湘教版七年级下册数学课件 3．1 多项式的因式分解课件 （共22张PPT）
文档属性
| 名称 | 湘教版七年级下册数学课件 3．1 多项式的因式分解课件 （共22张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 5.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-25 10:50:50 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
第3章 因式分解
3.1 多项式的因式分解
湘教版 七年级下册
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念;
2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
利用平方差公式，把方程的左边 写成(x+1)(x－1)， 就得到方程
把 写成 (x+1)(x－1)，叫作把 因式分解．
(x+1)(x－1)＝0
这样就可以求出解了．
你会解方程 吗?
多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁．
情境引入
（1）21 等于3乘哪个整数？
21＝3×7
（2）x2－1等于x+1乘哪个多项式？
对于多项式 ，有多项式x－1使得 ，我们把x+1叫作x2－1的一个
因式，同理，x－1也是 x2－1 的一个因式．
对于整数21与3，有整数7使得 21＝3×7，我们把3叫作21的一个因数．同理，7也是21的一个因数．
自主预习
一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我们把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式．
在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式．
把 写成 的形式，叫作把 的因式分解
一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．
为什么要把一个多项式因式分解呢？
归 纳 小 结
3x(x-1)= __,
3x2 - 3x
3x2-3x=_________
3x(x-1)
整式的积
多项式
多项式
整式的积
整式乘法
因式分解
因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解与整式乘法是互逆 过程
例1.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
解（1）：是.
解（2）：不是.
典例分析
典例精析
例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明为什么？
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式，
是整式乘法
每个因式必须是整式
万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因此， 砖是基本建筑块之一.
在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式．
①
②
有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为
进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得
例如
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
1. 求4，6，14 的最大公因数.
最大公因数是2.
2. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
（1）
（2）
解 是. 把多项式2x2y+4xy2 表示成了多项式 2xy与x+2y 的积的形式.
解 不是. 因为是整式乘法的过程而不是几个多项式的积的形式.
（3）
（4）
解 不是.因为从左边到右边是整式乘法的过程而不是把多项式表示成几个多项式的积的形式.
解 是. 是把多项式4a2-4a+1表示成了多项式2a-1的平方的形式.
1.试一试:判断下列各式是不是因式分解
1.
4.
2.
3.
因式分解:
一个多项式
几个整式的乘积
随堂演练
下列各式从左边到右边的变形是因式分解的用Yes，否则用No。
（１）
（２）
（３）
（４）
（５）
（６）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
Yes
No
No
No
Yes
No
2.判一判
3、比较下面的两个等式，然后回答后面的问题：
A、
B、
（1）、从左到右看，A式是________,B式是_______
（2）、_______是把几个整式的积展开成一个多项式
（3）、_______是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式
（4）、整式乘法和因式分解都是_____变形，但变形的过程正好_______。
整式乘法
整式乘法
因式分解
因式分解
恒等
互逆
3、下列各式从左边到右边是因式分解的个数有（ ）个.
① x2-x=x(x-1) ② a(a-b)=a2-ab ③ (a+3)(a-3)=a2-9
④ a2-2a+1=a(a-2)+1 ⑤ x2-4x+4=(x-2)2
A 1 B 2 C 3 D 4
4、下列各式从左到右变形正确的是（ ）.
A -a+b=-(a+b) B (x-y)2= -（y-x)2
C (a-b)3=(b-a)3 D (m-1)(n-2)=(1-m)(2-n)
B
D
例2 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），求a，b的值.
解：因为x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3）
=ax2+ax-6a.
所以a=1，b=﹣6a=﹣6，
典例精析
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.
5. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，
求mn的值.
解：因为x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4，
所以可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，
则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.
所以mn=﹣5×20=﹣100．
6. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.
解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，
其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
所以a=6，
同理，乙看错了a，但b是正确的，
分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
所以b=9，
因此a+b=15．
学有所思，感悟收获
谈谈你的收获
能说出你这节课的收获和体验
让大家与你分享吗？
谢谢，请提出宝贵意见！
第3章 因式分解
3.1 多项式的因式分解
湘教版 七年级下册
学习目标
1.理解因式分解的意义和概念;
2.掌握因式分解与整式乘法的区别和联系.（重点）
利用平方差公式，把方程的左边 写成(x+1)(x－1)， 就得到方程
把 写成 (x+1)(x－1)，叫作把 因式分解．
(x+1)(x－1)＝0
这样就可以求出解了．
你会解方程 吗?
