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8.4三元一次方程组的解法同步训练（教师版）
一、单选题
1．（2020·德州市第十五中学初三期中）解方程组得x等于( )
A．18 B．11 C．10 D．9
【答案】C
【分析】
利用加减消元法解方程组即可．
【详解】
，
①+②+③得：
3x+3y+3z=90．
∴x+y+z=30 ④
②-①得：
y+z-2x=0 ⑤
④-⑤得：
3x=30
∴x=10
故答案选：C．
【点睛】
本题考查的是三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的关键．
2．（2019·河南省初一期中）图①的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②所示．则被移动石头的重量为（ ）
A．5克 B．10克 C．15克 D．20克
【答案】A
【详解】
解：设左天平的一袋石头重x克，右天平的一袋石头重y克，被移动的石头重z克，由题意，得：
解得z=5
答：被移动石头的重量为5克．
故选A．
【点睛】
本题考查了列三元一次方程组解实际问题的运用,三元一次方程组的解法的运用,解答时理解图象天平反映的意义找到等量关系是关键．
3．（2019·湖南省长郡中学初一期中）解三元一次方程组时，要使解法较为简单，应（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数
【答案】C
【分析】
第一个方程中不含z，而第二个方程和第三个方程z的系数互为相反数，所以②+③消去z，与①即可组成二元一次方程组，从而实现消元的目的.
【详解】
解： ，
②+③得：7x-11y=6④，
④与①即可组成二元一次方程组，
∴要使解法较为简单，应先消去z，
故选：C.
【点睛】
此题考查看解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.
4．（2019·南安市实验中学初一月考）已知方程组 ，则x＋y＋z的值为( )
A．6 B．－6 C．5 D．－5
【答案】C
【分析】
根据方程组，三个方程相加即可得到x+y+z的值．
【详解】
解：∵,
①+②+③，得
x+y+z=5，
故选C．
【点睛】
本题考查三元一次方程组的解，解得关键是明确解三元一次方程组的解答方法．
5．（2020·南昌二中高新校区初三期中）已知三元一次方程组，则（ ）
A．20 B．30 C．35 D．70
【答案】C
【分析】
利用方程组中三个方程左右两边相加，变形即可得到x+y+z的值．
【详解】
，
①+②+③得：2（x+y+z）=70，
则x+y+z=35．
故选C．
【点睛】
本题考查了解三元一次方程组，本题的关键是将三个方程相加得出结果.
6．（2020·许昌市第二中学初一月考）若二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为( )．
A．3 B．－3 C．－4 D．4
【答案】D
【分析】
先利用方程3x-y=7和2x+3y=1组成方程组，求出x、y，再代入y=kx-9求出k值.
【详解】
解：由题意，得：
解得：
将代入y=kx-9中，得：-1=2k-9，
解得：k=4.
故选D.
【点睛】
本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解二元一次方程组较简单.
7．（2020·全国初一课时练习）三元一次方程组，的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
用加减消元法解.
【详解】
，
得……④，
得，解得.把代入①，
得，解得，把代入③，
得，解得，
所以原方程组的解为.
故选：D.
【点睛】
考查了解三元一次方程组，解题关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
8．（2020·全国初一课时练习）解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
对各选项进行分析后即可判断．
【详解】
A选项：得，得，故正确；
B选项：得，得，故错误；
C选项：得，得，故错误；
D选项：得，得，故错误.
故选：A.
【点睛】
考查了解三元一次方程组，解题关键是利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
9．（2020·陕西省西安高新第一中学初中校区初一期末）某班元旦晚会需要购买甲、乙、丙三种装饰品，若购买甲3件，乙5件，丙1件，共需62元，若购甲4件，乙7件，丙1件共需77元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需( )元．
A．31 B．32 C．33 D．34
【答案】B
【分析】
根据题意列出方程组,利用加减消元的方法解题即可.
【详解】
设甲、乙、丙每件单价为x、y、z元，
根据题意列方程组得
②-①得：x+2y=15 ③，
②+①得：7x+12y+2z=139 ④，
④-③×5得：2x+2y+2z=64，
∴x+y+z=32．
故选B.
【点睛】
本题考查三元一次方程组的应用,关键在于找到各未知数的数量关系.
