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3.2.1 直线的点斜式方程
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
答案 C
解析 由y＋2＝－x－1，得y＋2＝－(x＋1)，所以直线的斜率为－1，过点(－1，－2).
2.已知直线的斜率是2，且在y轴上的截距是－3，则此直线的方程是( )
A.y＝2x－3 B.y＝2x＋3
C.y＝－2x－3 D.y＝－2x＋3
答案 A
3.与直线y＝x的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( )
A.y－3＝－(x＋4) B.y＋3＝(x－4)
C.y－3＝(x＋4) D.y＋3＝－(x－4)
答案 C
4.过点(－1,3)且平行于直线y＝(x＋3)的直线方程为( )
A.y＋3＝(x＋1) B.y＋3＝(x－1)
C.y－3＝(x＋1) D.y－3＝(x－1)
答案 C
解析 由直线y＝(x＋3)，得所求直线的斜率为，
其方程为y－3＝(x＋1)，故选C.
5.与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
A.y＝x＋4 B.y＝2x＋4
C.y＝－2x＋4 D.y＝－x＋4
答案 D
解析 由题意可设所求直线方程为y＝kx＋4，又由2k＝－1，得k＝－，∴所求直线方程为y＝－x＋4.
6.将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( )
A.y＝－x＋ B.y＝－x＋1
C.y＝3x－3 D.y＝x＋1
答案 A
解析 将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，得到直线y＝－x，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为y＝－(x－1)，即y＝－x＋.
7.直线y－2m＝m(x－1)与y＝x－1垂直，则直线y－2m＝m(x－1)过点( )
A.(－1,2) B.(2,1) C.(1，－2) D.(1,2)
答案 C
解析 ∵y－2m＝m(x－1)与y＝x－1垂直，
∴m×1＝－1即m＝－1.
则直线y－2m＝m(x－1)可化为y＋2＝－(x－1)，
∴过点(1，－2).
8.直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )
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答案 D
解析 对于A，由l1得a>0，b<0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于B，由l1得a<0，b>0，而由l2得a>0，b>0，矛盾；对于C，由l1得a>0，b<0，而由l2得a<0，b>0，矛盾；对于D，由l1得a>0，b>0，而由l2得a>0，b>0.故选D.
二、填空题
9.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________.
答案 y＝x－6或y＝－x－6
解析 因为直线与y轴相交成30°角，
所以直线的倾斜角为60°或120°，
所以直线的斜率为或－，
又因为在y轴上的截距为－6，
所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6.
10.直线y＝k(x－2)＋3必过定点________.
答案 (2,3)
解析 化为点斜式：y－3＝k(x－2).
11.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.
答案 4
解析 直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1，
∴2m－1＝7，得m＝4.
三、解答题
12.求满足下列条件的m的值.
(1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；
(2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直.
解 (1)∵l1∥l2，∴两直线斜率相等.
∴m2－2＝－1且2m≠1，∴m＝±1.
(2)∵l1⊥l2，∴2m－1＝，∴m＝.
13.已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的斜截式方程.
解 由题意知，直线l的斜率为，
故设直线l的方程为y＝x＋b，
l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，
所以－b－b＝1，b＝－，
所以直线l的斜截式方程为y＝x－.
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14.将直线y＝x＋－1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________.
答案 y－＝(x－1)
解析 由y＝x＋－1得直线的斜率为1，倾斜角为45°.
∵沿逆时针方向旋转15°后，倾斜角变为60°，
∴所求直线的斜率为.
又∵直线过点(1，)，
∴由直线的点斜式方程可得y－＝(x－1).
15.直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.
解 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求.
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.
令y＝0得，x＝，
由三角形的面积为2，得××2＝2.
解得k＝.
可得直线l的方程为y－2＝(x－2)，
综上可知，直线l的方程为x＝2或y－2＝(x－2).
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3.2.1 直线的点斜式方程
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A.直线经过点(－1,2)，斜率为－1
B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
2.已知直线的斜率是2，且在y轴上的截距是－3，则此直线的方程是( )
A.y＝2x－3 B.y＝2x＋3
C.y＝－2x－3 D.y＝－2x＋3
3.与直线y＝x的斜率相等，且过点(－4,3)的直线方程为( )
A.y－3＝－(x＋4) B.y＋3＝(x－4)
C.y－3＝(x＋4) D.y＋3＝－(x－4)
4.过点(－1,3)且平行于直线y＝(x＋3)的直线方程为( )
A.y＋3＝(x＋1) B.y＋3＝(x－1)
C.y－3＝(x＋1) D.y－3＝(x－1)
5.与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程为( )
A.y＝x＋4 B.y＝2x＋4
C.y＝－2x＋4 D.y＝－x＋4
6.将直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为( )
A.y＝－x＋ B.y＝－x＋1
C.y＝3x－3 D.y＝x＋1
7.直线y－2m＝m(x－1)与y＝x－1垂直，则直线y－2m＝m(x－1)过点( )
A.(－1,2) B.(2,1) C.(1，－2) D.(1,2)
8.直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是( )
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二、填空题
9.在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是______________.
