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8.3实际问题与二元一次方程组同步训练（学生版）
一、单选题
1．（2020·吉林省第二实验学校初三月考）《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有人，买鸡的钱数为，依题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·河北省初一月考）某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，列二元一次方程组得（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·唐山市第十二中学初一期中）已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是（?? ）
A． B． C． D．
4．（2020·北京人大附中初三月考）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有人，物品价格为钱，可列方程组为
A． B． C． D．
5．（2018·绍兴市元培中学初一期中）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A． B． C． D．
6．（2020·山东省烟台第十中学初一期中）如图，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．40cm2 B．128cm2 C．280cm2 D．140cm2
7．（2019·黑龙江省初三三模）小华准备购买单价分别为4元和5元的两种拼装饮料，若小华将50元恰好用完，两种饮料都买，则购买方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
8．（2019·河南省初一期中）某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．小明原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱还少240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．每盒圆形礼盒比每盒方形礼盒多（ ）
A．90元 B．140元 C．100元 D．120元
9．（2020·隆化县第二中学初一期中）有黑、白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如图所示的两次称量中，天平恰好平衡，如果每只砝码质量为5克，那么一只黑球和一只白球的质量和是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
10．（2020·隆化县第二中学初一期中）某校七年级1班学生为了参加学校文化评比买了22张彩色的卡纸制作如下图形（每个图形由两个三角形和一个圆形组成），已知一张彩色卡纸可以剪5个三角形，或3个圆形，要使圆形和三角形正好配套，需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，可列式为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2020·北京市海淀外国语实验学校初三其他）某校初三年级240名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：
车型 大巴车（最多可坐 55人） 中巴车（最多可坐 40人） 小巴车（最多可坐 25人）
每车租金（元∕天） 1050 800 550
则租车一天的最低费用为_____元．
12．（2020·内蒙古自治区初三月考）用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共______块．
13．（2020·富顺第三中学校初三一模）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为____________．
14．（2019·吉林省初三一模）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载:“今有牛五、羊二，直金十两;牛二、羊五,直金八两问牛，羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛,2只羊，值金10两;2头牛,5只羊，值金8两.问每头牛、每只羊各值金多少两?”若设每头牛、每只羊分别值金两、两，根据题意，则可列方程组为__________
15．（2018·河南省初一期末）李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需_______分钟．
16．（2020·江阴初级中学初一期中）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是________________________
17．（2019·福建省福州第十六中学初一期中）若关于x，y的方程组的解满足x＞y，p的取值范围为_____．
三、解答题
18．（2020·河南省初三一模）《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》于2019年12月起施行，某社区要投放两种垃圾桶，负责人小李调查发现：
购买数量少于个 购买数量不少于个
原价销售 以原价的折销售
原价销售 以原价的折销售
若购买种垃圾桶个，种垃圾桶个，则共需要付款元；若购买种垃圾桶个，种垃圾桶个，则共需付款元．
（1）求两种垃圾桶的单价各为多少元？
（2）若需要购买两种垃圾桶共个，且种垃圾桶不多于种垃圾桶数量的，如何购买使花费最少？最少费用为多少元？请说明理由．
19．（2019·安徽省初三一模）我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有﹣一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差都相等，且最上面三节的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差．
请解答上述问题．
20．（2020·唐山市第十二中学初一期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！求每个长方形的长、宽.
