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3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A.(2,2) B.(1,1) C.(1,2) D.(2,1)
答案 C
解析 由得交点坐标为(1,2)，故选C.
2.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为( )
A.(－4，－3) B.(4,3)
C.(－4,3) D.(3,4)
答案 C
解析 由方程组得故选C.
3.已知坐标平面内三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
答案 C
解析 由两点间的距离公式，
可得|AB|＝，|BC|＝|CA|＝，
且|BC|2＋|CA|2≠|AB|2，
∴△ABC为等腰三角形.
4.以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.以上都不是
答案 C
解析 |AB|＝＝＝＝2，
|BC|＝＝＝＝4，
|AC|＝＝＝2，
∵|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴△ABC为直角三角形.故选C.
5.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1和x＋ky＝0相交于一点，则k的值为( )
A.－ B. C.2 D.－2
答案 A
解析 由方程组得直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点坐标为(－1，－2)，
代入直线x＋ky＝0，得k＝－.
6.直线kx＋y＋1＝2k，当k变动时，所有直线都通过定点( )
A.(2，－1) B.(－2，－1)
C.(2,1) D.(－2,1)
答案 A
解析 kx＋y＋1＝2k，可化为y＋1＝k(2－x)，
故该直线恒过定点(2，－1).
7.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是( )
A.2 B.3 C. D.
答案 C
解析 由中点坐标公式可得，BC边的中点D.
由两点间的距离公式得|AD|＝＝.
故选C.
8.直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A.(－4,5) B.(－3,4)
C.(－3,4)或(－1,2) D.(－4,5)或(0,1)
答案 C
解析 设所求点的坐标为(x0，y0)，有
x0＋y0－1＝0，且＝，
两式联立解得或故选C.
二、填空题
9.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________.
答案 2
解析 设A(a,0)，B(0，b)，
由中点坐标公式，得解得
∴|AB|＝＝2.
10.三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________.
答案 －1
11.直线2x－5y－10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是________.
答案 5
解析 令x＝0，则y＝－2；令y＝0，则x＝5.
∴S＝×|－2|×|5|＝5.
三、解答题
12.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程.
解 由方程组解得
所以交点坐标为.
又因为直线斜率为k＝－，
所以，求得直线方程为27x＋54y＋37＝0.
13.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程.
解 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为
y＋1＝k(x－1)，
解方程组得
即B.
由|AB|＝ ＝5，
解得k＝－，
∴直线l的方程为y＋1＝－(x－1)，
即3x＋4y＋1＝0.
当过A点的直线的斜率不存在时，方程为x＝1.
此时，与l1的交点为(1,4)也满足题意，
综上所述，直线的方程为3x＋4y＋1＝0或x＝1.
14.已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是( )
A.0 B.2 C.4 D.
答案 B
解析 S＝＋可以看作是点(x，y)到点(－1,0)与点(1,0)的距离之和，数形结合(图略)易知最小值为2.
15.已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0，求顶点C的坐标.
解 由题意知BH与AC垂直，
所以kBH·kAC＝kAC＝－1，所以kAC＝－2，
所以直线AC的方程为y－1＝－2(x－5)，
即2x＋y－11＝0.
解方程组得
所以点C的坐标为(4,3).
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3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是( )
A.(2,2) B.(1,1) C.(1,2) D.(2,1)
2.直线3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交点坐标为( )
A.(－4，－3) B.(4,3)
C.(－4,3) D.(3,4)
3.已知坐标平面内三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是( )
A.直角三角形 B.等边三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
4.以点A(－3,0)，B(3，－2)，C(－1,2)为顶点的三角形是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.以上都不是
5.若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y＝1和x＋ky＝0相交于一点，则k的值为( )
A.－ B. C.2 D.－2
6.直线kx＋y＋1＝2k，当k变动时，所有直线都通过定点( )
A.(2，－1) B.(－2，－1)
C.(2,1) D.(－2,1)
7.在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，D为BC边的中点，则线段AD的长是( )
A.2 B.3 C. D.
8.直线x＋y－1＝0上与点P(－2,3)的距离等于的点的坐标是( )
A.(－4,5) B.(－3,4)
C.(－3,4)或(－1,2) D.(－4,5)或(0,1)
二、填空题
9.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|＝________.
10.三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10,2x－y＝10相交于一点，则实数a的值为________.
11.直线2x－5y－10＝0与坐标轴所围成的三角形面积是________.
三、解答题
12.求经过直线l1：7x－8y－1＝0和l2：2x＋17y＋9＝0的交点，且垂直于直线2x－y＋7＝0的直线方程.
13.已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程.
14.已知x，y∈R，S＝＋，则S的最小值是( )
A.0 B.2 C.4 D.
15.已知△ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在的直线方程为x－2y－5＝0，求顶点C的坐标.
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3.3.1 两条直线的交点坐标
3.3.2 两点间的距离
第三章 §3.3 直线的交点坐标与距离公式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.
2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.
