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3.1.1 倾斜角与斜率
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 A
解析 由题意知k＝＝，
∴直线的倾斜角为30°.
2.已知直线l的斜率的绝对值为，则直线l的倾斜角为( )
A.60° B.30°
C.60°或120° D.30°或150°
答案 C
解析 由题意知|tan α|＝，
即tan α＝或tan α＝－，
∴直线l的倾斜角为60°或120°.
3.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为( )
A.－1 B.1 C.2 D.
答案 D
解析 由＝2，得m＝.
4.下列说法中，正确的个数是( )
①任何一条直线都有唯一的斜率；
②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
③任何一条直线都有唯一的倾斜角.
A.0 B.1 C.2 D.3
答案 B
解析 ①错，因为倾斜角为90°的直线没有斜率；②错，因为0°<α<90°时，k>0,90°<α<180°时，k<0；③对.
5.若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.
答案 C
解析 ∵直线的斜率k∈(－∞，]，∴k≤tan ，∴该直线的倾斜角α的取值范围是∪.故选C.
6.直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A.0°≤α≤90°
B.90°≤α<180°
C.90°≤α<180°或α＝0°
D.90°≤α≤135°
答案 C
7.在平面直角坐标系中，正△ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为( )
A.－2 B.0
C. D.2
答案 B
解析 由BC边所在直线的斜率是0知，直线BC与x轴平行或重合，所以直线AC，AB的倾斜角互为补角.根据直线斜率的定义知，直线AC，AB的斜率之和为0.故选B.
8.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
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A.k1B.k3C.k3D.k1答案 D
解析 由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，
且l2比l3的倾斜角大.∴k1二、填空题
9.已知直线l的倾斜角为2α－20°，则α的取值范围是______.
答案 10°≤α<100°
解析 由0°≤2α－20°<180°，得10°≤α<100°.
10.已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________.
答案 (3,0)或(0，－3)
解析 若设点P的坐标为P(x,0)，
则k＝＝tan 45°＝1，
∴x＝3，即P(3,0).
若设点P的坐标为P(0，y)，
则k＝＝tan 45°＝1，
∴y＝－3，即P(0，－3).
11.已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________.
答案
解析 设直线PQ的倾斜角为θ，则0°≤θ<180°，
∵kPQ＝－，
∴tan θ＝－，则θ＝120°.
将直线绕点P顺时针旋转60°，
所得直线的倾斜角为60°，
∴其斜率为tan 60°＝.
三、解答题
12.若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：＋＝.
证明 由于A，B，C三点共线，
所以此直线的斜率既可用A，B两点的坐标表示，也可用A，C两点的坐标表示，于是＝，
由此可得a＋b＝ab，
两边同时除以ab，得＋＝.
13.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
解 ∵直线l与线段AB有公共点，
∴直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，当l的倾斜角小于90°时，k≥kPB；当l的倾斜角大于90°时，k≤kPA.
∵kPA＝＝－1，kPB＝＝3，
∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞).
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14.若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________.
答案 (－∞，1)∪(1，＋∞)
解析 kAB＝＝，kAC＝＝＝0.
要使A，B，C三点能构成三角形，需三点不共线，
即kAB≠kAC，∴≠0，∴k≠1.
15.已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值.
解 如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2).
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由于的几何意义是直线OP的斜率，
且kOA＝2，kOB＝，
所以可求得的最大值为2，最小值为.
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3.1.1 倾斜角与斜率
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.若直线过坐标平面内两点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
2.已知直线l的斜率的绝对值为，则直线l的倾斜角为( )
A.60° B.30°
C.60°或120° D.30°或150°
3.已知经过点P(3，m)和点Q(m，－2)的直线的斜率为2，则m的值为( )
A.－1 B.1 C.2 D.
4.下列说法中，正确的个数是( )
①任何一条直线都有唯一的斜率；
②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
③任何一条直线都有唯一的倾斜角.
A.0 B.1 C.2 D.3
5.若某直线的斜率k∈(－∞，]，则该直线的倾斜角α的取值范围是( )
A. B.
C.∪ D.