10．（2020·全国初一课时练习）某一长方体纸盒的表面展开图如图所示，根据图中数据可得该长方体纸盒的容积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设长方体的长为xcm，宽为ycm，高为zcm，根据图中所给数据可得三元一次方程组，即可求出x、y、z的值，根据长方体体积公式即可得答案.
【详解】
设长方体的长为xcm，宽为ycm，高为zcm，则，
③-②得z=2，
把z=2代入①得x=8，
把z=2代入②得y=5，
∴该长方体纸盒的容积为2×5×8=80cm3.
故选A.
【点睛】
本题考查三元一次方程组的应用，根据图形数据得出长、宽、高的关系，列出三元一次方程组并熟练掌握解三元一次方程组的基本方法是解题关键.
二、填空题
11．（2019·重庆初三）某超市促销活动，将三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装进礼盒进行销售．每盒的总成本为盒中三种水果成本之和，盒子成本忽略不计．甲种方式每盒分别装三种水果；乙种方式每盒分别装三种水果 ．甲每盒的总成本是每千克 水果成本的倍，每盒甲的销售利润率为；每盒甲比每盒乙的售价低；每盒丙在成本上提高标价后打八折出售，获利为每千克 水果成本的倍．当销售甲、乙、丙三种方式搭配的礼盒数量之比为时，则销售总利润率为__________.
【答案】20%．
【分析】
分别设每千克A、B、C三种水果的成本为x、y、z，设丙每盒成本为m，然后根据题意将甲、乙、丙三种方式的每盒成本和利润用x表示出来即可求解．
【详解】
设每千克A、B、C三种水果的成本分别为为x、y、z，依题意得：
6x+3y+z=12.5x，
∴3y+z=6.5x，
∴每盒甲的销售利润=12.5x?20%=2.5x
乙种方式每盒成本=2x+6y+2z=2x+13x=15x，
乙种方式每盒售价=12.5x?（1+20%）÷（1-25%）=20x，
∴每盒乙的销售利润=20x-15x=5x，
设丙每盒成本为m，依题意得：m（1+40%）?0.8-m=1.2x，
解得m=10x．
∴当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2：2：5时，
总成本为：12.5x?2+15x?2+10x?5=105x，
总利润为：2.5x?2+5x×2+1.2x?5=21x，
销售的总利润率为 ×100%=20%，
故答案为：20%．
【点睛】
此题考查了三元一次方程的实际应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解题的关键．
12．（2019·福建省厦门双十中学初一期中）如图所示，已知前两个天平两端保持平衡．要使第三个天平两端保持平衡，若天平的右边只放圆形，那么应放______个圆形．
【答案】3
【分析】
设圆形物品的质量为x，三角形物品的质量为y，正方形物品的质量为z，根据图示可以列出三元一次方程组，利用加减消元法消去y，得到z与x的关系式，从而得到答案．
【详解】
设圆形物品的质量为x，三角形物品的质量为y，正方形物品的质量为z，
根据题意得：，
利用加减消元法，消去y得：z＝x，
∴2z＝3x，
即应在右托盘上放3个圆形物品，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查三元一次方程组的应用，找出等量关系列出三元一次方程组是解题的关键．
13．（2020·重庆第二外国语学校初三二模）一驴友分三次从地出发沿着不同线路（线、线、线）去地，在每条线路上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种．他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等；线、线路程相等，都比线路程多；线总时间等于线总时间的一半；他用了3小时穿越丛林、2小时涉水行走和2小时攀登走完线；在线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比线上升了．若他用了小时穿越丛林、小时涉水行走和小时攀登走完线，且都为正整数，则_____．
【答案】6
【分析】
因为他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等，所以可以假设涉水行走的速度为与攀登的速度为，穿越丛林的速度为．由题意：，可得，①，②，由①②消去得到：，求出整数解即可解决问题．
【详解】
解：他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等，
可以假设涉水行走的速度为与攀登的速度为，穿越丛林的速度为．
由题意：，
化简可得，
代入中，
可得：①
②，
由①②消去得到：，
，是正整数，
，，，
，
故答案为：6．
【点睛】
本题考查三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，学会利用参数方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
14．（2019·四川省初三二模）已知方程组的解x、y满足x+y＝2，则代数式a+2b的值为_____．
【答案】-2
【分析】
将方程组中两个方程相加，整理可得（a+2b）（x+y）＝﹣4，再把x+y＝2代入计算可得．
【详解】
将方程组中两个方程相加，得：（a+2b）x+（a+2b）y＝﹣4，
即（a+2b）（x+y）＝﹣4，
∵x+y＝2，
∴2（a+2b）＝﹣4，
则a+2b＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】
此题考查解三元一次方程组，掌握运算法则是解题关键
15．（2019·重庆市育才中学初一期中）六一儿童节将至，孩子王儿童商店推出甲、乙、丙三种特价玩具，若购甲3件，乙2件，丙1件需要400元；购甲1件，乙2件，丙3件需要440元，则购买甲乙丙三种玩具各一件需要_________元.
