中小学教育资源及组卷应用平台
【专题讲义】人教版五年级数学下册
第6讲 长方体与正方体的体积求法专题精讲（解析版）
知识要点梳理
课程目标 掌握因数倍数的概念及因数倍数的求法；掌握2、3、5的倍数的特征；通过观察一个数的尾数确定一个数是不是2、3、5的倍数；
课程重点 会求一个数的因数和倍数；
课程难点 掌握2、3、5的倍数的特征；
教学方法建议 通过探究和日常生活中的实例引入问题。
【知识框架】
考点1 长方体和正方体的体积
1、长方体、正方体的体积的基本概念
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
一个长方体所占空间的大小叫做这个长方体的体积
一个正方体所占空间的大小叫做这个正方体的体积
2、长方体和正方体的体积公式
（1）长方体的体积=长×宽×高 V=abh
（2）长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
（3）宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
（4）高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
（5）正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a
（6）长方体（或正方体）的体积=底面积×高 V=Sh （S表示底面积）
考点2 等积变形
1、将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2、两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3、物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
考点3 容积以及体积单位间的换算
容积的概念
箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
（容积通常比体积小或相等）
容积单位
常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升
a ( C:\\DOCUME~1\\ADMINI~1\\LOCALS~1\\Temp\\msohtml1\\01\\clip_image001.wmz" \t "_blank )3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）
【体积单位换算】 高级单位 低级单位
低级单位 高级单位
进率： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米（进率1000）
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
（拓展：重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率）
（一）长方体与正方体的体积
例1．填表
长方体 长/分米 宽/分米 高/分米 体积（立方分米）
5 1 2
4 3 5
10 2 4
正方体 棱长/米 体积（立方米）
6
30
0.4
解析
长方体 长/分米 宽/分米 高/分米 体积（立方分米）
5 1 2 10
4 3 5 60
10 2 4 80
正方体 棱长/米 体积（立方米）
6 216
30 27000
0.4 0.064
例题2. 一根长方体木料，长5厘米，横截面的面积是0.06平方厘米。这根木料的体积是多少？
解答
一根长方体木料，长5厘米，横截面的面积是0.06平方米.这根木料的体积是（3立方分米）
0.06平方米=6平方分米=600平方厘米
体积是：600×5=3000立方厘米=3立方分米
分析：先统一单位，把厘米换算成米，5cm=0.05m,体积=长x横截面积
小结：
长方体或正方体底面的面积在题目中叫做：占地面积，横截面。
长方体的体积＝ 长 × 宽 × 高 正方体体积＝ 棱长 ×棱长 × 棱长
底面积 底面积
所以长方体和正方体的体积也可以这样来计算：
长方体和正方体的体积= 底面积×高
用字母S表示底面积，则可以写成V = Sh
例题3.一块正方体的石料，棱长是7分米，这块石料的体积是多少立方分米？如果1立方分米石料重2.7千克，这块石料重多少千克？
解答
7×7×7=343（立方分米）
343×2.7=926.1（千克）
答：这块石料的体积是343立方分米，这块石料重只926.1千克。
分析：
【考点提示】
本题考查正方体体积的计算，掌握正方体的体积计算公式是解答的关键；
【解题方法提示】
正方体的体积=棱长x棱长x棱长，已知正方体的棱长，代入公式计算可得到其体积；接下来，用每立方分米石料的质量乘正方体的体积即可完成解答。
【随堂演练一】【B类】
1.长方体的底面积是24平方厘米，高是5厘米。它的体积是多少？
解答
24×5=120（立方厘米）
答：它的体积是120立方厘米。
分析：
【考点提示】
分析题意，回忆长方体的体积公式；
【解题方法提示】
长方体体积的两个公式：长方体的体积=长×宽x高，用字母表示是v=abh；长方体体积=底面积x高，用字母表示是v=sh；
由题中的已知条件可知用第二种方法更简便，选择简便的方法把数据代入公式进行解答。
2.家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是24平方分米，长3米。这根木料一共是多少方？
解答
2.4平方分米=0.024平方米，
0.024×3×500=0.072×500=36(方）
答：这些木料一共是36方。
故答案为：36.
分析：
首先根据长方体的体积公式：v=sh，求出一根方木的体积，然后再乘500即可.
3.一根长方体水泥柱，体积是1立方米，高是4米，它的底面积是多少？
解答
1：4=0.25（立方米）
答：所以底面积是0.25立方米。
分析：
长方体体积=底面积x高，现在知道了体积和高，代入公式进而求出底面积
4.有一块棱长是10厘米的正方体钢坯，锻造成宽和高都是5厘米的长方体钢材，求长方体钢材的长。
解答
（10×10×10）÷（5×5）
=1000÷25
=40（cm）
答：这根长方体钢材的长是40cm。
分析：
【考点提示】
此题考查的是长方体、正方体体积公式的应用，明确长方体、正方体体积公式是解答此题的关键；
【解题方法提示】
根据题意可知，物体的形状发生变化，但是体积不变；用正方体钢坯的体积除以长方体钢材的底面积即可求出长方体钢材的长。
有一个长方体，如果搞增加2厘米，就成为一个正方体，这是表面积比原来增加了56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？
解答
56÷4÷2=7（厘米）
7-2=5（厘米）
7×7×5
=49×5
=245（立方厘米）
答：原来长方体的体积是245立方厘米。
分析：
高增加2cm，实际上就增加了1个与原长方体等底的长方体，表面积就比原来增加了这个长方体的侧面积，侧面积=底面周长x高，故可用56平方厘米÷高2cm，即可求出原长方体的底面周长.由于高增加2cm后就成为一个正方体，说明原长方体的底面就是一个正方形，底面周长4=底面边长，底面边长-2=原长方体的高.最后根据长方体的体积=底面汽积×高即可计算出结果.
