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6.3 实数 同步训练（教师版）
一、单选题
1．（2018·上海初一期中）下列各数中：、、0.3010、、、、0.1010010001…（每个1后依次多1个0），其中是无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
根据无理数的定义，可得答案．
【详解】
是有理数，是无理数，0.3010是有理数，是有理数，是有理数，是无理数，0.1010010001…（每个1后依次多1个0）是无理数，共3个无理数
故选B．
【点睛】
本题考查了无理数，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
2．（2017·广州市育才中学初一期中）实数-的相反数是（ ）
A．- B． C．- D．
【答案】B
【详解】
解：实数-的相反数是，
故选B．
【点睛】
本题考查相反数．
3．（2017·广州市育才中学初一期中）估计的结果在两个整数（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．30和32之间
【答案】C
【解析】
【分析】
根据25＜31＜36，再分别求出对应的算术平方根即可解答．
【详解】
解：∵25＜31＜36，
∴5＜＜6，
∴的结果在两个整数5和6之间，
故选：C．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是明确无理数的平方介于哪两个相邻的正整数的平方之间．
4．（2019·山东省初三其他）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较大的数，如,按这个规定，方程的解为 ( )
A． B． C． D．或-1
【答案】D
【分析】
分和两种情况将所求方程变形，求出解即可．
【详解】
当，即时，所求方程变形为，
去分母得：，即,
解得：
经检验是分式方程的解；
当，即时，所求方程变形为，
去分母得：代入公式得：，
解得：（舍去），
经检验是分式方程的解，
综上，所求方程的解为或-1．
故选D.
【点睛】
本题考查的知识点是分式方程的解，解题关键是弄清题中的新定义．
5．（2019·江苏省初一期中）比较、、的大小( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可
【详解】
解：255＝（25）11＝3211，
344＝（34）11＝8111，
433＝（43）11＝6411，
∵32＜64＜81，
∴255＜433＜344．
故选：C．
【点睛】
本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．
6．（2019·江苏省南京市第二十九中学初二期中）已知m=，则以下对m的估算正确的（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
【答案】B
【分析】
直接化简二次根式，得出的取值范围，进而得出答案．
【详解】
∵m==2+，
1＜＜2，
∴3＜m＜4，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
7．（2017·天津初三一模）估计2的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【分析】
把2平方，然后确定平方在哪两个整数的平方之间即可．
【详解】
∵（2）2=12，9＜12＜16，
∴3＜2＜4．
故选C．
【点睛】
本题考查了估计无理数的大小，常用的方法是根据平方，用有理数逼近无理数，求无理数的近似值．
8．（2018·安徽省初一期中）在下列各数0，0.2，3π，，6.1010010001······，，中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】
无理数有3π，6.1010010001······，，共3个．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
9．（2019·安徽省初一期中）式子的整数部分是，小数部分是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先判断出4＜+1＜5，再求出a,b即可求解．
【详解】
∵3＜＜4，
∴4＜+1＜5
∴的整数部分是4，
∴a=4，
小数部分是-4=，
∴b=
∴a-b=4-（）=4-+3=
故选D．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小的知识，注意应先判断所给的无理数的近似值然后解题．
10．（2019·江苏省初三期中）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
【详解】
∵，∴的倒数是.
故选C
11．（2017·天津初三一模）已知a，b为两个连续整数，且a<A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
【答案】C
【解析】
试题解析：∵4＜＜5，
∴3＜-1＜4，
∴这两个连续整数是3和4，
故选C．
12．（2020·苏州高新区第一初级中学校初三月考）下列四个实数中，最大的实数是（ ）
A． B．-1 C．0 D．
【答案】A
【分析】
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】
∵|﹣2|＞＞0＞﹣1，
∴所给的四个实数中，最大的实数是|﹣2|．
故选A．
【点睛】
此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
二、填空题
13．（2018·吉林省初一期中）的整数部分是________．
【答案】6
【分析】
求出在哪两个整数之间，从而判断的整数部分．
【详解】
∵，，
又∵36＜46＜49
∴6＜＜7
∴的整数部分为6
故答案为：6
【点睛】
本题考查无理数的估算，正确掌握整数的平方数是解题的关键．
14．（2020·赤壁市第五初级中学初一期中）下列说法： ① ；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________
【答案】2个
【分析】
①根据算术平方根的性质即可判定；②根据实数与数轴上的点的对应关系即可判定；③根据平行线的性质即可判断；根据平行公理的推论对④进行判断；⑤根据无理数的性质即可判定；⑥根据无理数的定义即可判断．
【详解】
① ，故①错误；
②数轴上的点与实数成一一对应关系，故说法正确；
③两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等；故原说法错误；
④在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误；
⑤两个无理数的和可能是有理数，也可能是无理数，如与-的和是0，是有理数，故说法错误；
⑥无理数都是无限小数，故说法正确．
故正确的是②⑥共2个．
故答案为：2个．
【点睛】
此题主要考查了有理数、无理数、实数的定义及其关系．有理数都可以化为小数，其中整数可以看作小数点后面是零的小数，分数可以化为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，其中有开方开不尽的数，如，等，也有π也是无理数．
15．（2020·赤壁市第五初级中学初一期中）比较大小：－____－，____2.
