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3.2.2 直线的两点式方程
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为( )
A.5x＋3y－25＝0 B.5x－3y－25＝0
C.3x－5y－25＝0 D.5x－3y＋25＝0
答案 B
解析 由两点式得：＝，所以得5x－3y－25＝0.
2.下列说法中正确的是( )
A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示
B.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示
C.不经过原点的直线都可以用方程＋＝1来表示
D.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)来表示
答案 D
3.直线＋＝1过第一、三、四象限，则( )
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
答案 B
4.已知M，A(1,2)，B(3,1)，则过点M和线段AB的中点的直线的斜率为( )
A.－2 B.2 C. D.－
答案 B
解析 AB的中点N的坐标为，
∴kMN＝＝2.
5.以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0
C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0
答案 B
解析 因为kAB＝＝，
AB的中点坐标为(－2,2)，
所以所求直线方程为y－2＝－3(x＋2)，
化简为3x＋y＋4＝0.
6.若直线l过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 009，b)在直线l上，则b的值为( )
A.2 019 B.2 018 C.2 017 D.2 016
答案 A
解析 由直线的两点式方程得直线l的方程为
＝，即y＝2x＋1，
令x＝1 009，则有b＝2×1 009＋1，即b＝2 019.
7.过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数多条
答案 C
解析 当过原点时，有一条符合题意；当与坐标轴截距都为正数时，有一条；当与坐标轴截距互为相反数且不为0时，有一条，共3条.
8.两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
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答案 A
解析 两条直线化为截距式分别为＋＝1，＋＝1.假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A符合.
二、填空题
9.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________.
答案 3x＋y－6＝0
解析 由题意知直线过点(2,0)，
又直线过点(1,3)，由两点式可得，＝，
整理得3x＋y－6＝0.
10.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是_______________________________________________________________________.
答案 ＋＝1
解析 设A(m,0)，B(0，n)，
由P(1,3)是AB的中点可得m＝2，n＝6，
即A，B的坐标分别为(2,0)，(0,6)，
则l的截距式方程是＋＝1.
11.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为____________________.
答案 ＋y＝1或＋＝1
解析 设直线l在y轴上的截距为a(a≠0)，
则在x轴上的截距为a＋1(a≠－1)，
则l的方程为＋＝1，
代入点A(6，－2)得－＝1，
即a2－3a＋2＝0，∴a＝2或a＝1，
∴直线l的方程为＋y＝1或＋＝1.
三、解答题
12.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0).
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(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
解 (1)由截距式，得边AC所在直线的方程为
＋＝1，即x－2y＋8＝0.
由两点式，得边AB所在直线的方程为＝，
即x＋y－4＝0.
(2)由题意，得点D的坐标为(－4,2)，
由两点式，得边BD所在直线的方程为＝，
即2x－y＋10＝0.
13.在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线MN的截距式方程.
解 (1)设C(x0，y0)，
则AC边的中点为M，
BC边的中点为N，
因为M在y轴上，所以＝0，解得x0＝－5.
又因为N在x轴上，所以＝0，解得y0＝－3.
即C(－5，－3).
(2)由(1)可得M，N(1,0)，
所以直线MN的截距式方程为＋＝1.
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14.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为_______________________.
答案 x＋y±6＝0或x－y±6＝0
解析 ∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，
∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0，若l在两坐标轴上的截距相等，且设为a(a≠0)，
则直线方程为＋＝1，即x＋y－a＝0.
∵|a|·|a|＝18，即a2＝36，∴a＝±6，
∴直线方程为x＋y±6＝0.
若l在两坐标轴上的截距互为相反数，不妨设横截距为a，则纵截距为－a(a≠0)，
故直线方程为＋＝1，即x－y－a＝0.
∵|－a|·|a|＝18，即a2＝36，
∴a＝±6，∴直线方程为x－y±6＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋y±6＝0或x－y±6＝0.
15.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
解 (1)令x＝0，得y＝a－2；令y＝0，得x＝(a≠－1).
∵l在两坐标轴上的截距相等，∴a－2＝，
解得a＝2或a＝0，
∴所求的直线l方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
(2)直线l的方程可化为y＝－(a＋1)x＋a－2，
∵l不过第二象限，∴∴a≤－1，
∴a的取值范围为(－∞，－1].
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3.2.2 直线的两点式方程
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.经过两点(5,0)，(2，－5)的直线方程为( )
A.5x＋3y－25＝0 B.5x－3y－25＝0
C.3x－5y－25＝0 D.5x－3y＋25＝0
2.下列说法中正确的是( )
A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)来表示
B.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b来表示
C.不经过原点的直线都可以用方程＋＝1来表示
D.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)来表示
3.直线＋＝1过第一、三、四象限，则( )
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
4.已知M，A(1,2)，B(3,1)，则过点M和线段AB的中点的直线的斜率为( )
A.－2 B.2 C. D.－
5.以A(1,3)，B(－5,1)为端点的线段的垂直平分线方程是( )
A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0
C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0
6.若直线l过点(－1，－1)和(2,5)，且点(1 009，b)在直线l上，则b的值为( )
A.2 019 B.2 018 C.2 017 D.2 016
7.过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数多条
8.两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是( )
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二、填空题
9.过点(1,3)且在x轴上的截距为2的直线方程是______________.