6.一块长方体的木板，体积是90立方分米。这块木板的长是60分米，宽是3分米。这块木板的厚度是多少分米？
解答
90÷60÷3
=0.5（分米）
答：这块木板的厚度是0.5分米。
分析：
【考点提示】
本题是一道关于长方体体积的题目，需要掌握长方体的体积计算公式；
【解题方法提示】
由于长方体的体积=长×宽×高，于是可以推出长方体的高=长方体的体积+长宽；结合已知条件列出算式90÷60÷3，利用末尾有零的福除法法则以及小数除法法则得到结果。
7.一根长方体钢材,长4.8米,横截面是一个边长5厘米的正方形。每立方分米钢重7.8千克,这根钢材重多少千克
解答
4.8米=48分米，5厘米=0.5分米，
0.5×0.5×48×7.8
=0.25×48×7.8
=12×7.8
=93.6（千克）
答：这根钢材重93.6千克。
分析：
米首先根据长方体的体积公式：v=sh，把数据代入公式求出钢材的体积，然后用钢材的体积乘每立方分米钢材的质量即可.
8.一块长方体铁板重468千克,又知铁板长2米,宽1.5米,厚2厘米。每立方分米的铁板重多少千克
解答
2米=20分米
1.5米=15分米
2厘米=0.2分米
20×15×0.2
=300×0.2
=60（立方分米）
468÷60=7.8（千克）
答：每立方米重7.8千克。
9.用一种车箱是长方体的汽车运煤，从里面量长3米，宽2.5米，装煤高度是0.4米，每立方米煤重1.4吨，5辆同样的汽车共运煤多少吨？
解答
3×2.5×0.4=3（立方米）；
1.4×3×5=21（吨）；
答：5辆同样的汽车共运煤21吨。
分析：
根据长方体的体积（容积）的计算方法，求出一车箱煤装多少立方米，再求出一车装煤的质量乘5即可，由此列式解答.
10.一个长方体火柴盒，长6厘米，宽4厘米，高2.5厘米。把4个这样的火柴盒包装成一个大长方体，体积是多少？
解答
2.5×4×6×4
=10×6×4
=60×4
=240（立方厘米）
答：一个长方体的体积是240立方厘米。
11.有一种汽车的油箱是长方体，从里面量长30厘米，宽25厘米，深18厘米。现在装进12升的汽油，油面离油箱顶还有几厘米？
解答
12升=12000立方厘米；12000÷（30×25）=16（厘米）；18-16=2（厘米）
答：油面离油箱顶还有2厘米.
故答案为：2厘米
分析：
要计算出油面离油箱顶还有几厘米，就首先要计算出油面的高度；用油的体积除以油箱的底面积，商即为油面的高；油箱的深就相当于是长方体的高，再用油箱的总高度减去油面的高度，差即为油面离油箱顶的距离.
12.学校要砌一道长20米，厚0.25米，高3米的砖墙，如果每立方米用砖510块。一共需要多少块砖？
解答
20×0.25×3=15（立方米）
510×15=7650（块）
答：一共需要7650块砖。
分析：
1.本题是有关长方体体积的应用题。我们先回忆一下长方体体积的计算公式：V=abh。
2.题目中长方体的长、宽、高都是已知的，所以可面根据公式V=abh，求出体积。
3.然后根据每立方米用砖510块，用乘法求出需要砖的数量。
点评：
此题主要考查长方体的体积计算，根据公式V=abh，求出体积，再用乘法求出需要砖的数量.
等积变形
将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
例4．在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米
解答
50厘米=5分米
（5×5×5）÷（25×20）+15
=125÷500+15
=15.25（分米）
答：那么容器中水深15.25分米.
故答案为：15.25分米.
分析：
这道题是关于长方体、正方体的体积公式的应用，首先要知道长方体的体积=长×宽×高，正方体的体积=棱长x棱长x棱长，题中长方体容器中已有水，再放进铁块，那么水就会上升，铁块的体积就是上升水的体积，然后再根据高=体积+底面积，求出放进铁块后上升水的高，最后加上原来水的高度即可.
两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
例5．把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长4厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。
解答
9×7×3+4×4×4
=63×3+16×4
=189+64
=253（立方厘米）
20253÷20=12.65（厘米）
答：这个长方体铁块的高是12.65厘米。
3、物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
例6．一个长60厘米、宽20厘米的盛水容器，把5块体积相等的铁块投入水中，容器中的水面正好上升了4厘米，求每块铁块的体积。
解答
60×20×4÷5=4800÷5=960（立方厘米）
答：每块铁块的体积是960立方厘米。
分析：
往盛水的容器里放入5个铁块后，水面升高了，升高了的水的体积就是这5个铁块的体积，升高的部分是一个长60厘米、宽20厘米、高4厘米的长方体，根据长方体的体积计算公式：V=abh列式解答即可.
【随堂演练二】【C类】
1.一个长方体玻璃容器，底面积是250平方厘米，高12厘米，里面盛有6厘米的水，现将一块石头放入水中，水面上升了4厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？
解答
250×4=1000（立方厘米）
答：这块石头的体积是1000立方厘米。
分析：
往盛水的长方体里放入一个石头后，水面升高了，升高了的水的体积就是这石头的体积，升高的部分是一个底面积是250平方厘米，高4厘米的长方体，根据长方体的体积计算公式列式解答即可.
2.一个长方体容器里面装有水，一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁块取出，水面下降18厘米；如果将一个长18厘米，宽16厘米，高12厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米
解答
正方体铁块的体积：24×24×24=13824（立方厘米）
长方体容器的底面积：13824÷18=768（平方厘米）
长方体铁块的体积：18×16×12=3456（立方厘米）
水面上升的高度：3456÷768=4.5（厘米）.
