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3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
第三章 §3.3 直线的交点坐标与距离公式
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.了解点到直线距离公式的推导方法.
2.掌握点到直线的距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题.
3.初步掌握用解析法研究几何问题.
知识点一 点到直线的距离
1.定义：点到直线的 的长度.
2.图示：
3.公式：d＝_____________.
垂线段
知识点二 两条平行线间的距离
1.定义：夹在两平行线间的 的长.
2.图示：
3.求法：转化为点到直线的距离.
4.公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d
＝ .
公垂线段
思考 直线l1：x＋y－1＝0上有A(1,0)，B(0,1)，C(－1,2)三点，直线l2：x＋y＋1＝0与直线l1平行，那么点A，B，C到直线l2的距离分别为多少？有什么规律吗？
1.点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为 .( )
2.直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离.( )
3.两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离.( )
思考辨析 判断正误
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
×
√
√
2
题型探究
PART TWO
题型一 点到直线的距离
例1 (1)求点P(2，－3)到下列直线的距离.
则点P(2，－3)到该直线的距离为
②3y＝4；
解 3y＝4可化为3y－4＝0，
③x＝3.
解 x＝3可化为x－3＝0，
(2)求过点M(－1,2)，且与点A(2,3)，B(－4,5)距离相等的直线l的方程.
解 方法一 当过点M(－1,2)的直线l的斜率不存在时，
直线l的方程为x＝－1，
恰好与A(2,3)，B(－4,5)两点距离相等，
故x＝－1满足题意；
当过点M(－1,2)的直线l的斜率存在时，
设l的方程为y－2＝k(x＋1)，
即kx－y＋k＋2＝0.
由点A(2,3)与B(－4,5)到直线l的距离相等，得
即x＋3y－5＝0.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
方法二 由题意得l∥AB或l过AB的中点，
当l∥AB时，设直线AB的斜率为kAB，
即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点(－1,4)时，直线l的方程为x＝－1.
综上所述，直线l的方程为x＝－1或x＋3y－5＝0.
反思感悟
(1)应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题
①直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
②点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
③直线方程Ax＋By＋C＝0，当A＝0或B＝0时公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解.
(2)用待定系数法求直线方程时，首先考虑斜率不存在是否满足题意.
跟踪训练1 (1)点P(－1,2)到直线2x＋y－10＝0的距离为_____.
(2)点P(－1,2)到直线3x＝2的距离为___.
(3)已知坐标平面内两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则实数m的
值为________.
题型二 两平行线间的距离
例2 (1)已知两平行直线l1：3x＋5y＋1＝0和l2：6x＋10y＋5＝0，则l1与l2间的距离为
________.
(2)两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为_____.
将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
(3)已知直线l与两直线l1：2x－y＋3＝0和l2：2x－y－1＝0的距离相等，则l的方程为_____________.
2x－y＋1＝0
解析 设直线l的方程为2x－y＋C＝0，
∴直线l的方程为2x－y＋1＝0.
反思感悟
求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝ ；当直线l1：Ax＋By＋
C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，且C1≠C2时，d＝ .但必须注意两直
线方程中x，y的系数对应相等.
跟踪训练2 (1)直线2x－7y＋8＝0和2x－7y－6＝0的距离为
√
(2)已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是
A.1 B.2 C. D.4
√
(3)已知直线l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_____________.
x＋2y－3＝0
解析 当两条平行直线与A，B两点的连线垂直时，两条平行直线间的距离最大.
因为A(1,1)，B(0，－1).
即x＋2y－3＝0.
对称问题
核心素养之直观想象与数学运算
HE XIN SU YANG ZHI ZHI GUAN XIANG XIANG SHU XUE YUN SUAN
典例 (1)点A(2,3)关于Q(1,2)的对称点A′的坐标为_____.
(0,1)
解析 设A′的坐标为(x′，y′)，
∴x′＝0，y′＝1，∴A′的坐标为(0,1).