3.掌握两点间距离公式并会应用.
知识点一 两条直线的交点
1.两直线的交点
几何元素及关系 代数表示
点A A(a，b)
直线l1，l2 l1：A1x＋B1y＋C1＝0
l2：A2x＋B2y＋C2＝0
点A在直线l1上 _________________
直线l1与l2的交点是A ___________________
A1a＋B1b＋C1＝0
2.两直线的位置关系
方程组 的解 一组 无数组 ______
直线l1与l2的公共点的个数 一个 _______ 零个
直线l1与l2的位置关系 _____ 重合 ______
无解
无数个
相交
平行
知识点二 两点间的距离
1.公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝___________________.
2.文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根.
特别提醒：(1)此公式与两点的先后顺序无关.
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.
特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝ .
1.若两直线相交，则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解.( )
2.点P1(0，a)，点P2(b,0)之间的距离为a－b.( )
3.无论m为何值，x－y＋1＝0与x－2my＋3＝0必相交.( )
4.若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
×
×
2
题型探究
PART TWO
题型一 求相交直线的交点坐标
例1 (1)求经过点(2,3)且经过直线l1：x＋3y－4＝0与l2：5x＋2y＋6＝0的交点的直线方程；
所以直线l1与l2的交点为(－2,2).
即x－4y＋10＝0.
(2)求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0垂直的直线方程.
因为所求直线和直线3x＋y－1＝0垂直，
即所求的直线方程为5x－15y－18＝0.
反思感悟
求两相交直线的交点坐标，关键是解方程组，解二元一次方程组的常用方法有代入消元法和加减消元法.
(1)若一条直线的方程是斜截式，常常应用代入消元法解方程组.
(2)若直线的方程都是一般式，常常应用加减消元法解方程组.
√
(2)经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是
A.2x＋y－8＝0 B.2x－y－8＝0
C.2x＋y＋8＝0 D.2x－y＋8＝0
√
题型二 两点间的距离
例2 如图，已知△ABC的三顶点A(－3,1)，B(3，－3)，C(1,7)，
(1)判断△ABC的形状；
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，
∴△ABC是等腰直角三角形.
∴kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
∴|AC|＝|AB|，∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)求△ABC的面积.
∴△ABC的面积为26.
反思感悟
(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.
(2)在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.
跟踪训练2 已知点A(－1,2)，B(2， )，在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值.
解得x＝1，∴P(1,0)，
题型三 直线系过定点问题
例3 无论m为何值，直线l：(m＋1)x－y－7m－4＝0恒过一定点P，求点P的坐标.
解 ∵(m＋1)x－y－7m－4＝0，
∴m(x－7)＋(x－y－4)＝0，
∴点P的坐标为(7,3).
反思感悟
解含有参数的直线恒过定点的问题
(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，
其定点可由方程组 解得.若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0).
跟踪训练3 已知直线方程为(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0，求证：不论λ取何实数值，此直线必过定点.
证明 把直线方程整理为2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0.
即点(－1，－2)是方程2x＋y＋4＋λ(x－2y－3)＝0的解，也就是方程(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0的解，所以不论λ取何实数值，直线(2＋λ)x＋(1－2λ)y＋4－3λ＝0必过定点(－1，－2).
直线系方程的应用
核心素养之数学运算
HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN
典例1 已知直线(a－2)y＝(3a－1)x－1，求证：无论a为何值，直线总经过第一象限.
证明 将直线方程整理为a(3x－y)＋(－x＋2y－1)＝0.
所以无论a为何值，直线总经过第一象限.
典例2 求过两直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点，且分别满足下列条件的直线l的方程：
(1)直线l与直线3x－4y＋1＝0平行；
解 设过两直线x－2y＋4＝0和x＋y－2＝0的交点的直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.
∵直线l与直线3x－4y＋1＝0平行，
(2)直线l与直线5x＋3y－6＝0垂直.
解 ∵直线l与直线5x＋3y－6＝0垂直，
素养
评析
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两直线交点的直线方程，再结合条件利用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
这两种方法，体现了两种不同的思路和技巧，考查了数学运算的数学核心素养.
3
达标检测
PART THREE
1
2
3
4
5
1.已知点(x，y)到原点的距离等于1，则实数x，y满足的条件是
√
1
2
3
4
5
√
3.到A(1,3)，B(－5,1)的距离相等的动点P满足的方程是
A.3x－y－8＝0 B.3x＋y＋4＝0
C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y＋2＝0
1
2
3
4
5
√
解析 设P(x，y)，
即3x＋y＋4＝0.
1
2
3
4
5
4.已知△ABC的顶点坐标为A(－1,5)，B(－2，－1)，C(2,3)，则BC边上的中线长为________.
解析 BC的中点坐标为(0,1)，
1
2
3
4
5
5.斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为____________.
2x＋y－4＝0
解析 设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0，
即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0，
∴所求直线方程为2x＋y－4＝0.
1.方程组 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)
是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).其中 .
2.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ 与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