答：水面将上升4.5厘米。
分析：
先求出棱长为24厘米正方体铁块的体积；再根据“将铁块取出，水面下降18厘米“，进而用铁块的体积除以水面下降的厘米数，就是长方体容器的底面积；再求出长18厘米、宽16厘米、高12厘米的长方体铁块的体积，进而用长方体铁块的体积除以容器的底面积，即为水面上升的厘米数.
3.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。
解答
24÷6=4（平方厘米），因为2×2=4，所以棱长是2厘米；
54÷6=9（平方厘米），因为：3×3=9，所以：棱长是3厘米；
294÷6=49（平方厘米），因为：7×7=49，所以：棱长是7厘米；
大正方体体积：2×2×2+3×3×3+7×7×7=8+27+343=378（立方厘米）
答：这个大正方体的体积是378立方厘米。
分析：
根据正方体的特征，它的12条棱的长度都相等，6个面的面积都相等；正方体的表面积=棱长x棱长×6，正方体的体积=棱长x棱长x棱长；已知三个正方体的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米、294平方厘米，先分别求出三个正方体的棱长，把它们熔铸成一个大的正方体铁块，体积不变，由此再求三个正方体的体积之和即可.
4.有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁后，水面下降了0.5厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？
解答
5×5×5÷0.5=125÷0.5=250（平方厘米）
答：长方体容器的底面积是250平方厘米。
分析：
由题意可知：将正方体铁块放入水中，取出铁块后，水面下降的部分的水的体积就等于铁块的体积，铁块的边长已知，于是就等于知道了下降部分的水的体积，用下降部分的水的体积除以下降的高度，就是容器的底面积。
5.一个棱长为10CM的正方体容器里装着一些水，水深6CM。将水全部倒入一个长15CM，宽5CM,高8CM的长方体容器时，这时水深多少厘米？
解答
10×10×6=600（立方厘米）
600÷（15×5）=600÷75=8（厘米）
8-8=0（厘米）
答：这时水面与容器相差0厘米。
分析：
根据题意，应先求出这时倒入水箱里面的水深，要求水深，就要求出水的体积，即正方体容器的容积（v=sh），再用水的体积除以长方体水箱的底面积，即可求出长方体容器内的水高，然后用8厘米减去水高，解决问题.
6.有一个长40厘米，宽30厘米，深60厘米的长方体容器，里面水深40厘米，把一根长70厘米，底面边长是10厘米的长方体铁棒垂直地插入水中。当水面高度上升2厘米时，铁棒没在水中部分的长度是多少厘米？
解答
解：
（40×30×2）÷（10×10）
=2400÷100
=24（厘米）
答：铁棒水中部分的长度是24厘米.
（三）体积与容积单位的换算
例7．
5立方米=（ ）立方分米 1.5立方米=( )立方分米
2400立方分米=( )立方米 12500立方厘米=( )立方分米
3.6立方分米=( )立方厘米 3020立方厘米=（ ）立方分米
2.4L=（ ）ml 3.5L=（ ）dm3＝（ ）cm3
500ml＝（ ）L 760ml＝（ ）cm3=( )dm3
8.04dm3=（ ）L=（ ）ml 1750cm3=（ ）ml=（ ）L
3.5平方分米＝（ ）平方厘米
20升＝（ ）立方分米＝（ ）立方米
4250立方厘米＝（ ）立方分米
3.6升＝（ ）毫升＝（ ）立方厘米
4.08升＝（ ）升（ ）毫升
0.79立方米＝（ ）立方分米
解析
5立方米=（ 5000 ）立方分米 1.5立方米=( 1500 )立方分米
2400立方分米=( 2.4 )立方米 12500立方厘米=( 12.5 )立方分米
3.6立方分米=(3600 )立方厘米 3020立方厘米=（ 3.02 ）立方分米
2.4L=（ 2400 ）ml 3.5L=（ 3.5 ）dm3＝（ 3500 ）cm3
500ml＝（ 0.5 ）L 760ml＝（ 760 ）cm3=( 0.76 )dm3
8.04dm3=（ 8 ）L=（ 8040 ）ml 1750cm3=（ 1750 ）ml=（ 1.75 ）L
3.5平方分米＝（ 3500 ）平方厘米
20升＝（ 20 ）立方分米＝（ 0.02 ）立方米
4250立方厘米＝（ 4.25 ）立方分米
3.6升＝（ 3600 ）毫升＝（ 3600 ）立方厘米
4.08升＝（ 4 ）升（ 80 ）毫升
0.79立方米＝（ 790 ）立方分米
例8.一块正方体的石头，棱长是5分米，每立方米的石头大约重2.7千克，这块石头重有多少千克？
解答
5分米=0.5米
0.5×0.5×0.5×2.7=0.125×2.7=0.3375（千克）
答：这块石头重有0.3375千克。
分析：
根据正方体体积公式V=a3可求正方体石头的体积，再乘以2.7即可求解。
【随堂演练三】【A类】
一、填空题
4.25立方米﹦（ ）立方分米 390立方厘米﹦（ ）立方分米
1.02立方分米﹦（ ）立方厘米 960立方分米﹦（ ）立方米
84000立方厘米﹦（ ）立方分米 0.5立方分米﹦（ ）立方厘米
8.08立方分米=（ ）毫升 6.3升=（ ）毫升
1320毫升=（ ）升（ ）毫升=（ ）升
7100毫升=（ ）立方厘米=（ ）立方分米
0.8升=（ ）毫升=（ ）立方厘米
解析
4.25立方米﹦（ 4250 ）立方分米 390立方厘米﹦（ 0.39 ）立方分米
1.02立方分米﹦（ 1020 ）立方厘米 960立方分米﹦（ 0.96 ）立方米
84000立方厘米﹦（ 84 ）立方分米 0.5立方分米﹦（ 500 ）立方厘米
8.08立方分米=（ 8080 ）毫升 6.3升=（ 6300 ）毫升
1320毫升=（ 1 ）升（ 320 ）毫升=（ 1.32 ）升
7100毫升=（ 7100 ）立方厘米=（ 7.1 ）立方分米
0.8升=（ 800 ）毫升=（ 800 ）立方厘米
【随堂演练三】【B类】
二、解决问题
1、砌一道长24米，宽20米，高3米的砖墙，如果用每块体积的18立方分米的砖来砌，一共要这样的砖多少块？
解答
24米=240分米，20厘米=2分米，3米=30分米
240×2×30÷18
=14400÷18
=800（块）
答：一共需要这样的砖800块。
分析：
本题是一道关于长方体体积方面的题目，可依据长方体的体积计算方法求解；
【解题方法提示】
根据长方体的体积=长×宽×高求出长方体的体积，注意单位应为立方分米；接下来根据“砖墙的体积+18=所需砖块数量”即可求出一共需要这样的砖多少块。
2、一块长方体钢板，长3dm，宽2.5dm，厚16cm，这块钢板的体积是多少立方分米？换算成立方米是多少？
解答
3×2.5×16=120（立方分米）
120立方分米=0.12立方米
答：这块钢板的体积是120立方分米；换算成立方米是0.12立方米.