6.直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A.0°≤α≤90°
B.90°≤α<180°
C.90°≤α<180°或α＝0°
D.90°≤α≤135°
7.在平面直角坐标系中，正△ABC的BC边所在直线的斜率是0，则AC，AB边所在直线的斜率之和为( )
A.－2 B.0
C. D.2
8.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A.k1B.k3C.k3D.k1二、填空题
9.已知直线l的倾斜角为2α－20°，则α的取值范围是______.
10.已知点A(2，－1)，若在坐标轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角为45°，则点P的坐标为________.
11.已知直线PQ的斜率为－，将直线绕点P顺时针旋转60°所得的直线的斜率是________.
三、解答题
12.若A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)三点共线，求证：＋＝.
13.已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(2，－1)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
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14.若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________.
15.已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值.
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3.1.1 倾斜角与斜率
第三章 §3.1 直线的倾斜角与斜率
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解直线的斜率和倾斜角的概念.
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.
知识点一 直线的倾斜角
1.倾斜角的定义
(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴 与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
2.直线的倾斜角α的取值范围为 .
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个 以及它的
________，二者缺一不可.
正向
0°≤α<180°
定点
倾斜角
知识点二 直线的斜率
1.直线的斜率
把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ .
正切值
tan α
2.斜率与倾斜角的对应关系
图示 ? ? ? ?
倾斜角
(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率
(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
3.过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝_______.
1.任一直线都有倾斜角，都存在斜率.( )
2.任何一条直线有且只有一个斜率和它对应.( )
3.若直线的倾斜角为α，则0°≤α≤180°.( )
4.一个倾斜角α不能确定一条直线.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
例1 (1)已知直线l的倾斜角为θ－25°，则角θ的取值范围为
A.25°≤θ<155° B.－25°≤θ<155°
C.0°≤θ<180° D.25°≤θ<205°
题型一 直线的倾斜角
√
解析 因为直线l的倾斜角为θ－25°，
所以0°≤θ－25°<180°，
所以25°≤θ<205°.
(2)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是
A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°
C.90°<α<180° D.0°<α<180°
√
解析 直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，
又直线l经过第二、四象限，
所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.
反思感悟
(1)解答本类题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
跟踪训练1 已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为__________.
60°或120°
解析 有两种情况：①如图(1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.
②如图(2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.
题型二 直线的斜率
例2 经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2,3)，B(4,5)；
又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝45°.
(2)C(－2,3)，D(2，－1)；
(3)P(－3,1)，Q(－3,10).
解 不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，所以倾斜角α＝90°.
反思感悟
(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项
①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；
②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置.
(2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.
倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率k 0 1 －1
跟踪训练2 (1)若直线的倾斜角为60°，则直线的斜率为
√
(2)已知过A(3,1)，B(m，－2)的直线的斜率为1，则m的值为____.
0
题型三 直线的斜率的应用
例3 如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求实数m的值.
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，
反思感悟
斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的.直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因.
跟踪训练3 已知三点A(0,1)，B(1,3)，C(2,5)，求证：A，B，C三点共线.
∴kAB＝kBC，
∴A，B，C三点共线.
数形结合法求倾斜角或斜率范围
核心素养之直观想象
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG
典例 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0， )为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的取值范围.
解 如图所示.
素养
评析
(1)两点求斜率，由斜率公式k＝ (x1≠x2)求得；由倾斜角(范围)求斜
率(范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决.
(2)涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解.
数形结合就是利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，所以本例突出培养学生直观想象的数学核心素养.
3
达标检测
PART THREE
1.对于下列说法：
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角.
其中正确说法的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
1
2
3
4
5
√
解析 ①②③正确.
2.下面选项中，两点确定的直线的斜率不存在的是
A.(4,2)与(－4,1) B.(0,3)与(3,0)
C.(3，－1)与(2，－1) D.(－2,2)与(－2,5)
√
1
2
3
4
5
解析 D项，因为x1＝x2＝－2，所以直线垂直于x轴，倾斜角为90°.
3.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m等于
A.2 B.1 C.－1 D.－2
√
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，
1
2
3
4
5
5.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是__________.(其中m≥1)
0°<α≤90°
解析 当m＝1时，倾斜角α＝90°；
∴0°<α<90°.故0°<α≤90°.
直线情况 ?
平行于x轴 ? ?
垂直于x轴 ?
α的大小 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k的范围 0 k>0 不存在 k<0
k的增
减情况 ? k随α的增大而增大 ? k随α的增大而增大
直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