10.过点P(1,3)的直线l分别与两坐标轴交于A，B两点，若P为AB的中点，则直线l的截距式方程是_______________________________________________________________________.
11.若直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，且过定点A(6，－2)，则直线l的方程为____________________.
三、解答题
12.已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－2,6)，C(－8,0).
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(1)求边AC和AB所在直线的方程；
(2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.
13.在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线MN的截距式方程.
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14.若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为_______________________.
15.设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
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3.2.2 直线的两点式方程
第三章 §3.2 直线的方程
知识点一 直线的两点式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
两点式 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2 ? 斜率存在且不为0
知识点二 直线的截距式方程
名称 已知条件 示意图 方程 使用范围
截距式 在x，y轴上的截距分别为a，b且a≠0，b≠0 ? __________ 斜率存在且不为0，不过原点
知识点三 线段的中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，设P(x，y)是线段P1P2的中点，
则
1.不经过原点的直线都可以用方程 表示.( )
2.能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示.( )
3.能用截距式方程表示的直线都能用两点式表示.( )
4.直线y＝x在x轴和y轴上的截距均为0.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
√
√
2
题型探究
PART TWO
题型一 直线的两点式方程
例1 已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边所在的直线方程；
解 BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
故BC边所在的直线方程为2x＋5y＋10＝0.
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解 设BC的中点为M(a，b)，
又BC边的中线过点A(－3,2)，
所以BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
引申探究
若本例条件不变，试求BC边的垂直平分线所在的直线方程.
即10x－4y－37＝0.
反思感悟
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴.若满足，则考虑用两点式求方程.
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误，在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系，即x2与y2是同一点坐标，而x1与y1是另一点坐标.
跟踪训练1 (1)过点A(－2,1)，B(3，－3)的直线方程为
A.4x－5y＋13＝0 B.4x＋5y＋3＝0
C.5x＋4y＋5＝0 D.5x－4y＋8＝0
√
解析 因为直线过点(－2,1)和(3，－3)，
化简得4x＋5y＋3＝0.
(2)(2018·中山高一检测)如图，已知A(1,2)，B(－1,4)，C(5,2).
①求线段AB中点D的坐标；
解 ①因为A(1,2)，B(－1,4)，
即D(0,3).
②求△ABC的边AB上的中线所在的直线方程.
解 △ABC的边AB上的中线即线段CD，
因为C(5,2)，D(0,3).
化简可得x＋5y－15＝0.
题型二 直线的截距式方程
例2 求过点A(5,2)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
又∵l过点A(5,2)，∴5－2＝a，解得a＝3，
∴l的方程为x－y－3＝0.
综上所述，直线l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.
反思感悟
(1)如果问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线截距式的方程，用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用直线截距式的方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
√
解析 设直线在两坐标轴上的截距分别为a，b.
(2)(2018·株州高一检测)已知直线l过点A(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l的方程.
a2－4a＋4＝0，解得a＝2，所以b＝4.
所以l：2x＋y－4＝0.
直线方程的灵活应用
核心素养之数学运算
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN
典例 (2018·临沂高一检测)已知△ABC的一个顶点是A(3，－1)，∠ABC，∠ACB的平分线方程分别为x＝0，y＝x.
解 如图.
因为∠ABC，∠ACB的平分线方程分别是x＝0，y＝x，
所以AB与BC关于x＝0对称，AC与BC关于y＝x对称.
A(3，－1)关于x＝0的对称点A′(－3，－1)在直线BC上，
A关于y＝x的对称点A″(－1,3)也在直线BC上.
由两点式求得直线BC的方程为y＝2x＋5.
(2)求直线AB的方程.
解 因为直线AB与直线BC关于x＝0对称，
所以直线AB与BC的斜率互为相反数，
由(1)知直线BC的斜率为2，
所以直线AB的斜率为－2，
又因为点A的坐标为(3，－1)，
所以直线AB的方程为y－(－1)＝－2(x－3)，
即2x＋y－5＝0.
素养
评析
(1)理解题目条件，角的两边关于角平分线对称.
(2)画出图形，借助图形分析A关于直线x＝0的对称点A′在BC上，A关于y＝x的对称点A″也在BC上，体现了直观想象的数学核心素养.
(3)分别求出A′，A″两点的坐标，再根据两点式求出BC边所在直线方程，突出体现了数学运算的数学核心素养.
3
达标检测
PART THREE
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
2.经过M(3,2)与N(6,2)两点的直线方程为
A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6
√
解析 由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
4.过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为______________________.
2x－y＝0或x－y＋1＝0
解析 当直线过原点时，得直线方程为2x－y＝0；
当在坐标轴上的截距不为零时，
将x＝1，y＝2代入方程可得a＝－1，
得直线方程为x－y＋1＝0.
∴直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
1
2
3
4
5
5.已知点A(3,2)，B(－1,4)，则经过点C(2,5)且经过线段AB的中点的直线方程为____________.
2x－y＋1＝0
解析 AB的中点坐标为(1,3)，
即2x－y＋1＝0.
1.当直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式 求
它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式.
2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便.注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
