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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是( )
A.垂直 B.平行
C.重合 D.平行或重合
答案 D
解析 ∵直线l1的斜率为tan 135°＝－1，直线l2的斜率为＝－1，∴直线l1与l2平行或重合.
2.直线l过(m，n)，(n，m)两点，其中m≠n，mn≠0，则( )
A.l与x轴垂直
B.l与y轴垂直
C.l过原点和第一、三象限
D.l的倾斜角为135°
答案 D
解析 ∵直线的斜率k＝＝－1，
∴直线l的倾斜角为135°.
3.经过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是( )
A.4 B.1 C.1或3 D.1或4
答案 B
解析 由题意，知＝1，解得m＝1.
4.设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论：
①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④PR⊥QS.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 C
解析 由斜率公式知，
kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝，kQS＝＝－4，kPR＝＝，
∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS，
∴PS与QS不平行，①②④正确，故选C.
5.已知下列说法：
①若直线l1∥l2，则两直线的斜率相等；
②若直线l1，l2的斜率均不存在，则l1∥l2；
③若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；
④如果直线l1，l2平行，且l1的斜率不存在，那么l2的斜率也不存在.
其中说法正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 ③④正确.
6.若过点A(2，－2)，B(5,0)的直线与过点P(2m,1)，Q(－1，－m)的直线垂直，则实数m的值为( )
A. B.－ C.－ D.
答案 B
解析 由题意知AB的斜率存在且不为0，则kAB·kPQ＝－1，即×＝－1，解得m＝－.
7.顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形 D.以上都不对
答案 B
解析 kAB＝kDC，kAD≠kBC，kAD·kAB＝kAD·kDC＝－1，
故构成的图形为直角梯形.
8.已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )
A.1 B.0
C.0或1 D.0或2
答案 C
解析 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在，此时AB∥CD.
当m≠0时，kAB＝，kCD＝，
则kAB＝kCD，即＝，得m＝1，∴m＝0或1.
二、填空题
9.若经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________.
答案
解析 由题意可知kl＝，又因为kl＝，
所以＝，解得m＝.
10.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________，若l1∥l2，则m＝________.
答案 －2 2
解析 由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，
若l1⊥l2，则＝－1，∴m＝－2.
若l1∥l2，则k1＝k2，即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.
11.已知点A(－3，－2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________.
答案 (0，－11)
解析 设P(0，y)，由∠BAP＝90°知，
kAB·kAP＝×＝＝－1，
解得y＝－11.
所以点P的坐标是(0，－11).
三、解答题
12.当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行.
解 (1)由kAB＝＝tan 135°＝－1，
解得m＝－或m＝1.
(2)由kAB＝，且＝3，
则＝－，解得m＝或m＝－3.
(3)令＝＝－2，解得m＝或m＝－1.
经检验，当m＝或m＝－1时，均符合题意.
13.已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2).
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值.
解 设直线l2的斜率为k2，则k2＝＝－.
(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－.
∵k1＝，∴＝－，解得a＝1或a＝6.
经检验，当a＝1或a＝6时，l1∥l2.
(2)若l1⊥l2，
①当k2＝0时，此时a＝0，k1＝－，不符合题意；
②当k2≠0时，l2的斜率存在，此时k1＝.
由k1k2＝－1，可得·＝－1，
解得a＝3或a＝－4.
∴当a＝3或a＝－4时，l1⊥l2.
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14.若点P(a，b)与点Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角α为________.
答案 45°
解析 由kPQ＝＝＝－1，
由题意知PQ⊥l，则kPQ·kl＝－1，得kl＝1，
∴直线l的倾斜角为45°.
15.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝______.
答案 4＋
解析 如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
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∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.
当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2.
当m≠1时，直线AB的斜率kAB＝＝，
∴线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2＝.
∵l1与l2平行，
∴k1＝k2，即＝，解得m＝4＋.
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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是( )
A.垂直 B.平行
C.重合 D.平行或重合
2.直线l过(m，n)，(n，m)两点，其中m≠n，mn≠0，则( )
A.l与x轴垂直
B.l与y轴垂直
C.l过原点和第一、三象限
D.l的倾斜角为135°
3.经过点P(－2，m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于1的直线，则m的值是( )
A.4 B.1 C.1或3 D.1或4
4.设点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论：
①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS；④PR⊥QS.
其中正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知下列说法：
①若直线l1∥l2，则两直线的斜率相等；
②若直线l1，l2的斜率均不存在，则l1∥l2；
③若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；
④如果直线l1，l2平行，且l1的斜率不存在，那么l2的斜率也不存在.
