
机械能守恒定律的应用[学生用书P61]
机械能守恒定律的常用表述形式
(1)用系统的状态量表述
E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2
即系统初状态的机械能等于末状态的机械能．
(2)用系统动能增量和势能增量间的关系表述
ΔEk＝－ΔEp
即系统动能的增加等于势能的减少．
(3)用系统内各部分物体机械能变化量间的关系表述
ΔEA＝－ΔEB
即把系统内的物体分为A、B两组，A组机械能的增加量等于B组机械能的减少量．
应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象(物体或系统)．
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在运动过程中的始态和末态的机械能(数值或表达式)．
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果．
机械能守恒定律与动能定理的比较
机械能守恒定律 动能定理
不同点不同点 适用条件 只有重力或弹力做功 没有条件限制，它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功
分析思路 只需分析研究对象初、末状态的动能和势能即可 不但要分析研究对象初、末状态的动能，还要分析所有外力所做的功
研究对象 一般是物体组成的系统 一般是一个物体(质点)
书写方式 有多种书写方式，一般常用等号两边都是动能与势能的和 等号左边一定是合力的总功，右边则是动能的变化
相同点 (1)思想方法相同：机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度来研究物体在力的作用下状态的变化(2)表达这两个规律的方程都是标量式
如图所示，在水平桌面上的A点，将一个质量为m的物体以初速度v0抛出，不计空气阻力，求它到达B点时速度的大小．
[思路点拨] 做抛体运动的物体只受重力作用，因此物体在运动过程中机械能守恒，可利用机械能守恒定律求解．
[解析] 物体抛出后运动过程中只受重力作用，机械能守恒．
法一：选地面为参考面，则
mgH＋mv＝mg(H－h)＋mv
解得vB＝eq \r(v＋2gh).
法二：选桌面为参考面，则mv＝－mgh＋mv
解得vB＝eq \r(v＋2gh).
[答案] eq \r(v＋2gh)
2.在一次课外趣味游戏中，有四位同学分别将四个质量不同的光滑小球沿竖直放置的内壁光滑的半球形碗的碗口内侧同时由静止释放，碗口水平，如图所示．他们分别记下了这四个小球下滑速率为v时的位置，则这些位置应该在同一个( )
A．球面 B．抛物面
C．水平面 D．椭圆面
解析：选C.因半球形碗的内壁光滑，所以小球下滑过程中机械能守恒，取小球速率为v时所在的平面为零势能面，则根据机械能守恒定律得mgh＝mv2.因为速率v相等，所以高度相等，与小球的质量无关，即这些位置应该在同一个水平面上，C正确．
方法技巧——系统机械能守恒的分析方法
机械能守恒定律的研究对象是几个相互作用的物体组成的系统时，在应用机械能守恒定律解决系统的运动状态的变化及能量的变化时，经常出现下面三种情况．
1．系统内两个物体直接接触或通过弹簧连接．这类连接体问题应注意各物体间不同能量形式的转化关系．
2．系统内两个物体通过轻绳连接．如果和外界不存在摩擦力做功等问题时，只有机械能在两物体之间相互转移，两物体组成的系统机械能守恒．解决此类问题的关键是在绳的方向上两物体速度大小相等．
3．系统内两个物体通过轻杆连接．轻杆连接的两物体绕固定转轴转动时，两物体的角速度相等．
如图所示，质量分别为3 kg和5 kg的物体A、B，用轻绳连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正好拉直，且A的底面与地接触，B距地面0.8 m，放开B，取g＝10 m/s2，求：
(1)当B着地时，A的速度．
(2)B着地后，A还能上升多高？
[思路点拨] 对于A、B组成的系统，当B下落时系统机械能守恒．
[解析] (1)设当B着地时，A的速度为v.
法一：利用公式E2＝E1求解
以地面为参考平面，则mAgh＋(mA＋mB)v2＝mBgh
得v＝＝ m/s
＝2 m/s.