【答案】＞ ＞
【详解】
∵ ，
∴；
∵ ，5>4,
∴.
故答案为(1). ＞；(2). ＞.
16．（2020·北京交通大学附属中学初一月考）对于实数，我们规定：用表示不小于 的最小整数，例如：． 现对 72 进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2，类似地：
（1）对 36 只需进行_______次操作后变为 2；
（2）只需进行 3 次操作后变为 2 的所有正整数中，最大的是________
【答案】3 256
【分析】
（1）根据题目中的例子进行解答即可；
（2）因为只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，选择最大的整数即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
故答案为3；
（2）由题意可得：
故只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是256．
故答案为：256．
【点睛】
本题考查估计无理数的大小、实数大小的比较，弄清题意、明确推理条件是解答本题的关键．
17．（2020·北京交通大学附属中学初一月考）如图，数轴上点A，B对应的数分别为﹣1，2，点C在线段AB上运动．请你写出点C可能对应的一个无理数_____．
【答案】（答案不唯一，无理数在﹣1与2之间即可）
【分析】
根据点C表示的数大于-1且小于2解答即可.
【详解】
解：由C点可得此无理数应该在﹣1与2之间，
又∵1<<2，
故可以是，
故答案为（答案不唯一，无理数在﹣1与2之间即可），
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
18．（2019·北京人大附中初一课时练习）比较大小： _____________ ．
【答案】>
【解析】
分析：先比较他们的绝对值，根据两个负数，绝对值大的反而小,即可得出结论.
详解：
即
故答案为
点睛：考查实数的大小比较，两个负数，绝对值大的反而小,
19．（2019·湖北省初二期末）若a=2-2，b=（）0，c=（-1）3，将a，b，c三个数用“＜”连接起来应为_______．
【答案】c＜a＜b
【分析】
先求出各数的值，再比较大小即可．
【详解】
解：a=2-2=，b=（）0=1，c=（-1）3=-1，
∵-1＜＜1，
∴c＜a＜b．
故答案为：c＜a＜b．
【点睛】
本题考查的是实数的大小比较，将各数化简再比较大小的法则是解答此题的关键．
20．（2020·河南省河南师大附中金龙学校初二期中）如图，数轴上点A表示的实数是_____．
【答案】﹣1．
【分析】
直接利用勾股定理得出三角形斜边长即可得出A点对应的实数．
【详解】
解：由图形可得：﹣1到A的距离为＝，
则数轴上点A表示的实数是：﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
此题主要考查了实数与数轴，正确得出﹣1到A的距离是解题关键．
三、解答题
21．（2020·赤壁市第五初级中学初一期中）计算：
【答案】（1）9；（2）；（3）-3；（4）1
【分析】
（1）分别根据绝对值的代数意义、有理数的乘方以及算术平方根运算法则进行计算即可；
（2）先去绝对值，再合并即可；
（3）先分别根据算术平方根以及立方根的意义进行化简，再进行回头运算即可得解；
（4）先分别根据算术平方根以及立方根的意义进行化简，再进行回头运算即可得解．
【详解】
（1）
=2+9-2
=9；
（2）
=
=；
（3）
=
=-3；
（4）
=
=
=1．
【点睛】
此题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
22．（2020·赤壁市第五初级中学初一期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，|c|＝，求a－b＋c的值．
【答案】4或4－2．
【分析】
先进行估算的范围，确定a，b的值，再代入代数式即可解答．
【详解】
解：∵2＜＜3，∴a＝2，b＝－2，
∵|c|＝，
∴c＝±
当c＝时，a－b＋c＝4；
当c＝－时，a－b＋c＝4－2
故答案为：4或4－2．
23．（2020·北京交通大学附属中学初一月考）阅读下面求 近似值的方法，回答问题：
①任取正数 ；
②令则；
③，则；
……以此类推次，得到
其中 称为 的 阶过剩近似值， 称为 的阶不足近似值． 仿照上述方法，求 6 的近似值．
①取正数 ．
②于是 ；则_______
③ 的 3 阶过剩近似值 是_______，3 阶不足近似值是________
【答案】，，，．
【分析】
由材料中的公式，将a1的值代入即可求出a2，a3即可解答．
【详解】
解：∵
∴，即
，即．
故答案为：，，，．
【点睛】
本题属于阅读型问题，主要考查估算无理数的大小，认真阅读材料、弄清推导步骤是解答本题的关键．
24．（2020·北京交通大学附属中学初一月考）已知正实数x的平方根是m和m+b．
（1）当b＝8时，求m；
（2）若m2x+（m+b）2x＝4，求x的值．
【答案】（1）m＝﹣4；（2）x＝
【分析】
（1）根据正数有两个互为相反数的平方根列式求解即可；
（2）根据正实数x的平方根是m和m+b，可得（m+b）2＝x，m2＝x，从而原方程可变为x2+x2＝4，然后根据平方根的意义求解即可.