其中说法正确的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.若过点A(2，－2)，B(5,0)的直线与过点P(2m,1)，Q(－1，－m)的直线垂直，则实数m的值为( )
A. B.－ C.－ D.
7.顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形
C.等腰梯形 D.以上都不对
8.已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )
A.1 B.0
C.0或1 D.0或2
二、填空题
9.若经过点(m,3)和(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________.
10.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________，若l1∥l2，则m＝________.
11.已知点A(－3，－2)，B(6,1)，点P在y轴上，且∠BAP＝90°，则点P的坐标是________.
三、解答题
12.当m为何值时，过两点A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3,2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4,9)的直线平行.
13.已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1,2)，直线l2经过点C(1,2)，D(－2，a＋2).
(1)若l1∥l2，求a的值；
(2)若l1⊥l2，求a的值.
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14.若点P(a，b)与点Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则直线l的倾斜角α为________.
15.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝______.
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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
第三章 §3.1 直线的倾斜角与斜率
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.
2.能根据已知条件判断两直线的平行与垂直.
3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题.
知识点一 两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90°
对应关系 l1∥l2?_______ l1∥l2?两直线的斜率都不存在
图示 ? ?
k1＝k2
知识点二 两条直线垂直的判定
图示 ? ?
对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)
?__________ l1的斜率不存在，l2的斜率为0
?_______
k1k2＝－1
l1⊥l2
1.若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行.( )
2.若l1∥l2，则k1＝k2.( )
3.若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直.( )
4.若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
题型一 两条直线平行的判定
例1 下列直线l1与直线l2(l1与l2不重合)平行的有________.(填序号)
①l1经过点A(2,1)，B(－3,5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
②l1的斜率为2，l2经过点A(1,1)，B(2,2)；
③l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1， )，N(－2，－2 )；
④l1经过点E(2,6)，F(2,3)，l2经过点P(－3，－3)，Q(－3，－6).
①③④
∴kAB＝kCD，∴l1∥l2.
∴ ＝ ，∴l1∥l2.
④l1，l2的斜率均不存在，∴l1∥l2.
反思感悟
判断两条不重合的直线是否平行的方法
跟踪训练1 判断下列各题中直线l1与l2是否平行.
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)；
∵k1≠k2，∴l1与l2不平行.
(2)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5).
解 ∵l1与l2都与x轴垂直，且l1与l2不重合，
∴l1∥l2.
题型二 两条直线垂直的判定
例2 判断下列各题中l1与l2是否垂直.
(1)l1经过点A(－3，－4)，B(1,3)，l2经过点M(－4，－3)，N(3，1)；
k1k2＝1，∴l1与l2不垂直.
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
k1k2＝－1，∴l1⊥l2.
解 l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴；
∴l1⊥l2.
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,10)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40).
反思感悟
判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直.
跟踪训练2 已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.
解 若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，
综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
垂直与平行的综合应用
核心素养之数学运算
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN
典例 已知四边形ABCD的顶点B(6，－1)，C(5,2)，D(1,2).若四边形ABCD为直角梯形，求A点坐标.(A，B，C，D按逆时针方向排列)
解 ①若∠A＝∠D＝90°，如图(1)，
由已知AB∥DC，AD⊥AB，而kCD＝0，故A(1，－1).
②若∠A＝∠B＝90°，如图(2).
素养
评析
(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定.
(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.
(3)明确运算对象，探究运算思路，是对数学运算的数学核心素养的考查.
3
达标检测
PART THREE
1.过点A(2,5)和点B(－4,5)的直线与直线y＝3的位置关系是
A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对
1
2
3
4
5
√
解析 斜率都为0且不重合，所以平行.
6
1
2
3
4
5
√
6
当a＝0时，l2的斜率不存在.
1
2
3
4
5
√
6
1
2
3
4
5
4.已知两条直线l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的两个根，则l1与l2的位置关系是
A.平行 B.垂直
C.可能重合 D.无法确定
解析 由方程3x2＋mx－3＝0，知Δ＝m2－4×3×(－3)＝m2＋36>0恒成立.
故方程有两相异实根，即l1与l2的斜率k1，k2均存在.设两根为x1，x2，则k1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2，故选B.
√
6
1
2
3
4
5
5.若不同两点P，Q的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段PQ的垂直平分线的斜率为____.
－1
得线段PQ的垂直平分线的斜率为－1.
6
1
2
3
4
5
6.已知?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4).
(1)求点D的坐标；
解 设D点坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC，
所以D(－1,6).
6
(2)试判定?ABCD是否为菱形？
所以kAC·kBD＝－1，
所以AC⊥BD，所以?ABCD为菱形.
1
2
3
4
5
6
两直线平行或垂直的判定方法
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
斜率 直线
斜率均不存在 平行或重合
一条直线的斜率为0，
另一条直线的斜率不存在 垂直
斜率均存在 相等 平行或重合
积为－1 垂直