【答案】210
【解析】
【分析】
设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，丙玩具的单价为z元，根据“购甲3件，乙2件，丙1件需400元：购甲1件，乙2件，丙3件需440元”，即可得出关于x，y，z的三元一次方程组，再利用（①+②）÷4，即可求出结论．
【详解】
设甲玩具的单价为x元，乙玩具的单价为y元，丙玩具的单价为z元，
依题意，得： ，
（①+②）÷4，得：x+y+z=210．
故答案为：210．
【点睛】
此题考查三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
16．（2020·达州市第一中学校初二期末）若关于x,y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+2y=8的解,则k的值为____.
【答案】2
【分析】
据题意得知，二元一次方程组的解也是二元一次方程x+2y=8的解，也就是说，它们有共同的解，及它们是同一方程组的解，列出方程组解答即可．
【详解】
根据题意，得
由（1）+（2），得
2x=4k即x=2k（4）
由（1）-（2），得
2y=2k即y=k（5）
将（4）、（5）代入（3），得
2k+2k=8，解得k=2.
【点睛】
本题考查了三元一次方程组的解，运用了加减消元法和代入消元法．通过“消元”，使其转化为二元一次方程（组）来解．
17．（2018·福建省永春第二中学初一期中）一个三位数,个位、百位上的数字的和等于十位上的数字,百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2,个位、十位、百位上的数字的和是14.则这个三位数是__________.
【答案】275
【解析】
试题解析：这个三位数个位上的数字为x，十位上的数字为y，百位上的数字为z．
把①代入③得y=7，
把y=7代入①得x+z=7④，
代入②得7z=x+9⑤
④+⑤得z=2，
∴x=5，
∴这个三位数为2×100+7×10+5=275．
答：这个三位数是275．
三、解答题
18．（2020·山东省昌乐第一中学初一月考）解下列方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）首先对方程组进行去分母整理，再利用加减消元法进行计算即可得解；
（2）通过加减消元法进行计算即可得解.
【详解】
（1）对两边同乘6进行去分母得
化简得，令其为①式，令为②式
由①×2②得，解得
将代入①解得
则原方程组的解为；
（2）令为①式，为②式，为③式
由①×③得，令其为④式，②①得，令其为⑤式
④+⑤得，解得
将代入④得
将，代入①得
则原方程组的解为.
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组及三元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法及代入消元法是解决该类题目的关键.
19．（2020·山东省初一期中）已知方程组的解适合x+y=8,求a的值.
【答案】a=10.