10.直线y＝k(x－2)＋3必过定点________.
11.已知直线l的方程为y－m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为7，则m＝________.
三、解答题
12.求满足下列条件的m的值.
(1)直线l1：y＝－x＋1与直线l2：y＝(m2－2)x＋2m平行；
(2)直线l1：y＝－2x＋3与直线l2：y＝(2m－1)x－5垂直.
13.已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的斜截式方程.
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14.将直线y＝x＋－1绕其上面一点(1，)沿逆时针方向旋转15°，所得到的直线的点斜式方程是________________.
15.直线l过点(2,2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程.
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3.2.1 直线的点斜式方程
第三章 §3.2 直线的方程
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.
3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.
知识点一 直线的点斜式方程
? 点斜式
已知条件 点P(x0，y0)和_______
图示 ?
方程形式 y－y0＝________
适用条件 斜率存在
斜率k
k(x－x0)
思考 经过点P0(x0，y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？
答案 斜率不存在的直线不能用点斜式表示，过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0.
知识点二 直线的斜截式方程
? 斜截式
已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示 ?
方程式 _________
适用条件 斜率存在
y＝kx＋b
对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2.
①l1∥l2? ，
②l1⊥l2? .
k1＝k2且b1≠b2
k1k2＝－1
1.y轴所在直线方程为y＝0.( )
2.直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3).( )
3.直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.( )
4.直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
题型一 求直线的点斜式方程
(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；
过点A(3,3)且与直线l平行的直线方程为
(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程.
解 过点A(3,3)且与直线l垂直的直线方程为
反思感悟
利用点斜式求直线方程的方法
(1)用点斜式求直线的方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标.注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线的方程；
(2)已知两点坐标求直线的方程，可以先求斜率，再用点斜式求直线的方程.
跟踪训练1 求满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)过点P(4，－2)，倾斜角为150°；
(2)过两点A(1,3)，B(2,5).
∴直线的点斜式方程为y－3＝2(x－1).
题型二 直线的斜截式方程
例2 (1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是________________________.
解析 ∵直线的倾斜角是60°，
∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距是3或－3，
(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
解 由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2，
又因为l∥l1，所以kl＝－2.
由题意知，l2在y轴上的截距为－2，
所以直线l在y轴上的截距b＝－2.
由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.
引申探究
本例(2)中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求l的方程.
∵l与l2在y轴上的截距互为相反数，
直线l2：y＝4x－2，
∴l在y轴上的截距为2.
反思感悟
(1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b＝0时，y＝kx表示过原点的直线；当k＝0时，y＝b表示与x轴平行(或重合)的直线.
(2)截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.
跟踪训练2 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
解 y＝2x＋5.
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
解 ∵α＝150°，
斜截式方程的应用
核心素养之直观想象与数学运算
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG YU SHU XUE YUN SUAN
典例 (1)当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？
解 由题意可知，kl1＝－1，kl2＝a2－2，
故当a＝－1时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：
y＝(a2－2)x＋2平行.
(2)当a为何值时，直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？
解 由题意可知， ＝2a－1， ＝4，
y＝4x－3垂直.
素养
评析
在斜截式形式下判断两条直线平行和垂直，要能从斜截式中找出斜率和
截距.要使两直线平行，必须满足 在此容易忽略b1≠b2的条件，所以本例突出考查直观想象和数学运算的数学核心素养.
3
达标检测
PART THREE
1.方程y＝k(x－2)表示
A.通过点(－2,0)的所有直线
B.通过点(2,0)的所有直线
C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线
D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线
1
2
3
4
5
√
解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在，故直线不垂直于x轴.
1
2
3
4
5
√
∴l在y轴上的截距为－9.
1
2
3
4
5
√
1
2
3
4
5
4.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有
A.k>0，b>0 B.k>0，b<0
C.k<0，b>0 D.k<0，b<0
√
解析 ∵直线经过第一、三、四象限，
∴图形如图所示，由图知，k>0，b<0.
1
2
3
4
5
5.已知直线l过点P(2,1)，且直线l的斜率为直线x－4y＋3＝0的斜率的2倍，则直线l的点斜式方程为______________.
1.求直线的点斜式方程的方法步骤
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
2.直线的斜截式方程的求解策略
(1)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别.
(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然.因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断.
