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第一章 抛体运动
第一章 抛体运动
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典题分类·讲练结合
分类讲解·举一反三平抛规律的应用
(多选)小球从O点水平抛出，建立如图所示的坐标系．x轴上OA＝AB＝BC，y轴沿竖直方向，从A、B、C三点作y轴的平行线，与小球运动轨迹交于M、N、P三点，那么下列比值中正确的是( )
A．小球在这三点的水平速度之比v1x∶v2x∶v3x＝1∶1∶1
B．小球在OM、MN、NP三段轨迹上运动的时间之比t1∶t2∶t3＝1∶2∶3
C．小球在这三点的竖直分速度之比v1y∶v2y∶v3y＝1∶2∶3
D．AM∶BN∶CP＝1∶4∶9
解析：选ACD.因为平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，由题意知OA＝AB＝BC，故小球在OM、MN、NP三段轨迹上运动的时间相等，故A正确，B错误；由于t1＝t2＝t3，又由vy＝gt知v1y＝gt，v2y＝2gt，v3y＝3gt，所以v1y∶v2y∶v3y＝1∶2∶3，故C正确；由于AM、BN、CP为竖直分位移，由y＝gt2知D正确．
如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°.在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为( )
A．1∶1 B．4∶3
C．16∶9 D．9∶16
解析：选D.由平抛运动的位移规律得
，而tan α＝，则t＝，
所以有＝＝，故D正确．
飞机以150 m/s的水平速度匀速飞行，某时刻让A球落下，相隔1 s又让B球落下，不计空气阻力．在以后的运动中，关于A球与B球的相对位置关系，正确的是(取g＝10 m/s2)( )
A．A球在B球前下方
B．A球在B球后下方
C．A球在B球正下方5 m处
D．A球在B球的正下方，距离随时间增加而增加
解析：选D.A、B球离开飞机后都做平抛运动，它们在水平方向与飞机的运动同步，即在空中A、B一定在飞机的正下方，B球落下t秒时A、B相距Δh＝g(t＋1)2－gt2＝g(2t＋1)，即A、B球间的距离随时间增加而增加，D项正确．
如图所示，我国某集团军在一次空地联合军事演习中，离地面H高处的飞机以水平对地速度v1发射一颗炸弹欲轰炸地面目标P，地面拦截系统同时以初速度v2竖直向上发射一颗炮弹拦截(炮弹运动过程看作竖直上抛)，设此时拦截系统与飞机的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2
C．v1＝ v2 D．v1＝v2
解析：选C.假设经过时间t拦截炮弹与平抛的炸弹在空中某点相遇，则对于平抛运动的炸弹，s＝v1t，飞行的高度h1＝gt2；对于竖直上抛的拦截炮弹，飞行高度h2＝v2t－gt2.两者相遇时有h1＋h2＝H，即v2t＝H，而t＝，所以v1＝ v2，C正确．
某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间．忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，球在墙面上反弹点的高度范围是( )
A．0.8 m至1.8 m B．0.8 m至1.6 m
C．1.0 m至1.6 m D．1.0 m至1.8 m
解析：选A.设球从反弹到落地的时间为t，球在墙面上反弹点的高度为h.球反弹后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动．故 s≤t≤ s，且h＝gt2，所以0.8 m≤h≤1.8 m，故选项A正确，B、C、D错误．
(多选)有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时的速度为v，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为( )
A. B.
C. eq \r(\f(v2－v,g)) D.
解析：选AD.由l＝v0t得物体在空中飞行的时间为，故A正确；由h＝gt2，得t＝，故B错误；由vy＝eq \r(v2－v)以及vy＝gt，得t＝eq \f(\r(v2－v),g)，故C错误；由于竖直方向为初速度为0的匀变速直线运动，故h＝·t，所以t＝，故D正确．
小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上.求：
(1)小球在空中的飞行时间．
(2)抛出点距落点的高度．
解析：将小球垂直撞在斜面上的速度分解，如图所示．由几何关系知
β＝90°－37°＝53°.
(1)由图得tan β＝＝
得飞行时间t＝tan β＝2 s.
(2)高度h＝gt2＝×10×22 m＝20 m.
答案：(1)2 s (2)20 m
如图所示，飞机离地面高度为H＝500 m，飞机的水平飞行速度为v1＝100 m/s，追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？不考虑空气阻力，g取10 m/s2.
解析：炸弹投出后以与飞机相同的速度v1做平抛运动，设历时t击中汽车，则有H＝gt2
解得t＝＝ s＝10 s
在t时间内，飞机的水平位移s1＝v1t＝100×10 m＝1 000 m.
而汽车的水平位移s2＝v2t＝20×10 m＝200 m.
为满足题意飞机投弹处与汽车间的水平距离应为：
s＝s1－s2＝800 m.