多项式的因式分解为解决许多问题架起了桥梁．
情境引入
（1）21 等于3乘哪个整数？
21＝3×7
（2）x2－1等于x+1乘哪个多项式？
对于多项式 ，有多项式x－1使得 ，我们把x+1叫作x2－1的一个
因式，同理，x－1也是 x2－1 的一个因式．
对于整数21与3，有整数7使得 21＝3×7，我们把3叫作21的一个因数．同理，7也是21的一个因数．
自主预习
一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f = gh ，那么我们把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式．
在现代数学文献中，把单项式看成是只有一项的多项式．
把 写成 的形式，叫作把 的因式分解
一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．
为什么要把一个多项式因式分解呢？
归 纳 小 结
3x(x-1)= __,
3x2 - 3x
3x2-3x=_________
3x(x-1)
整式的积
多项式
多项式
整式的积
整式乘法
因式分解
因式分解与整式乘法有什么关系？
因式分解与整式乘法是互逆 过程
例1.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
解（1）：是.
解（2）：不是.
典例分析
典例精析
例1 下列从左到右的变形中是因式分解的有( )
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 ，不是的，请说明为什么？
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是积的运算
因式分解的对象是多项式，
是整式乘法
每个因式必须是整式
万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因此， 砖是基本建筑块之一.
在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在正整数集中，像2，3，5，7，11，13，17，…这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式．
①
②
有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为
进而很容易把分数 约分：分子与分母同除以6，得
例如
同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．
1. 求4，6，14 的最大公因数.
最大公因数是2.
2. 下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？
（1）
（2）
解 是. 把多项式2x2y+4xy2 表示成了多项式 2xy与x+2y 的积的形式.
解 不是. 因为是整式乘法的过程而不是几个多项式的积的形式.
（3）
（4）
解 不是.因为从左边到右边是整式乘法的过程而不是把多项式表示成几个多项式的积的形式.
解 是. 是把多项式4a2-4a+1表示成了多项式2a-1的平方的形式.
1.试一试:判断下列各式是不是因式分解
1.
4.
2.
3.
因式分解:
一个多项式
几个整式的乘积
随堂演练
下列各式从左边到右边的变形是因式分解的用Yes，否则用No。
（１）
（２）
（３）
（４）
（５）
（６）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
Yes
No
No
No
Yes
No
2.判一判
3、比较下面的两个等式，然后回答后面的问题：
A、
B、
（1）、从左到右看，A式是________,B式是_______
（2）、_______是把几个整式的积展开成一个多项式
（3）、_______是把一个多项式化成几个整式的乘积的形式
（4）、整式乘法和因式分解都是_____变形，但变形的过程正好_______。
整式乘法
整式乘法
因式分解
因式分解
恒等
互逆
3、下列各式从左边到右边是因式分解的个数有（ ）个.
① x2-x=x(x-1) ② a(a-b)=a2-ab ③ (a+3)(a-3)=a2-9
④ a2-2a+1=a(a-2)+1 ⑤ x2-4x+4=(x-2)2
A 1 B 2 C 3 D 4
4、下列各式从左到右变形正确的是（ ）.
A -a+b=-(a+b) B (x-y)2= -（y-x)2
C (a-b)3=(b-a)3 D (m-1)(n-2)=(1-m)(2-n)
B
D
例2 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a（x﹣2）（x+3），求a，b的值.
解：因为x2+ax+b=a（x﹣2）（x+3）
=ax2+ax-6a.
所以a=1，b=﹣6a=﹣6，
典例精析
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果乘开，再与多项式的各项系数对应比较即可.
5. 若多项式x4+mx3+nx﹣16含有因式(x﹣2)和(x﹣1)，
求mn的值.
解：因为x4+mx3+nx﹣16的最高次数是4，
所以可设x4+mx3+nx﹣16=(x-1)(x-2)(x2+ax+b)，
则x4+mx3+nx-16=x4+(a-3)x3+(b-3a+2)x2+(2a-3b)x+2b
比较系数得 2b=-16，b-3a+2=0，a-3=m，2a-3b=n
解得a=-2，b=-8，m=-5，n=20.
所以mn=﹣5×20=﹣100．
6. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1）(x+9)，求a+b的值.
解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，
其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
所以a=6，
同理，乙看错了a，但b是正确的，
分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
所以b=9，
因此a+b=15．
学有所思，感悟收获
谈谈你的收获
能说出你这节课的收获和体验
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