21．（2020·德州市第十五中学初三期中）德州市正处在创建国家卫生城市的关键时期，但总有市民随手丢垃圾的情况出现．为提高市民的环保意识，我市青年志愿者协会组织50人的青年志愿者团队，在周末前往某森林公园捡垃圾．已知平均每分钟男生可以捡3件垃圾，女生可以捡2件垃圾，且该团队平均每分钟可以捡120件垃圾．请问该团队的男生和女生各多少人？
22．（2019·江苏省初三其他）某单位需采购一批商品,购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元,而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．
求甲、乙商品每件各多少元？
本次计划采购甲、乙商品共30件,计划资金不超过460元,
最多可采购甲商品多少件？
若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的,请给出所有购买方案,并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．
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8.3实际问题与二元一次方程组同步训练（教师版）
一、单选题
1．（2020·吉林省第二实验学校初三月考）《九章算术》中记载一问题如下：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数、物价各多少？设有人，买鸡的钱数为，依题意可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
一方面买鸡的钱数=8人出的总钱数－3钱，另一方面买鸡的钱数=7人出的总钱数+4钱，据此即可列出方程组.
【详解】
解：设有人，买鸡的钱数为，根据题意，得：.
【点睛】
本题考查的是二元一次方程组的应用，正确理解题意、根据买鸡的总钱数不变列出方程组是解题关键.
2．（2020·河北省初一月考）某小区准备新建 50 个停车位，已知新建 1 个地上停车位和 1 个地下停车位共需 0.6万元；新建 3 个地上停车位和 2 个地下停车位共需 1.3 万元，求该小区新建 1 个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？设新建 1 个地上停车位需要 x 万元，新建 1 个地下停车位需 y 万元，列二元一次方程组得（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据“新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元”以及“新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元”分别列出等式，由此进一步即可得出相应的方程组.
【详解】
由题意得：新建1个地上停车位需要x万元，新建1个地下停车位需y万元，
∵新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元，
∴，
又∵新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元，
∴，
∴可列方程组为：，
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据题意正确找出相应的等量关系是解题关键.
3．（2020·唐山市第十二中学初一期中）已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是（?? ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题解析：∠A比∠B大30°，
则有x=y+30，
∠A，∠B互余，
则有x+y=90．
故选D．
4．（2020·北京人大附中初三月考）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有人，物品价格为钱，可列方程组为
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
设有x人，物品价值y钱，根据题意相等关系：（1）8×人数-3=物品价值；（2）7×人数+4=物品价值，据此可列方程组．
【详解】
解：设有人，物品价格为钱，根据题意：
故选C．
【点睛】
此题主要考查列方程组解应用题，找出题目中的等量关系，列出相应的方程组是解题的关键．
5．（2018·绍兴市元培中学初一期中）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】
设索长为x尺，竿子长为y尺，
根据题意得：．
故选A．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2020·山东省烟台第十中学初一期中）如图，周长为68cm的长方形ABCD被分成7个形状大小完全相同的小长方形，则长方形ABCD的面积为（ ）
A．40cm2 B．128cm2 C．280cm2 D．140cm2
【答案】C
【分析】
根据2x=5y结合长方形的周长为68cm，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再利用长方形的面积公式即可求出长方形ABCD的面积．
【详解】
解：根据题意：有
，
解得：，
∴S=2x?（x+y）=2×10×（10+4）=280．
∴长方形ABCD的面积为280平方厘米．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：根据长方形的对边相等找出2x=5y；找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
7．（2019·黑龙江省初三三模）小华准备购买单价分别为4元和5元的两种拼装饮料，若小华将50元恰好用完，两种饮料都买，则购买方案共有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【答案】A
【分析】
利用二元一次方程的解法进而分别代入正整数求出即可．
【详解】
解：设购买单价为4元的饮料x瓶，购买单价为5元的饮料y瓶，
根据题意可得：4x＋5y＝50，
当x＝5，y＝6，
当x＝10，y＝2，
故符合题意的方案有2种．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
8．（2019·河南省初一期中）某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．小明原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱还少240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．每盒圆形礼盒比每盒方形礼盒多（ ）
A．90元 B．140元 C．100元 D．120元
【答案】D
【分析】
设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，根据无论如何购买小明身上的钱数不变的等量关系列出二元一次方程进行变形即可解答.