法二：利用公式ΔEp减＝ΔEk增求解
由题意得mBgh－mAgh＝(mA＋mB)v2
得v＝2 m/s.
法三：利用公式ΔEA增＝ΔEB减求解
由题意得mAgh＋mAv2＝mBgh－mBv2
得v＝2 m/s.
(2)当B着地后，A以2 m/s的速度竖直上抛
由机械能守恒定律得mAgh′＝mAv2
则A上升的高度h′＝＝ m＝0.2 m.
[答案] (1)2 m/s (2)0.2 m
无论是接触连接体、轻绳连接体还是轻杆连接体问题，在运用机械能守恒定律列方程时，应注意两个关系： (1)距离关系．也就是相互连接的两物体发生的位移关系．当一个物体上升另一个物体下降时，上升的竖直距离和下降的竖直距离不一定相等，一定要根据几何关系找出它们之间的距离关系．
(2)速度关系．也就是两物体间的速度大小关系．若是通过轻杆或轻绳连接的连接体，则它们沿着杆或绳子方向上的速度大小相等，根据这种速度关系找出它们之间的速度大小关系；通过轻杆连接的连接体，往往都是共轴，相同时间内转过的角度相等．
[随堂达标][学生用书P63]
1．如图所示实例中均不考虑空气阻力，系统机械能守恒的是( )
解析：选D.人上楼、跳绳过程中机械能不守恒，从能量转化角度看都要消耗人体的化学能，从做功角度看，上楼时除人所受重力做功外，楼梯对人的支持力也做功，人匀速上楼时，机械能增加；跳绳时，人落地跳起时，地面支持力对人做功，故A、B两项机械能不守恒；水滴石穿，水滴的机械能减少的部分转变为内能；弓箭射出过程中是弹性势能与动能、重力势能的相互转化，只有重力和弹力做功，机械能守恒．
2.如图所示，一小孩从公园中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其机械能的变化情况是( )
A．重力势能减小，动能不变，机械能减小
B．重力势能减小，动能增加，机械能减小
C．重力势能减小，动能增加，机械能增加
D．重力势能减小，动能增加，机械能守恒
解析：选B.小孩从粗糙的滑梯上自由加速滑下，由于摩擦力做了负功，小孩的机械能减小，但由于小孩加速下滑，说明小孩的运动速度增加，则其动能增加，又因小孩的高度降低，则其重力势能减小，则选项B正确，其他选项均错误．
如图所示，在距地面h高处以初速度v0沿水平方向抛出一个物体，不计空气阻力，物体在下落过程中，下列说法中正确的是( )
A．物体在c点比在a点具有的机械能大
B．物体在b点比在c点具有的动能大
C．物体在a、b、c三点具有的动能一样大
D．物体在a、b、c三点具有的机械能相等
解析：选D.小球在运动过程中，只受到重力作用，机械能守恒，在任何一个位置小球的机械能都是一样的，A错误，D正确；物体在下落过程中，重力势能转化为动能，Eka＜Ekb＜Ekc，B、C错误．
4.如图，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环(可视为质点)，从大环的最高处由静止滑下．重力加速度大小为g，当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为( )
A．Mg－5mg B．Mg＋mg
C．Mg＋5mg D．Mg＋10mg
解析：选C.设大环半径为R，质量为m的小环滑下过程中遵守机械能守恒定律，所以mv2＝mg·2R.小环滑到大环的最低点时的速度为v＝2，根据牛顿第二定律得FN－mg＝，所以在最低点时大环对小环的支持力FN＝mg＋＝5mg.根据牛顿第三定律知，小环对大环的压力F′N＝FN＝5mg，方向向下．对大环，据平衡条件，轻杆对大环的拉力T＝Mg＋F′N＝Mg＋5mg.根据牛顿第三定律，大环对轻杆拉力的大小为T′＝T＝Mg＋5mg，故选项C正确，选项A、B、D错误．
某人站在离地面h＝10 m高处的平台上以水平速度v0＝5 m/s 抛出一个质量m＝1 kg的小球，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：
(1)人对小球做了多少功？
(2)小球落地时的速度为多大？
解析：(1)人对小球做的功等于小球获得的初动能，由动能定理得：W＝mv＝×1×52 J＝12.5 J.