分析：
根据题意得：3×2.5×16=120（立方分米）
120立方分米=0.12立方米这块钢板的体积是120立方分米；换算成立方米是0.12米。
一块正方体的铜块，棱长是20厘米，每立方分米的铜重8.9千克。这块铜重多少千克？
解答
20厘米=2分米
8.9×23块
=8.9×8
=71.2（千克）
答：这块铜重71.2千克
4、一根长方体钢材,长4.8米,横截面是一个边长5厘米的正方形。每立方分米钢重7.8千克,这根钢材重多少千克
解答
4.8米=48分米，5厘米=0.5分米，
0.5×0.5×48×7.8-0.25×48×7.8
=12×7.8
=93.6（千克）
答：这根钢材重93.6千克。
分析：
首先根据长方体的体积公式：v=sh，把数据代入公式求出钢材的体积，然后用钢材的体积乘每立方分米钢材的质量即可.
5、一个长方体，长4米，宽3米，高2.4米，它的占地面积最大是多少平方米 表面积是多少平方米？体积是多少立方米？
解答
4×3=12（平方米）
（4×3+4×2.4+3×2.4）×2
=（12+9.6+7.2）×2
=28.8×2
=57.6（平方米）
4×3×2.4=12×2.4=28.8（立方米）
答：它的占地面积最大是12平方米，表面积是57.6宽平方米，体积是28.8立方米。
分析：
这个长方体的最大占地面积=长×宽；表面积=（长×宽+长×高+宽x高）×2；体积=长×宽x高，根据已知条件即可求这个长方体的占地面积、表面积、体积各是多少.
6、一种汽车上的油箱，里面长5dm，宽4dm，高2dm。这个油箱可以装汽油多少升？
解答
1升=1立方分米
5×4×2=40（立方分米）
40立方分米=40升
答：这个油箱可以装汽油4升。
分析：
首先根据长方体的容积公式：v=abh，求出油箱的容积是多少立方分米，然后换算成升即可.
7、一种正方体铁皮水箱棱长0.8米，这个水箱能装水多少升？（铁皮的厚度略去不计。）
解答
0.8米=8分米，
8×8×8=512（立方分米）=512（升）
答：这个水箱能装水512升。
分析：
根据正方体的体积（容积）公式：v=a3，把数据代入公式解答即可.
8、一个油桶，底面是边长2.5分米的正方形，高3.6分米。把这样的一桶油注入容积是750毫升的瓶子里，可以装多少瓶
解答
2.5×2.5×3.6=22.5（立方分米）
=22.5（升）
=22500（毫升）
22500÷750=30（瓶）
答：可以装满30瓶。
分析：
先根据长方体的体积公式V=abh，求出这样一桶油的体积是：2.5×2.5×3.6=22.5立方分米=22500毫升，然后根据除法的意义，计算出里面有多少个750毫升，就可以装几瓶.
1.填写比较表
单位名称 相邻两个单位之间的进率
长度
面积
体积
容积
解析
故答案为：米、分米、10；平方米、平方厘米、100；立方分米，立方厘米，1000
2. 1升=（ ）毫升
1升=（ ）立方分米
1毫升=（ ）立方厘米
解答
1升=1000毫升
1毫升=1厘米3（体积、容积进率及单位换算【常见的量-数与代数】）
故答案为：1000；1；1.
本题主要考查了体积单位的知识，关键要掌握单位间的进率，根据1升=1000毫升，1升=1分米，1毫升=1厘米的进率计算，如果是把高级单位写成低级单位，用乘法计算；如果是把低级单位写率成高级单位，用除法计算。
1、本题主要考查了体积单位的知识，关键要掌握单位间的进率；
2、先想它们之间的进率是多少，再看是把高级单位写成低级单位，还是把低级单位写成高级单位；
3、如果是把高级单位写成低级单位，用乘法计算；如果是把低级单位写成高级单位，用除法计算.