(2)点P(－3,4)关于直线x＋y－2＝0的对称点Q的坐标是
A.(－2,1) B.(－2,5)
C.(2，－5) D.(4，－3)
解析 设对称点坐标为(a，b)，
√
(3)在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋1关于y＝x－2对称的直线l的方程为
A.x－4y－11＝0 B.4x－y＋11＝0
C.x－2y＋7＝0 D.x－2y－7＝0
√
∴直线l过点(－3，－5).
在直线y＝2x＋1上取一点A(0,1)，
设点A关于y＝x－2对称的点为B(a，b)，
则点B在直线l上.
∴直线l过点(－3，－5)和(3，－2)，
素养
评析
关于对称问题，分成两大类，即中心对称和轴对称.
(1)点关于点的对称：求A(x0，y0)关于Q(a，b)的对称点A′(x，y)，可以利
用公式 其实它就是中点坐标公式的变形.
(2)点关于直线的对称：求P(x0，y0)关于Ax＋By＋C＝0的对称点P′(x，y)
时，利用 可以求点P′的坐标.
对称问题的解决，要充分利用对称的几何性质，同时还要注意运算的策略和方法，所以说对称问题充分体现了直观想象和数学运算的数学核心素养.
3
达标检测
PART THREE
1
2
3
4
5
1.已知原点O(0,0)，则点O到直线x＋y＋2＝0的距离等于
√
1
2
3
4
5
√
2.已知点(a,1)到直线x－y＋1＝0的距离为1，则a的值为
3.直线x－2y－1＝0与直线x－2y－C＝0的距离为 ，则C的值为
A.9 B.11或－9
C.－11 D.9或－11
1
2
3
4
5
√
解得C＝－9或11.
1
2
3
4
5
4.已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是
A.2 B.4 C.5 D.
√
1
2
3
4
5
5.直线3x－4y－27＝0上到点P(2,1)距离最近的点的坐标是_________.
(5，－3)
解析 由题意知过点P作直线3x－4y－27＝0的垂线，
设垂足为M，则|MP|最小，
∴所求点的坐标为(5，－3).
1.点到直线的距离即是点与直线上的点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式.当直线与坐标轴垂直时可直接求之.
2.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形，数形结合，使问题更清晰.
3.已知两平行直线，其距离可利用公式d＝ 求解，也可在已知直线上取一
点，转化为点到直线的距离.
课堂小结
KE TANG XIAO JIE中小学教育资源及组卷应用平台
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.点(1，－1)到直线y＝1的距离是( )
A. B. C.3 D.2
2.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A.1 B. C.2 D.
3.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1与l2之间的距离为( )
A.1 B. C. D.2
4.已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A.4 B. C. D.
5.已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于( )
A.0 B. C.3 D.0或
6.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
7.已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A. B.－
C.－或－ D.－或
8.过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
二、填空题
9.若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________.
10.直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________.
11.经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________________.
三、解答题
12.求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程.
13.已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程.
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14.已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为( )
A.6 B.3 C. D.
15.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求角A的平分线的方程.
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3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.点(1，－1)到直线y＝1的距离是( )
A. B. C.3 D.2
答案 D
解析 d＝＝2，故选D.
2.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )
A.1 B. C.2 D.
答案 D
解析 d＝＝.
3.已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1与l2之间的距离为( )
A.1 B. C. D.2
答案 B
解析 d＝＝.
4.已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A.4 B. C. D.
答案 D
解析 ∵3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0平行，
∴＝，∴m＝2，
化6x＋4y＋1＝0为3x＋2y＋＝0，
∴d＝＝＝.
5.已知点M(1,4)到直线l：mx＋y－1＝0的距离为3，则实数m等于( )
A.0 B. C.3 D.0或
答案 D
解析 点M到直线的距离d＝＝3，
∴m＝0或.
6.已知点A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0)，则△ABC的面积等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
解析 设AB边上的高为h，
则S△ABC＝|AB|·h，
|AB|＝＝2，
AB边上的高h就是点C到直线AB的距离，
AB边所在的直线方程为＝，即x＋y－4＝0.