答案：800 m
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- 3 -习题课 平抛规律的应用
平抛运动的规律是近几年高考的热点．平抛运动问题的分析方法就是运动的合成与分解，即把平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．其解题方法如下：
1．分析物体在水平方向和竖直方向上的运动情况．
确定运动时间，时间是联系分运动和合运动的桥梁，根据运动的等时性和矢量关系列式求解．
研究竖直方向的运动时，要灵活运用自由落体运动的规律和推论．
2014年瑞士女排精英赛在5月27日～6月1日举行，欧洲新贵德国女排一路过关斩将，夺得该队历史上首个瑞士精英赛冠军．比赛时，某运动员进行了一次跳发球，若击球点恰在发球处底线上方3.04 m高处，击球后排球以25.0 m/s的速度水平飞出，球的初速度方向与底线垂直，排球场的有关尺寸如图所示，试计算说明：
(1)此球能否过网？
(2)球是落在对方界内，还是界外？(不计空气阻力，g取10 m/s2)
[思路点拨] 解答本题要把握以下两点：
(1)判断能否过网可以比较下落至网高时水平位移与“9 m”的关系，也可以比较经过9 m水平距离时离地高度与网高的关系．
(2)判断界内还是界外，其实质是看落地时水平位移是小于18 m，还是大于18 m.
[解析] (1)当排球在竖直方向上下落Δh＝(3.04－2.24) m时，时间t1满足Δh＝gt，s＝v0t1.解以上两式得s＝10 m>9 m，故此球能过网．
(2)当排球落地时h＝gt，s′＝v0t2.
将h＝3.04 m代入得s′＝19.5 m>18 m，故排球越界．
[答案] (1)能过网 (2)界外
用学过的物理知识分析生活中的一些现象，要学会将其模型化，也就是注意培养自己的建模能力，如本题中的排球运动，其实质就是我们比较熟悉的平抛运动模型．
2014年在俄罗斯举行的索契冬奥会上新增加了女子跳台滑雪等6个项目．如图所示，运动员踏着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上(未画出)获得一速度后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆．设一位运动员由斜坡顶的A点沿水平方向飞出的速度v0＝20 m/s，落点在斜坡上的B点，斜坡倾角θ取37°，斜坡可以看成一斜面．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)求：
(1)运动员在空中飞行的时间t.
(2)A、B点间的距离l.
[思路点拨] 解答本题要把握以下两点：
(1)处理平抛运动问题，通常在水平方向和竖直方向对运动进行分解．
(2)充分利用直角关系和边角关系是处理平抛运动问题常用的技巧．
[解析] (1)运动员由A点到B点做平抛运动，水平方向的位移x＝v0t
竖直方向的位移y＝gt2又＝tan 37°
联立以上三式得t＝＝3 s.
(2)由题图知sin 37°＝＝
得A、B点间的距离l＝＝75 m.
[答案] (1)3 s (2)75 m
物体从斜面上水平抛出后，又落到斜面上，分析此类问题时，应注意挖掘和充分利用一重要几何关系——tan α＝，其中α为位移与水平方向的夹角，而不是速度偏角！
如图所示，装甲车在水平地面上以速度v0＝20 m/s沿直线前进，车上机枪的枪管水平，距地面高为h＝1.8 m．在车正前方竖直立一块高为两米的长方形靶，其底边与地面接触．枪口与靶距离为L时，机枪手正对靶射出第一发子弹，子弹相对于枪口的初速度为v＝800 m/s.在子弹射
出的同时，装甲车开始匀减速运动，行进s＝90 m后停下．装甲车停下后，机枪手以相同方式射出第二发子弹．(不计空气阻力，子弹看成质点，重力加速度g＝10 m/s2)
(1)求装甲车匀减速运动时的加速度大小；
(2)当L＝410 m时，求第一发子弹的弹孔离地的高度，并计算靶上两个弹孔之间的距离；
(3)若靶上只有一个弹孔，求L的范围．
[解析] (1)装甲车的加速度a＝eq \f(v,2s)＝ m/s2.
(2)第一发子弹飞行时间t1＝＝0.5 s
弹孔离地高度h1＝h－gt＝0.55 m
第二个弹孔离地的高度h2＝h－g＝1.0 m
两弹孔之间的距离Δh＝h2－h1＝0.45 m.