【详解】
解：设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒元，由题意得：
3x+7y-240=7x+3y+240，整理得y-x=120，
即购买一个圆形礼盒比一个盒方形礼盒多120元．
故选D．
【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，弄清题意，列出二元一次方程是解答本题的关键．
9．（2020·隆化县第二中学初一期中）有黑、白两种小球各若干个，且同色小球质量均相等，在如图所示的两次称量中，天平恰好平衡，如果每只砝码质量为5克，那么一只黑球和一只白球的质量和是（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】D
【分析】
设每只黑球和白球的质量分别是x、y克，根据图中信息和已知条件可以列出方程组 ，解方程组即可求出每只黑球和白球的质量．
【详解】
设每只黑球和白球的质量分别是x、y克，
依题意得，
解得 ，
3+1=4．
故选D.
【点睛】
此题考查二元一次方程组，解题关键在于从图中找出隐含条件，然后列出方程组解决问题．
10．（2020·隆化县第二中学初一期中）某校七年级1班学生为了参加学校文化评比买了22张彩色的卡纸制作如下图形（每个图形由两个三角形和一个圆形组成），已知一张彩色卡纸可以剪5个三角形，或3个圆形，要使圆形和三角形正好配套，需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，可列式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，根据彩色卡纸的总张数为22张其剪出三角形的数量为圆的2倍，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】
设需要剪三角形的卡纸有x张，剪圆形的卡纸有y张，
根据题意得：．
故选：A．
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二、填空题
11．（2020·北京市海淀外国语实验学校初三其他）某校初三年级240名师生参加社会实践活动，计划租车前往，租车收费标准如下：
车型 大巴车（最多可坐 55人） 中巴车（最多可坐 40人） 小巴车（最多可坐 25人）
每车租金（元∕天） 1050 800 550
则租车一天的最低费用为_____元．
【答案】4750
【分析】
根据题意，分别求出大巴车、中巴车和小巴车每个座位的费用，可知方案中要尽量多用大巴车，写出方案，比较即可得答案．
【详解】
大巴车每个座位的费用为：1050÷55≈19.1（元），
中巴车每个座位的费用为：800÷40=20（元），
小巴车每个座位的费用为：550÷25=22（元），
∴方案中要尽量多用大巴车，
方案一：用大巴车，需5辆，费用为5250元，
方案二：用大巴车4辆，小巴车一辆，费用为4750元，
方案三：用大巴车3辆，小巴车3辆，费用为4800元，
方案四：用大巴车3辆，中巴车2辆，费用为4750元，
方案五：用大巴车2辆，中巴车2辆，小巴车2辆，费用为4800元，
方案六：用大巴车1辆，中巴车4辆，小巴车1辆，费用为4800元，
∴租车一天的最低费用为4750元．
故答案为：4750
【点睛】
本题考查方案的选择，读懂题意，找出几种方案进行比较是解题关键．
12．（2020·内蒙古自治区初三月考）用1块A型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块B型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品；要生产甲种产品37件，乙种产品18件，则恰好需用A、B两种型号的钢板共______块．
【答案】11
【分析】
设需用型钢板块，型钢板块，根据“用1块型钢板可制成4件甲种产品和1件乙种产品；用1块型钢板可制成3件甲种产品和2件乙种产品”，可得出关于，的二元一次方程组，用可求出的值，此题得解．
【详解】
设需用型钢板块，型钢板块，
依题意，得：，
，得：.
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
13．（2020·富顺第三中学校初三一模）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为元，足球的单价为元，依题意，可列方程组为____________．
【答案】
【分析】
根据总费用列出一个方程，根据单价关系列出一个方程，联立方程即可.
【详解】
由题意得：4个篮球和5个足球共花费435元，可列方程：4x+5y=435，篮球的单价比足球的单价多3元，可列方程：x-y=3，联立得.
【点睛】
本题考查二元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键.