3.长方体或正方体容器容积的计算方法，跟（ ）的计算方法相同。但是要从容器的（ ）量长、宽、高。
解答
体积是指物体所占空间的大小；容积是指容器所能容纳物体的体积，是容器（箱子、仓库、油桶等）的内部体积；
容积的计算方法跟体积的计算方法相同，但要从容器内部量长，宽，高；体积则从物体的外面测量长、宽、高；
故答案为：体积；内部.
物体的体积是指物体所占空间的大小；物体的容积是指物体所能容纳物质的多少；它们的意义不同，在测量数据时，计算体积需从物体的外面测量；而计算容积需从物体的里面测量，但它们的计算方法相同，都是用长乘宽乘高；据此解答。
4.大单位化小单位要乘以进率，小单位化大单位要除以进率
【B类】
一、填空。
1. 正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大（ ）倍．
解答
正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大3×3=9倍；
故答案为：9.
分析：
根据正方体的表面积公式：s=6a2，再根据积的变立至化规律，积扩大的倍数等于因数扩大倍数的乘积.由此解答。
2. 1dm3的正方体可以分成（ ）个1cm3的小正方体。如果把这些小正方体排成一行，一共长（ ）。
解答
1立方分米=1000立方厘米，所以：1000÷1=1000（个），1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米；则总长度是1×1000=1000（厘米），
答：1立方分米的1个正方体可以分成1000个1立方厘米的小正方体，把这些小正方体排成一排，一共长1000厘米；
故答案为：1000，1000厘米。
分析：
（1）1立方分米=1000立方厘米，由此可以得出能量：够分成1000个1立方厘米的小正方体；
（2）1立方厘米的小正方体的棱长是1厘米，把这些小正方体排成一排，总长度是1×1000=1000厘米.
3.一个长方体的体积是96立方分米，底面积是16立方分米，它的高是( )分米．
解析
提示1：根据长方体的体积公式底面积乘高，那么长方入体的高等于体积除以底面积，列式解答即可。
提示2：此题主要考查的是长方体的体积公式的使用.
解：96÷16=6（分米），
答：这个长方体的高是6分米。
故答案为：6.
4.一个棱长是5分米的正方体水池，蓄水的水面低于池口2分米，水的容量是( )升
解析
解：5×5×（5-2）
=5×5×3，
=75（立方分米）
=75（升）
答：水的容量为75升。
故答案为：75.
要求水的容量，也就是求出底面积是5×5=25平方分米，高为5-2=3分米的长方体的体积.
此题考查了利用长方体的体积公式求容积的方法.
5.一根方木长20分米，把它锯成两段后，表面积增加了5平方分米，这根方木的体积是（ ）立方分米。
解析
求长方体的底面积：
5÷2=2.5（平方分米）；
求长方体的体积：
2.5×20=50（立方分米）；
答：这根方木的体积是50立方分米。
故答案为：50.
分析：
首先分析“把它锯成两段后，表面积增加了5平方分米“，增加了两个截面的面积，由此可以
求出它的一个截面的面积，然后利用长方体的体积公式：v=sh，列式解答.
6.选择下列相对应的数量填入括号内。
一根木料长（ ） 一瓶药水（ ）
一间客厅（ ） 一节火车车厢（ ）
A、130立方米 B、50毫升 C、3米 D、24平方米
解答
一根木料长3米；一瓶药水50毫升；一间客厅24平方米；一节火车车厢130立方米。
故选：C，B，D，A.
分析：
计量一根木料的长，用长度单位；计量一瓶药水的容积，用容积单位；计量一间客厅的面积，要用面积单位；计量一节火车车厢的容积用体积或容积单位.
二、判断。对的划“√”，错的划“×”
1. 两个表面积相等的长方体，长、宽、高一定相等；两个体积相等的长方体，长、宽、高一定相等。（ ）
2.把一块正方体的橡皮泥捏成一个长方体，体积不变。 （ ）
×√
三、“对号入座”选一选：（选择正确答案的序号填在括号里）
1、一本数学书的体积大约是220（ ）。
① m3 ② dm3 ③ cm3
解答
一本数学书的体积大约是220立方厘米；故选：③.
分析：
根据生活经验、对面积单位和数据大小的认识，可知，计量一本数学书的体积，应用体积单位，结合数据可知：应用“立方厘米”做单位；据此解答。
2、加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的（ ）。
① 表面积 ② 体积 ③ 容积
解析
根据题干可得，要求油箱要用多少铁皮，是求这个长方体的表面积。
故选：①。
分析：
根据油箱的特点，加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个长方体的表面积.
3、一个正方体的棱长扩大3倍，它的体积扩大（ ）倍。
① 3 ② 9 ③ 27
解答
正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33=27倍。故选：③
分析：
正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得.
4、下面正确的是（ ）。
① 一个物体的表面积有可能与体积一样大。 ② =0.06
③ 一个正方体的棱长之和是12 cm，它的体积是1 cm3。
解答
根据正方体表面积的意义，体积的意义以及正方体的特征进行判断.
故答案为：③
分析：
根据正方体表面积的意义，体积的意义以及正方体的特征进行判断.
5、至少（ ）个棱长2 cm的小正方体可以拼成一个大正方体。
① 4 ② 8 ③ 12
解答
利用小正方体拼成一个大正方体，大正方体的每条棱长上至少需要2个小正方体，所以拼组大正方体至少需要小正方体：
2×2×2=8（个），故选：②
分析：
利用小正方体拼成一个大正方体，大正方体的每条棱长上至少需要2个小正方体，由此利用正方体的体积公式即可计算得出需要的小正方体的总个数.