(2)小球下落过程中，只有重力做功，取地面为零势能面，由机械能守恒定律得：
mgh＋mv＝mv2
解得：v＝eq \r(v＋2gh)＝ m/s＝15 m/s.
答案：(1)12.5 J (2)15 m/s
[课时作业][学生用书P117(单独成册)]
一、单项选择题
1．如图所示，游乐场中一位小朋友沿滑梯从静止开始下滑，在此过程中他的机械能不守恒，其原因是( )
A．因为小朋友做加速运动，所以机械能不守恒
B．因为小朋友做曲线运动，所以机械能不守恒
C．因为小朋友受到了除重力以外的其他力作用，所以机械能不守恒
D．因为除重力做功外，其他力做功不为零，所以机械能不守恒
解析：选D.小朋友沿滑梯滑下过程中除了重力做功以外，摩擦阻力和空气阻力也对小朋友做了负功，因此，小朋友的机械能减少，而不守恒，选项D正确，其他选项均错误．
2．在物体自由下落过程中，下列说法正确的是( )
A．动能增大，势能减小，机械能增大
B．动能减小，势能增大，机械能不变
C．动能增大，势能减小，机械能不变
D．动能不变，势能减小，机械能减小
解析：选C.在自由下落过程中，只有重力做功，物体的机械能守恒，重力势能不断减小，动能不断增大，选项C正确．
如图所示，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，D中的斜面是粗糙的．图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动．在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )
解析：选C.机械能守恒的条件是只有重力或系统内弹力做功．在A、B图中木块受三个力作用，即重力、支持力和推力F，因有外力F做功，故不符合条件；D中因有摩擦力做功，故也不符合条件．因此只有C图符合守恒条件．
如图所示，竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，质量为m的小球，从轻弹簧的正上方某一高处自由落下，并将弹簧压缩，直到小球的速度变为零．对于小球、轻弹簧和地球组成的系统，在小球开始与弹簧接触时起到小球速度变为零的过程中( )
A．小球的动能和重力势能的总和越来越小，小球的动能和弹性势能的总和越来越大
B．小球的动能和重力势能的总和越来越小，小球的动能和弹性势能的总和越来越小
C．小球的动能和重力势能的总和越来越大，小球的动能和弹性势能的总和越来越大
D．小球的动能和重力势能的总和越来越大，小球的动能和弹性势能的总和越来越小
解析：选A.在小球开始与弹簧接触到小球速度变为零的过程中，只有重力和弹力做功，小球和弹簧组成的系统的机械能守恒，即动能、弹性势能和重力势能的总和不变，由于弹力一直做负功，弹性势能不断增大，故小球的动能和重力势能的总和越来越小，故C、D错；同理，由于重力一直做正功，重力势能不断减小，故小球的动能和弹性势能的总和越来越大，故A对、B错．
如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态．现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时，所受合力为零
D．圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变
解析：选B.圆环沿杆下滑的过程中，圆环与弹簧组成的系统动能、弹性势能、重力势能之和守恒，选项A、D错误；弹簧长度为2L时，圆环下落的高度h＝L，根据机械能守恒定律，弹簧的弹性势能增加了ΔEp＝mgh＝mgL，选项B正确；圆环释放后，圆环向下先做加速运动，后做减速运动，当速度最大时，合力为零，下滑到最大距离时，具有向上的加速度，合力不为零，选项C错误．
将物体从地面竖直上抛，如果不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H.当物体在上升过程中的某一位置，它的动能是重力势能的3倍，则这一位置的高度是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.物体在运动过程中机械能守恒，设动能是重力势能的3倍时的高度为h，取地面为零势能面，则有mgH＝Ek＋mgh，即mgH＝4mgh，解得：h＝，故D正确．
某跳高运动员的身高为1.89 m，在一次训练中起跳后身体横着越过了2.14 m的横杆，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度接近(设人的重心在身高一半处，取g＝10 m/s2)( )
A．2 m/s B．5 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
解析：选B.可认为跨杆时刻，该运动员速度为零．由机械能守恒定律得：mgh＝，h为重心上升的高度，解得速度约为：v≈4.89 m/s，接近5 m/s，故选B.