14．（2019·吉林省初三一模）《九章算术》是中国传统数学名著，其中记载:“今有牛五、羊二，直金十两;牛二、羊五,直金八两问牛，羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛,2只羊，值金10两;2头牛,5只羊，值金8两.问每头牛、每只羊各值金多少两?”若设每头牛、每只羊分别值金两、两，根据题意，则可列方程组为__________
【答案】
【分析】
根据“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛、5只羊，值金8两”，得到等量关系，即可列出方程组．
【详解】
根据题意得：，
故答案为．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解决本题的关键是找到题目中所存在的等量关系．
15．（2018·河南省初一期末）李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需_______分钟．
【答案】40．
【详解】
设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟，
依题意得：，
由①+②，得：7x+14y=140，
所以x+2y=20，则2x+4y=40，
所以李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟．
故答案为40．
考点：二元一次方程组的应用．
16．（2020·江阴初级中学初一期中）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托.折回索子却量竿，却比竿子短一托.”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺.设绳索长尺，竿长尺，则符合题意的方程组是________________________
【答案】
【分析】
设绳索长为x尺，竿子长为y尺，根据“索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托”，即可得出关于x、y的二元一次方程组．
【详解】
解：根据题意得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．（2019·福建省福州第十六中学初一期中）若关于x，y的方程组的解满足x＞y，p的取值范围为_____．
【答案】p＜﹣7
【分析】
先利用加减法解方程组得到，再利用x＞y得到-p-8＞p+6，然后解关于p的一元一次不等式即可．
【详解】
解方程组得，
∵x＞y，
∴﹣p﹣8＞p+6，
∴﹣p﹣p＞6+8，
﹣2p＞14，
∴p＜﹣7．
故答案为p＜﹣7．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了解二元一次方程组．
三、解答题
18．（2020·河南省初三一模）《郑州市城市生活垃圾分类管理办法》于2019年12月起施行，某社区要投放两种垃圾桶，负责人小李调查发现：
购买数量少于个 购买数量不少于个
原价销售 以原价的折销售
原价销售 以原价的折销售
若购买种垃圾桶个，种垃圾桶个，则共需要付款元；若购买种垃圾桶个，种垃圾桶个，则共需付款元．
（1）求两种垃圾桶的单价各为多少元？
（2）若需要购买两种垃圾桶共个，且种垃圾桶不多于种垃圾桶数量的，如何购买使花费最少？最少费用为多少元？请说明理由．
【答案】（1）A、B两种垃圾桶的单价分别为50元、30元；（2）购买A种垃圾桶150个，B种垃圾桶50个，花费最少，最少费用为7125元，见解析
【分析】
(1)设A种垃圾桶的单价为x元，B种垃圾桶的单价为y元，根据“购买A种垃圾桶80个，B种垃圾桶120个，则共需付款6880元；若购买A种垃圾桶100个，B种垃圾桶100个，则共需付款6150元”列出方程组并解答即可得到答案；
(2)设购买A种垃圾桶为a个，则购买B种垃圾桶为（200-a）个，根据“B种垃圾桶不多于A种垃圾桶数量的，列出不等式并求得a的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可得到答案．
【详解】
解：（1）设A、B两种垃圾桶的单价分别为元、元，由题意可得：
解之得：．
答： A、B两种垃圾桶的单价分别为50元、30元；
(2)设购买A种垃圾桶个，则购买B种垃圾桶个，由题意可得：
≤，
解得：≥150，
设购买的总费用为元，则有：
，
∵，
∴W随的增大而增大
∴当时，W最小
（元）
（个）
答：购买A种垃圾桶150个，B种垃圾桶50个，花费最少，最少费用为7125元
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
19．（2019·安徽省初三一模）我国古代的优秀数学著作《九章算术》有一道“竹九节”问题，大意是说：现有﹣一根上细下粗共九节的竹子，自上而下从第2节开始，每一节与前一节的容积之差都相等，且最上面三节的容积共9升，最下面三节的容积共45升，求第五节的容积，及每一节与前一节的容积之差．
请解答上述问题．
【答案】第五节的容积9升，每一节与前一节的容积之差2升．
【分析】
从题目中可知，第2节开始相邻两节的容积差相等设为y，第5节的容积直接设为x，然后根据第5节和容积差建立等量关系：第1节容积+第2节容积+第3节容积＝9，第7节容积+第8节容积+第9节容积＝45构建二元一次方程组求解．
【详解】
解：设第五节的容积为x升，每一节与前一节的空积之差为y升，依题意得：
，
解得：，
答：第五节的容积9升，每一节与前一节的容积之差2升．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组在古典数学中的应用，突出了我国古人在数学方面的成就．难点是用第5节容积和相邻容积来表示竹子各节的容积．
20．（2020·唐山市第十二中学初一期中）小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形如图1那样，恰好可以拼成一个大的长方形.小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图2那样的一个洞，恰好是边长为2mm的小正方形！求每个长方形的长、宽.