试题分析：先把a当作已知条件求出x、y的值，再代入x+y=8求出a的值即可．
试题解析：解方程组
得，，
∵方程组的解适合x+y=8，
∴2a-6+4-a=8，解得a=10．
点睛：本题考查的是二元一次方程组的解，熟知能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．
20．（2019·温州市第二实验中学初一期中）某农业观光园将一块面积为的观光园分成三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲株或乙株或丙株．已知区域的面积是的倍，记A区域的面积为区域的面积为．
花卉项目 甲 乙 丙
面积
株/
数量
（1）完成上表（结果用含的代数式表示）．
（2）若三种花卉共栽种株
①求与的值．
②若三种花卉的单价（都是整数）之和为元，全部栽种共需元，求种植面积最大的花卉总价．
【答案】（1）见解析；（2）①，；②11200或5600元
【分析】
（1）记A区域面积为x，则B区域面积是2x，根据每平方米栽种甲2株或乙4株，即可解答；
（2）①根据三个区域的总面积为，三种花卉共栽种株，列二元一次方程组求解即可；
②设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，根据三种花卉的单价（都是整数）之和为元，全部栽种共需元，列出三元一次方程组，分析求解即可．
【详解】
(1) 记A区域面积为x，则B区域面积是2x，
∵甲、乙、丙三种花卉，每平方米栽种甲株或乙株或丙株，
∴甲花卉种植数量：2x，乙花卉种植数量：8x；
表如下：
花卉项目 甲 乙 丙
面积 2x
株/
数量 2x 8x
(2) ①根据题意列方程组：
解方程组得：，
∴，；
②设三种花卉的单价分别为a元、b元、c元，
由（2）可知，分别种植甲、乙、丙三种花卉的株数为280株，1120株，1680株，
根据题意得：，
整理得：3b+5c=35，
∴b=10，c=1或b=5，c=4，
∵三种花卉的单价（都是整数）之和为40元，
∴a=29或a=31，
∴a=29，b=10，c=1或a=31，b=5，c=4，
由（2）可知乙种花卉种植280亩，面积最大，
∴种植面积最大的花卉总价为：280×4×10=11200（元）或280×4×5=5600（元）
答：种植面积最大的花卉总价为11200或5600元．
【点睛】
本题考查了方程组的应用，解决本题的关键是理解题意，列出方程组并确定方程组的解．
21．（2019·湖南省初一期中）已知关于x，y的方程组的x，y的值之和等于2，求m的值．
【答案】m的值是4.
【分析】
把原方程组消去m后，与x+y=2建立新的方程组，求得x，y的值后，再代入原方程组中，求得m的值．
【详解】
关于x，y的方程组为
由①－②得x＋2y＝2，
∵x，y的值之和等于2，
∴解这个方程组得
把代入②得m＝4.
∴m的值是4.
【点睛】
本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
22．（2019·福建省初一月考）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．
(1)求x和y的值；
(2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服袋1件共需390元：如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元?
【答案】(1) x的值为2800，y的值为3；(2) 190元．
【详解】
分析：（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到x、y的值；
（2）由题意可得相应的三元一次方程组，通过变形即可得到问题的答案．
解：(1)由题意，得，
解得，
即x的值为2800，y的值为3；
(2)设一件甲服装为a元，一件乙服装为b元，一件丙服装为c元，
则，
将两方程相加得，4a+4b+4c=760，
则a+b+c=190，
即购买一件甲、一件乙、一件丙服装共需190元．
点睛：本题考查三元一次方程组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
23．（2020·凤台县第四中学初一月考）一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
【答案】这个三位数是473.
【分析】
首先假设这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z．根据题目说明，以及百位数是百位数字的100倍，十位数是十位数字的10倍，个位数就是个位数字列出方程组通过加减消元法、代入法求得x、y、z的值，那么这个三位数也就确定．
【详解】
这个三位数的百位数字为x，十位数字为y，个位数字为z.由题意列方程组
②－③得y＝14－y，即y＝7，
由①得x－z＝1，⑤
将y＝7代入③得x＋z＝7，⑥
⑤＋⑥得2x＝8，
即x＝4，那么z＝3.
答：这个三位数是473.