二、多项选择题
关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法中正确的是( )
A．只有重力和系统内弹力作用时，机械能守恒
B．除重力或系统内弹力外有其他力作用时，只要合外力为零，机械能守恒
C．除重力或系统内弹力外有其他力作用时，只要其他力的合力的功为零，机械能守恒
D．炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒
解析：选AC.系统只有重力或系统内弹力作用时，没有其他力做功，机械能一定守恒，A对；合外力为零，则合外力做的功为零，动能不变，但势能不一定不变，故机械能可能变化，B错；除重力或系统内弹力外，其他力做的总功为零，相当于只有重力或系统内弹力做功，机械能一定守恒，C对；爆炸瞬间炸药的化学能转化为炮弹的动能，炮弹的动能增加，机械能增加，D错．
如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有( )
A．N小于滑块重力 B．N大于滑块重力
C．N越大表明h越大 D．N越大表明h越小
解析：选BC.设滑块质量为m，在B点所受支持力为FN，圆弧半径为R，所需向心力为F.滑块从高度h处由静止下滑至B点过程中，由机械能守恒定律有mv＝mgh，在B点滑块所需向心力由合外力提供，得FN－mg＝meq \f(v,R).由牛顿第三定律知，传感器示数N等于FN，解得N＝mg＋，由此式知N＞mg且h越大，N越大．选项B、C正确．
10．一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，到最低点时距水面还有数米距离．假定空气阻力可忽略，运动员可视为质点，下列说法正确的是( )
A．运动员到达最低点前重力势能始终减小
B．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力先做正功后做负功，弹性势能先减小后增加
C．蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒
D．蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取无关
解析：选ACD.运动员在下落过程中，重力做正功，重力势能减小，故A正确．蹦极绳张紧后的下落过程中，弹力向上，位移向下，弹力做负功，弹性势能增加，故B错误．选取运动员、地球和蹦极绳为一系统，在蹦极过程中，只有重力和系统内弹力做功，这个系统的机械能守恒，故C正确．重力势能改变的表达式为ΔEp＝mgΔh，由于Δh是绝对的，与选取的重力势能参考零点无关，故D正确．
三、非选择题
轻弹簧k一端与墙相连，质量为4 kg的木块沿光滑水平面以5 m/s的速度运动，并压缩弹簧，求弹簧在被压缩的过程中最大弹性势能及木块速度减为3 m/s时的弹性势能．
解析：木块压缩弹簧的过程中，只有弹力做功，木块的动能与弹簧的弹性势能之和守恒．从开始压缩至木块速度为零，根据机械能守恒mv＝Ep
可得：Ep＝50 J
从开始压缩至木块速度为3 m/s，根据机械能守恒mv－mv2＝E′p
可得E′p＝32 J.
答案：50 J 32 J
如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边光滑的定滑轮与质量为2m的砝码相连，把绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离时砝码未落地，木块仍在桌面上，求此时砝码的速度以及轻绳对砝码做的功．
解析：砝码从静止开始下降h的过程中，两物体组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律，系统减少的重力势能等于系统增加的动能，则：
2mgh＝mv2＋·2mv2
解得：v＝
设轻绳对砝码做功为W，对砝码由动能定理得
2mgh＋W＝·2mv2－0
解得：W＝－mgh.
答案： －mgh
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