(3)若第一发子弹打到靶的下沿，装甲车枪口离靶的距离为L1＝(v0＋v)＝492 m
若第二发子弹打到靶的下沿，装甲车枪口离靶的距离为
L2＝v＋s＝570 m
L的范围为492 m[答案] (1) m/s2 (2)0.55 m 0.45 m
(3)492 m(多选)小球从O点水平抛出，建立如图所示的坐标系．x轴上OA＝AB＝BC，y轴沿竖直方向，从A、B、C三点作y轴的平行线，与小球运动轨迹交于M、N、P三点，那么下列比值中正确的是( )
A．小球在这三点的水平速度之比v1x∶v2x∶v3x＝1∶1∶1
B．小球在OM、MN、NP三段轨迹上运动的时间之比t1∶t2∶t3＝1∶2∶3
C．小球在这三点的竖直分速度之比v1y∶v2y∶v3y＝1∶2∶3
D．AM∶BN∶CP＝1∶4∶9
解析：选ACD.因为平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，由题意知OA＝AB＝BC，故小球在OM、MN、NP三段轨迹上运动的时间相等，故A正确，B错误；由于t1＝t2＝t3，又由vy＝gt知v1y＝gt，v2y＝2gt，v3y＝3gt，所以v1y∶v2y∶v3y＝1∶2∶3，故C正确；由于AM、BN、CP为竖直分位移，由y＝gt2知D正确．
如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°.在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为( )
A．1∶1 B．4∶3
C．16∶9 D．9∶16
解析：选D.由平抛运动的位移规律得
，而tan α＝，则t＝，
所以有＝＝，故D正确．
飞机以150 m/s的水平速度匀速飞行，某时刻让A球落下，相隔1 s又让B球落下，不计空气阻力．在以后的运动中，关于A球与B球的相对位置关系，正确的是(取g＝10 m/s2)( )
A．A球在B球前下方
B．A球在B球后下方
C．A球在B球正下方5 m处
D．A球在B球的正下方，距离随时间增加而增加
解析：选D.A、B球离开飞机后都做平抛运动，它们在水平方向与飞机的运动同步，即在空中A、B一定在飞机的正下方，B球落下t秒时A、B相距Δh＝g(t＋1)2－gt2＝g(2t＋1)，即A、B球间的距离随时间增加而增加，D项正确．
如图所示，我国某集团军在一次空地联合军事演习中，离地面H高处的飞机以水平对地速度v1发射一颗炸弹欲轰炸地面目标P，地面拦截系统同时以初速度v2竖直向上发射一颗炮弹拦截(炮弹运动过程看作竖直上抛)，设此时拦截系统与飞机的水平距离为s，若拦截成功，不计空气阻力，则v1、v2的关系应满足( )
A．v1＝v2 B．v1＝v2
C．v1＝ v2 D．v1＝v2
解析：选C.假设经过时间t拦截炮弹与平抛的炸弹在空中某点相遇，则对于平抛运动的炸弹，s＝v1t，飞行的高度h1＝gt2；对于竖直上抛的拦截炮弹，飞行高度h2＝v2t－gt2.两者相遇时有h1＋h2＝H，即v2t＝H，而t＝，所以v1＝ v2，C正确．
某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间．忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，球在墙面上反弹点的高度范围是( )
A．0.8 m至1.8 m B．0.8 m至1.6 m
C．1.0 m至1.6 m D．1.0 m至1.8 m
解析：选A.设球从反弹到落地的时间为t，球在墙面上反弹点的高度为h.球反弹后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动．故 s≤t≤ s，且h＝gt2，所以0.8 m≤h≤1.8 m，故选项A正确，B、C、D错误．
(多选)有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时的速度为v，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为( )
A. B.
C. eq \r(\f(v2－v,g)) D.
解析：选AD.由l＝v0t得物体在空中飞行的时间为，故A正确；由h＝gt2，得t＝，故B错误；由vy＝eq \r(v2－v)以及vy＝gt，得t＝eq \f(\r(v2－v),g)，故C错误；由于竖直方向为初速度为0的匀变速直线运动，故h＝·t，所以t＝，故D正确．
小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上.
求：
(1)小球在空中的飞行时间．
(2)抛出点距落点的高度．
解析：将小球垂直撞在斜面上的速度分解，如图所示．由几何关系知
β＝90°－37°＝53°.
(1)由图得tan β＝＝
得飞行时间t＝tan β＝2 s.
(2)高度h＝gt2＝×10×22 m＝20 m.
答案：(1)2 s (2)20 m
如图所示，飞机离地面高度为H＝500 m，飞机的水平飞行速度为v1＝100 m/s，追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？不考虑空气阻力，g取10 m/s2.
解析：炸弹投出后以与飞机相同的速度v1做平抛运动，设历时t击中汽车，则有H＝gt2
解得t＝＝ s＝10 s
在t时间内，飞机的水平位移s1＝v1t＝100×10 m＝1 000 m.
而汽车的水平位移s2＝v2t＝20×10 m＝200 m.
为满足题意飞机投弹处与汽车间的水平距离应为：
s＝s1－s2＝800 m.
答案：800 m
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