点C到直线x＋y－4＝0的距离为＝，
因此，S△ABC＝×2×＝5.
7.已知点A(－3，－4)，B(6,3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值等于( )
A. B.－
C.－或－ D.－或
答案 C
解析 由点到直线的距离公式可得
＝，
化简得|3a＋3|＝|6a＋4|，
解得实数a＝－或－.故选C.
8.过两直线x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交点，并与原点的距离等于1的直线共有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
答案 B
解析 联立
得
∴两直线交点坐标为(0,1)，
∵交点到原点的距离为1可知，只有1条直线符合条件.
二、填空题
9.若点(2，k)到直线5x－12y＋6＝0的距离是4，则k的值是________.
答案 －3或
解析 ∵＝4，
∴|16－12k|＝52，
∴k＝－3或k＝.
10.直线4x－3y＋5＝0与直线8x－6y＋5＝0的距离为________.
答案
解析 直线8x－6y＋5＝0化简为4x－3y＋＝0，则由平行线间的距离公式得＝.
11.经过点P(－3,4)，且与原点的距离等于3的直线l的方程为________________.
答案 x＝－3或7x＋24y－75＝0
解析 (1)当直线l的斜率不存在时，原点到直线l：x＝－3的距离等于3，满足题意；
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－4＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k＋4＝0.
原点到直线l的距离d＝＝3，
解得k＝－.
直线l的方程为7x＋24y－75＝0.
综上可知，直线l的方程为x＝－3或7x＋24y－75＝0.
三、解答题
12.求过点P(0,2)且与点A(1,1)，B(－3,1)等距离的直线l的方程.
解 方法一 ∵点A(1,1)与B(－3,1)到y轴的距离不相等，
∴直线l的斜率存在，设为k.
又直线l在y轴上的截距为2，则直线l的方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
由点A(1,1)与B(－3,1)到直线l的距离相等，
得＝，
解得k＝0或k＝1.
∴直线l的方程是y＝2或x－y＋2＝0.
方法二 当直线l过线段AB的中点时，直线l与点A，B的距离相等.
∵AB的中点是(－1,1)，又直线l过点P(0,2)，
∴直线l的方程是x－y＋2＝0；
当直线l∥AB时，直线l与点A，B的距离相等.
∵直线AB的斜率为0，∴直线l的斜率为0，
∴直线l的方程为y＝2.
综上所述，满足条件的直线l的方程是x－y＋2＝0或y＝2.
13.已知直线l在两坐标轴上的截距相等，且点P(4,3)到直线l的距离为3，求直线l的方程.
解 由题意知，若截距为0，可设直线l的方程为y＝kx.
由题意知＝3，
解得k＝.
若截距不为0，设所求直线l的方程为x＋y－a＝0.
由题意知＝3，
解得a＝1或a＝13.
故所求直线l的方程为y＝x，
y＝x，x＋y－1＝0或x＋y－13＝0.
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14.已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上.若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为( )
A.6 B.3 C. D.
答案 C
解析 如图所示，结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离即为l1与l3之间的距离.
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由题意知l1与l2关于x轴对称，故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3.
由两平行线间的距离公式，得l1与l3间的距离
d＝＝，
即点P到直线l3的距离为.
15.已知三角形的三个顶点分别是A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求角A的平分线的方程.
解 设P(x，y)为角A的平分线上任一点，
则点P到直线AB与到直线AC的距离相等，因为直线AB，AC的方程分别是4x－3y－13＝0和3x＋4y－16＝0，
所以由点到直线的距离公式，
有＝，
即|4x－3y－13|＝|3x＋4y－16|，
即4x－3y－13＝±(3x＋4y－16)，
整理得x－7y＋3＝0或7x＋y－29＝0.
易知x－7y＋3＝0是角A的外角平分线的方程，7x＋y－29＝0是角A的平分线的方程
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