6、如果把长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么它的体积扩大________倍．
①3 ②9 ③27 ④10
解答
3×3×3
=9×3
=27
故答案为：③
7、用同样的金属制成一个长12.5分米，宽5分米，深2分米的长方体桶；还制成一个棱长5分米的正方体桶，它们的体积（ ）。
①长方体大 ②正方体大 ③同样大
解答
5×5×5=25×5
=125（立方分米）
12.5×5×2体
=62.5×2
=125（立方分米）
125=125
故答案为：③
8、一个药水瓶装满250毫升的药水，我们就说这个药水瓶的（ ）是250毫升。
①体积 ②重量 ③容积
解析
解：一个药水瓶装满250毫升的药水，我们就说这个药水瓶的容积是250毫升.
所以③选项是正确的.
解析
根据容积的含义：容器里所能容纳物体的多少，叫做容器的容积，由此得解。
明确容积的含义，是解答此题的关键.
四、应用
1、一个长方体火柴盒，长6厘米，宽4厘米，高2.5厘米。把4个这样的火柴盒包装成一个大长方体，体积是多少？
解答
2.5×4×6×4
=10×6×4
=60×4
=240（立方厘米）
答：一个长方体的体积是240立方厘米。
2、一个长方体水箱的容积是200升，这个水箱的底面是一个边长50厘米的正方形，水箱的高是多少厘米？
解答
200升=200立方分米，50厘米=5分米
200÷（5×5）=200÷25
=8（分米）
=80（厘米）
答：水箱的高是80厘米。
分析：
长方体的体积=底面积x高，由“一个长方体水箱容积是200升，这个水箱底面是一个边长为50厘米的正方形”，可以先求出水箱底面的面积，进而求出水箱的高.
3、有一种汽车的油箱是长方体，从里面量长30厘米，宽25厘米，深18厘米。现在装进12升的汽油，油面离油箱顶还有几厘米？
解答
12升=12000立方厘米
12000÷（30×25）=16（厘米）
18-16=2（厘米）
答：油面离油箱顶还有2厘米.
故答案为：2厘米
分析：
要计算出油面离油箱顶还有几厘米，就首先要计算出油面的高度；用油的体积除以油箱的底面积，商即为油面的高；油箱的深就相当于是长方体的高，再用油箱的总高度减去油面的高度，差即为油面离油箱顶的距离.
4、把一个棱长8厘米的正方体铁块，放入长32厘米，宽16厘米水深4厘米的长方体水箱中，水面上升多少厘米？
解答
（8×8×8）÷（32×16）=512÷512=1（厘米）
答：水面上升1厘米。
分析：
先求出正方体铁块的体积，这个体积就是升高水的体积，然后求出长方体容器的底面积，用正方体铁块的体积除以长方体的底面积就是水上升了多少厘米.
5、把一块棱长8dm的正方体钢锭，熔铸成横截面积是0.1m2的长方体钢材，熔铸后的钢材有多长？
解答
设熔铸后钢材的长是x米，
8分米=0.8米，
0.1x=0.83
0.1x÷0.1=0.512÷0.1
x=5.12
答：熔铸后的钢材有5.12米。
分析：
根据正方体的体积公式：v=a3，长方体的体积公式：v=sh，把正方体的钢锭熔铸成长方体后体积不变，据此列方程解答。
6、学校要砌一道长20米，厚0.25米，高3米的砖墙，如果每立方米用砖510块。一共需要多少块砖？
解答
20×0.25×3=15（立方米）
510×15=7650（块）
答：一共需要7650块砖。
分析：
1.本题是有关长方体体积的应用题。我们先回忆一下长方体体积的计算公式：V=abh。
2.题目中长方体的长、宽、高都是已知的，所以可根据公式V=abh，求出体积。
3.然后根据每立方米用砖510块，用乘法求出需要砖的数量。
点评：
此题主要考查长方体的体积计算，根据公式V=abh，求出体积，再用乘法求出需要砖的数量.
7、在一个封闭的水箱内装入水（如图1），水深为24厘米，如果把这个水箱立起来（如图2），水深多少厘米？如果在图1中放一个不规则的石块，水面就会达到28厘米，石块的体积是多少？
解答
90×60×24÷（60×30）
=5400×24÷1800
=129600÷1800=72（厘米）
90×60×（28-24）
=5400×4
=21600（cm3）
21600立方厘米=21.6立方分米
答：水深72厘米，石块的体积是21.6立方分米。
【资料介绍】该资料结合长方体与正方体的体积求法的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
知识讲解
×进率
÷进率
模块二
课堂精讲
模块三
小结
模块四
课后巩固练习
PAGE
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
页 1中小学教育资源及组卷应用平台
【专题讲义】人教版五年级数学下册
第6讲 长方体与正方体的体积求法专题精讲（学生版）
知识要点梳理
课程目标 掌握因数倍数的概念及因数倍数的求法；掌握2、3、5的倍数的特征；通过观察一个数的尾数确定一个数是不是2、3、5的倍数；
课程重点 会求一个数的因数和倍数；
课程难点 掌握2、3、5的倍数的特征；
教学方法建议 通过探究和日常生活中的实例引入问题。
【知识框架】
考点1 长方体和正方体的体积
1、长方体、正方体的体积的基本概念
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
一个长方体所占空间的大小叫做这个长方体的体积
一个正方体所占空间的大小叫做这个正方体的体积
2、长方体和正方体的体积公式
（1）长方体的体积=长×宽×高 V=abh
（2）长=体积÷宽÷高 a=V÷b÷h
（3）宽=体积÷长÷高 b=V÷a÷h
（4）高=体积÷长÷宽 h= V÷a÷b
（5）正方体的体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a
（6）长方体（或正方体）的体积=底面积×高 V=Sh （S表示底面积）
考点2 等积变形