【点睛】
解决本题的关键是根据百位数字、十位数字、个位数字与数值间的关系列出方程组，用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
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8.4三元一次方程组的解法同步训练（学生版）
一、单选题
1．（2020·德州市第十五中学初三期中）解方程组得x等于( )
A．18 B．11 C．10 D．9
2．（2019·河南省初一期中）图①的等臂天平呈平衡状态，其中左侧秤盘有一袋石头，右侧秤盘有一袋石头和2个各10克的砝码．将左侧袋中一颗石头移至右侧秤盘，并拿走右侧秤盘的1个砝码后，天平仍呈平衡状态，如图②所示．则被移动石头的重量为（ ）
A．5克 B．10克 C．15克 D．20克
3．（2019·湖南省长郡中学初一期中）解三元一次方程组时，要使解法较为简单，应（ ）
A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数
4．（2019·南安市实验中学初一月考）已知方程组 ，则x＋y＋z的值为( )
A．6 B．－6 C．5 D．－5
5．（2020·南昌二中高新校区初三期中）已知三元一次方程组，则（ ）
A．20 B．30 C．35 D．70
6．（2020·许昌市第二中学初一月考）若二元一次方程3x－y＝7,2x＋3y＝1，y＝kx－9有公共解，则k的取值为( )．
A．3 B．－3 C．－4 D．4
7．（2020·全国初一课时练习）三元一次方程组，的解为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·全国初一课时练习）解方程组，把上面的三元一次方程组消元转化成下面的二元一次方程组，需要经过如下的步骤，请你选出正确的步骤（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·陕西省西安高新第一中学初中校区初一期末）某班元旦晚会需要购买甲、乙、丙三种装饰品，若购买甲3件，乙5件，丙1件，共需62元，若购甲4件，乙7件，丙1件共需77元．现在购买甲、乙、丙各一件，共需( )元．
A．31 B．32 C．33 D．34
10．（2020·全国初一课时练习）某一长方体纸盒的表面展开图如图所示，根据图中数据可得该长方体纸盒的容积为( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2019·重庆初三）某超市促销活动，将三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装进礼盒进行销售．每盒的总成本为盒中三种水果成本之和，盒子成本忽略不计．甲种方式每盒分别装三种水果；乙种方式每盒分别装三种水果 ．甲每盒的总成本是每千克 水果成本的倍，每盒甲的销售利润率为；每盒甲比每盒乙的售价低；每盒丙在成本上提高标价后打八折出售，获利为每千克 水果成本的倍．当销售甲、乙、丙三种方式搭配的礼盒数量之比为时，则销售总利润率为__________.
12．（2019·福建省厦门双十中学初一期中）如图所示，已知前两个天平两端保持平衡．要使第三个天平两端保持平衡，若天平的右边只放圆形，那么应放______个圆形．
13．（2020·重庆第二外国语学校初三二模）一驴友分三次从地出发沿着不同线路（线、线、线）去地，在每条线路上行进的方式都分为穿越丛林、涉水行走和攀登这三种．他涉水行走4小时的路程与攀登6小时的路程相等；线、线路程相等，都比线路程多；线总时间等于线总时间的一半；他用了3小时穿越丛林、2小时涉水行走和2小时攀登走完线；在线中穿越丛林、涉水行走和攀登所用时间分别比线上升了．若他用了小时穿越丛林、小时涉水行走和小时攀登走完线，且都为正整数，则_____．
14．（2019·四川省初三二模）已知方程组的解x、y满足x+y＝2，则代数式a+2b的值为_____．
15．（2019·重庆市育才中学初一期中）六一儿童节将至，孩子王儿童商店推出甲、乙、丙三种特价玩具，若购甲3件，乙2件，丙1件需要400元；购甲1件，乙2件，丙3件需要440元，则购买甲乙丙三种玩具各一件需要_________元.
16．（2020·达州市第一中学校初二期末）若关于x,y的二元一次方程组的解也是二元一次方程x+2y=8的解,则k的值为____.
17．（2018·福建省永春第二中学初一期中）一个三位数,个位、百位上的数字的和等于十位上的数字,百位上的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大2,个位、十位、百位上的数字的和是14.则这个三位数是__________.
三、解答题
18．（2020·山东省昌乐第一中学初一月考）解下列方程组：
（1）；
（2）．
19．（2020·山东省初一期中）已知方程组的解适合x+y=8,求a的值.
20．（2019·温州市第二实验中学初一期中）某农业观光园将一块面积为的观光园分成三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲株或乙株或丙株．已知区域的面积是的倍，记A区域的面积为区域的面积为．
花卉项目 甲 乙 丙
面积
株/
数量
（1）完成上表（结果用含的代数式表示）．
（2）若三种花卉共栽种株
①求与的值．
②若三种花卉的单价（都是整数）之和为元，全部栽种共需元，求种植面积最大的花卉总价．
21．（2019·湖南省初一期中）已知关于x，y的方程组的x，y的值之和等于2，求m的值．
22．（2019·福建省初一月考）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：
营业员A：月销售件数200件，月总收入3400元；
营业员B：月销售件数300件，月总收入3700元；
假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖动y元．
(1)求x和y的值；
(2)商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲服装3件，乙服装2件，丙服袋1件共需390元：如果购买甲服装1件，乙服装2件，丙服装3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙服装各一件共需多少元?
23．（2020·凤台县第四中学初一月考）一个三位数，如果把它的个位数字与百位数字交换位置，那么所得的新数比原数小99，且各位数字之和为14，十位数字是个位数字与百位数字之和．求这个三位数．
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