【详解】
（1）∵正实数x的平方根是m和m+b
∴m+m+b＝0，
∵b＝8，
∴2m+8＝0
∴m＝﹣4；
（2）∵正实数x的平方根是m和m+b，
∴（m+b）2＝x，m2＝x，
∵m2x+（m+b）2x＝4，
∴x2+x2＝4，
∴x2＝2，
∵x＞0，
∴x＝．
【点睛】
本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a，则这个数叫做a的平方根，即x2=a，那么x叫做a的平方根，记作，0的平方根是0；正数有两个不同的平方根，它们是互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.
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6.3 实数 同步训练（学生版）
一、单选题
1．（2018·上海初一期中）下列各数中：、、0.3010、、、、0.1010010001…（每个1后依次多1个0），其中是无理数的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2017·广州市育才中学初一期中）实数-的相反数是（ ）
A．- B． C．- D．
3．（2017·广州市育才中学初一期中）估计的结果在两个整数（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．30和32之间
4．（2019·山东省初三其他）对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中较大的数，如,按这个规定，方程的解为 ( )
A． B． C． D．或-1
5．（2019·江苏省初一期中）比较、、的大小( )
A． B． C． D．
6．（2019·江苏省南京市第二十九中学初二期中）已知m=，则以下对m的估算正确的（ ）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
7．（2017·天津初三一模）估计2的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．（2018·安徽省初一期中）在下列各数0，0.2，3π，，6.1010010001······，，中，无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2019·安徽省初一期中）式子的整数部分是，小数部分是，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（2019·江苏省初三期中）的倒数是（ ）
A． B． C． D．
11．（2017·天津初三一模）已知a，b为两个连续整数，且a<A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
12．（2020·苏州高新区第一初级中学校初三月考）下列四个实数中，最大的实数是（ ）
A． B．-1 C．0 D．
二、填空题
13．（2018·吉林省初一期中）的整数部分是________．
14．（2020·赤壁市第五初级中学初一期中）下列说法： ① ；②数轴上的点与实数成一一对应关系；③两条直线被第三条直线所截，同位角相等；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数，其中正确的个数有 ___________
15．（2020·赤壁市第五初级中学初一期中）比较大小：－____－，____2.
16．（2020·北京交通大学附属中学初一月考）对于实数，我们规定：用表示不小于 的最小整数，例如：． 现对 72 进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2，类似地：
（1）对 36 只需进行_______次操作后变为 2；
（2）只需进行 3 次操作后变为 2 的所有正整数中，最大的是________
17．（2020·北京交通大学附属中学初一月考）如图，数轴上点A，B对应的数分别为﹣1，2，点C在线段AB上运动．请你写出点C可能对应的一个无理数_____．
18．（2019·北京人大附中初一课时练习）比较大小： _____________ ．
19．（2019·湖北省初二期末）若a=2-2，b=（）0，c=（-1）3，将a，b，c三个数用“＜”连接起来应为_______．
20．（2020·河南省河南师大附中金龙学校初二期中）如图，数轴上点A表示的实数是_____．
三、解答题
21．（2020·赤壁市第五初级中学初一期中）计算：
22．（2020·赤壁市第五初级中学初一期中）已知a是的整数部分，b是的小数部分，|c|＝，求a－b＋c的值．
23．（2020·北京交通大学附属中学初一月考）阅读下面求 近似值的方法，回答问题：
①任取正数 ；
②令则；
③，则；
……以此类推次，得到
其中 称为 的 阶过剩近似值， 称为 的阶不足近似值． 仿照上述方法，求 6 的近似值．
①取正数 ．
②于是 ；则_______
③ 的 3 阶过剩近似值 是_______，3 阶不足近似值是________
24．（2020·北京交通大学附属中学初一月考）已知正实数x的平方根是m和m+b．
（1）当b＝8时，求m；
（2）若m2x+（m+b）2x＝4，求x的值．
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