【答案】10、6
【分析】
设每个小长方形的长为xmm，宽为?ymm，根据图形给出的信息可知，长方形的5个宽与其3个长相等，两个加2长的和等于一个长与两个宽的和，于是得方程组，解出即可．
【详解】
设长方形的长为x，宽为y，则
解得：.
【点睛】
考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键．
21．（2020·德州市第十五中学初三期中）德州市正处在创建国家卫生城市的关键时期，但总有市民随手丢垃圾的情况出现．为提高市民的环保意识，我市青年志愿者协会组织50人的青年志愿者团队，在周末前往某森林公园捡垃圾．已知平均每分钟男生可以捡3件垃圾，女生可以捡2件垃圾，且该团队平均每分钟可以捡120件垃圾．请问该团队的男生和女生各多少人？
【答案】该团队男生有20人，女生有30人
【分析】
设该团队男生有x人，女生有y人，根据“该志愿者团队共50人，平均每分钟男生可以捡3件垃圾，女生可以捡2件垃圾，且该团队平均每分钟可以捡120件垃圾”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】
解：设该团队男生有x人，女生有y人，
根据题意得：，
解得：．
答：该团队男生有20人，女生有30人．
【点睛】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
22．（2019·江苏省初三其他）某单位需采购一批商品,购买甲商品10件和乙商品15件需资金350元,而购买甲商品15件和乙商品10件需要资金375元．
求甲、乙商品每件各多少元？
本次计划采购甲、乙商品共30件,计划资金不超过460元,
最多可采购甲商品多少件？
若要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的,请给出所有购买方案,并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金．
【答案】（1）甲商品每件17元，乙商品每件12元；（2）①最多可采购甲商品20件；②购买方案有四种，
方案一：甲商品20件，乙商品10件，此时花费为：20×17+10×12=460（元）；
方案二：甲商品19件，乙商品11件，此时花费为：19×17+11×12=455（元）；
方案三：甲商品18件，乙商品12件，此时花费为：18×17+12×12=450（元）；
方案四：甲商品17件，乙商品13件，此时花费为：17×17+13×12=445（元）.
即购买甲商品17件，乙商品13件时花费最少，最少要用445元．
【分析】
（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．
【详解】
解：（1）设甲商品每件x元，乙商品每件y元，
，
解得，，
即甲商品每件17元，乙商品每件12元；
（2）①设采购甲商品m件，
17m+12（30-m）≤460，
解得，m≤20，
即最多可采购甲商品20件；
②由题意可得，
，
解得，，
∴购买方案有四种，
方案一：甲商品20件，乙商品10件，此时花费为：20×17+10×12=460（元），
方案二：甲商品19件，乙商品11件，此时花费为：19×17+11×12=455（元），
方案三：甲商品18件，乙商品12件，此时花费为：18×17+12×12=450（元），
方案四：甲商品17件，乙商品13件，此时花费为：17×17+13×12=445（元）.
即购买甲商品17件，乙商品13件时花费最少，最少要用445元．
【点睛】
本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
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