1、将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2、两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3、物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
考点3 容积以及体积单位间的换算
容积的概念
箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做他们的容积。
（容积通常比体积小或相等）
容积单位
常用的容积单位有升和毫升也可以写成L和ml。
1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 1升=1000毫升
a ( C:\\DOCUME~1\\ADMINI~1\\LOCALS~1\\Temp\\msohtml1\\01\\clip_image001.wmz" \t "_blank )3读作“a的立方”表示3个a相乘，（即a·a·a）
【体积单位换算】 高级单位 低级单位
低级单位 高级单位
进率： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米（进率1000）
1立方分米＝1000立方厘米＝1升＝1000毫升
1立方厘米＝1毫升
1平方米=100平方分米=10000平方厘米
1平方千米=100公顷=1000000平方米
（拓展：重量单位进率，时间单位进率，长度单位进率）
（一）长方体与正方体的体积
例1．填表
长方体 长/分米 宽/分米 高/分米 体积（立方分米）
5 1 2
4 3 5
10 2 4
正方体 棱长/米 体积（立方米）
6
30
0.4
例题2. 一根长方体木料，长5厘米，横截面的面积是0.06平方厘米。这根木料的体积是多少？
小结：
长方体或正方体底面的面积在题目中叫做：占地面积，横截面。
长方体的体积＝ 长 × 宽 × 高 正方体体积＝ 棱长 ×棱长 × 棱长
底面积 底面积
所以长方体和正方体的体积也可以这样来计算：
长方体和正方体的体积= 底面积×高
用字母S表示底面积，则可以写成V = Sh
例题3.一块正方体的石料，棱长是7分米，这块石料的体积是多少立方分米？如果1立方分米石料重2.7千克，这块石料重多少千克？
【随堂演练一】【B类】
1.长方体的底面积是24平方厘米，高是5厘米。它的体积是多少？
2.家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是24平方分米，长3米。这根木料一共是多少方？
3.一根长方体水泥柱，体积是1立方米，高是4米，它的底面积是多少？
4.有一块棱长是10厘米的正方体钢坯，锻造成宽和高都是5厘米的长方体钢材，求长方体钢材的长。
有一个长方体，如果搞增加2厘米，就成为一个正方体，这是表面积比原来增加了56平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？
6.一块长方体的木板，体积是90立方分米。这块木板的长是60分米，宽是3分米。这块木板的厚度是多少分米？
7.一根长方体钢材,长4.8米,横截面是一个边长5厘米的正方形。每立方分米钢重7.8千克,这根钢材重多少千克
8.一块长方体铁板重468千克,又知铁板长2米,宽1.5米,厚2厘米。每立方分米的铁板重多少千克
9.用一种车箱是长方体的汽车运煤，从里面量长3米，宽2.5米，装煤高度是0.4米，每立方米煤重1.4吨，5辆同样的汽车共运煤多少吨？
10.一个长方体火柴盒，长6厘米，宽4厘米，高2.5厘米。把4个这样的火柴盒包装成一个大长方体，体积是多少？
11.有一种汽车的油箱是长方体，从里面量长30厘米，宽25厘米，深18厘米。现在装进12升的汽油，油面离油箱顶还有几厘米？
12.学校要砌一道长20米，厚0.25米，高3米的砖墙，如果每立方米用砖510块。一共需要多少块砖？
等积变形
将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
例4．在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米
两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
例5．把一个长9厘米，宽7厘米，高3厘米的长方体铁块和一个棱长4厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积是20平方厘米的长方体，求这个长方体的高。
3、物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
例6．一个长60厘米、宽20厘米的盛水容器，把5块体积相等的铁块投入水中，容器中的水面正好上升了4厘米，求每块铁块的体积。
【随堂演练二】【C类】
1.一个长方体玻璃容器，底面积是250平方厘米，高12厘米，里面盛有6厘米的水，现将一块石头放入水中，水面上升了4厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？
2.一个长方体容器里面装有水，一块棱长24厘米的正方体铁块浸没在水中。现将铁块取出，水面下降18厘米；如果将一个长18厘米，宽16厘米，高12厘米的长方体铁块浸入水中：水面将上升多少厘米
3.有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。
4.有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。取出铁后，水面下降了0.5厘米。这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？
5.一个棱长为10CM的正方体容器里装着一些水，水深6CM。将水全部倒入一个长15CM，宽5CM,高8CM的长方体容器时，这时水深多少厘米？
6.有一个长40厘米，宽30厘米，深60厘米的长方体容器，里面水深40厘米，把一根长70厘米，底面边长是10厘米的长方体铁棒垂直地插入水中。当水面高度上升2厘米时，铁棒没在水中部分的长度是多少厘米？
（三）体积与容积单位的换算
例7．
5立方米=（ ）立方分米 1.5立方米=( )立方分米
2400立方分米=( )立方米 12500立方厘米=( )立方分米
3.6立方分米=( )立方厘米 3020立方厘米=（ ）立方分米
2.4L=（ ）ml 3.5L=（ ）dm3＝（ ）cm3
500ml＝（ ）L 760ml＝（ ）cm3=( )dm3
8.04dm3=（ ）L=（ ）ml 1750cm3=（ ）ml=（ ）L
3.5平方分米＝（ ）平方厘米
20升＝（ ）立方分米＝（ ）立方米
4250立方厘米＝（ ）立方分米
3.6升＝（ ）毫升＝（ ）立方厘米
4.08升＝（ ）升（ ）毫升
0.79立方米＝（ ）立方分米
例8.一块正方体的石头，棱长是5分米，每立方米的石头大约重2.7千克，这块石头重有多少千克？
【随堂演练三】【A类】
一、填空题
4.25立方米﹦（ ）立方分米 390立方厘米﹦（ ）立方分米
1.02立方分米﹦（ ）立方厘米 960立方分米﹦（ ）立方米
84000立方厘米﹦（ ）立方分米 0.5立方分米﹦（ ）立方厘米
8.08立方分米=（ ）毫升 6.3升=（ ）毫升
1320毫升=（ ）升（ ）毫升=（ ）升
7100毫升=（ ）立方厘米=（ ）立方分米
0.8升=（ ）毫升=（ ）立方厘米
【随堂演练三】【B类】
二、解决问题
1、砌一道长24米，宽20米，高3米的砖墙，如果用每块体积的18立方分米的砖来砌，一共要这样的砖多少块？
2、一块长方体钢板，长3dm，宽2.5dm，厚16cm，这块钢板的体积是多少立方分米？换算成立方米是多少？
一块正方体的铜块，棱长是20厘米，每立方分米的铜重8.9千克。这块铜重多少千克？
4、一根长方体钢材,长4.8米,横截面是一个边长5厘米的正方形。每立方分米钢重7.8千克,这根钢材重多少千克
5、一个长方体，长4米，宽3米，高2.4米，它的占地面积最大是多少平方米 表面积是多少平方米？体积是多少立方米？
6、一种汽车上的油箱，里面长5dm，宽4dm，高2dm。这个油箱可以装汽油多少升？
7、一种正方体铁皮水箱棱长0.8米，这个水箱能装水多少升？（铁皮的厚度略去不计。）
8、一个油桶，底面是边长2.5分米的正方形，高3.6分米。把这样的一桶油注入容积是750毫升的瓶子里，可以装多少瓶
1.填写比较表
单位名称 相邻两个单位之间的进率
长度
面积
体积
容积
2. 1升=（ ）毫升
1升=（ ）立方分米
1毫升=（ ）立方厘米
3.长方体或正方体容器容积的计算方法，跟（ ）的计算方法相同。但是要从容器的（ ）量长、宽、高。
4.大单位化小单位要乘以进率，小单位化大单位要除以进率
【B类】
一、填空。
1. 正方体的棱长扩大3倍，它的表面积就扩大（ ）倍．
2. 1dm3的正方体可以分成（ ）个1cm3的小正方体。如果把这些小正方体排成一行，一共长（ ）。
3.一个长方体的体积是96立方分米，底面积是16立方分米，它的高是( )分米．
4.一个棱长是5分米的正方体水池，蓄水的水面低于池口2分米，水的容量是( )升
5.一根方木长20分米，把它锯成两段后，表面积增加了5平方分米，这根方木的体积是（ ）立方分米。
6.选择下列相对应的数量填入括号内。
一根木料长（ ） 一瓶药水（ ）
一间客厅（ ） 一节火车车厢（ ）
A、130立方米 B、50毫升 C、3米 D、24平方米
二、判断。对的划“√”，错的划“×”
1. 两个表面积相等的长方体，长、宽、高一定相等；两个体积相等的长方体，长、宽、高一定相等。（ ）
2.把一块正方体的橡皮泥捏成一个长方体，体积不变。 （ ）
三、“对号入座”选一选：（选择正确答案的序号填在括号里）
1、一本数学书的体积大约是220（ ）。
① m3 ② dm3 ③ cm3
2、加工一个长方体油箱要用多少铁皮，是求这个油箱的（ ）。
① 表面积 ② 体积 ③ 容积
3、一个正方体的棱长扩大3倍，它的体积扩大（ ）倍。
① 3 ② 9 ③ 27
4、下面正确的是（ ）。
① 一个物体的表面积有可能与体积一样大。 ② =0.06
③ 一个正方体的棱长之和是12 cm，它的体积是1 cm3。
5、至少（ ）个棱长2 cm的小正方体可以拼成一个大正方体。
① 4 ② 8 ③ 12
6、如果把长方体的长、宽、高都扩大3倍，那么它的体积扩大________倍．
①3 ②9 ③27 ④10
7、用同样的金属制成一个长12.5分米，宽5分米，深2分米的长方体桶；还制成一个棱长5分米的正方体桶，它们的体积（ ）。
①长方体大 ②正方体大 ③同样大
8、一个药水瓶装满250毫升的药水，我们就说这个药水瓶的（ ）是250毫升。
①体积 ②重量 ③容积
四、应用
1、一个长方体火柴盒，长6厘米，宽4厘米，高2.5厘米。把4个这样的火柴盒包装成一个大长方体，体积是多少？
2、一个长方体水箱的容积是200升，这个水箱的底面是一个边长50厘米的正方形，水箱的高是多少厘米？
3、有一种汽车的油箱是长方体，从里面量长30厘米，宽25厘米，深18厘米。现在装进12升的汽油，油面离油箱顶还有几厘米？
4、把一个棱长8厘米的正方体铁块，放入长32厘米，宽16厘米水深4厘米的长方体水箱中，水面上升多少厘米？
5、把一块棱长8dm的正方体钢锭，熔铸成横截面积是0.1m2的长方体钢材，熔铸后的钢材有多长？
6、学校要砌一道长20米，厚0.25米，高3米的砖墙，如果每立方米用砖510块。一共需要多少块砖？
7、在一个封闭的水箱内装入水（如图1），水深为24厘米，如果把这个水箱立起来（如图2），水深多少厘米？如果在图1中放一个不规则的石块，水面就会达到28厘米，石块的体积是多少？
【资料介绍】该资料结合长方体与正方体的体积求法的知识点、考点与考题精编而成，学生版+教师版双具备，适用性强，既方便学生高效复习，也便于老师备课，为授课之首选。
模块一
知识讲解
×进率
÷进率
模块二
课堂精讲
模块三
小结
模块四
课后巩固练习
PAGE
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
页 1
