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第三章 直线与方程章末复习
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为( )
A.x＋y－5＝0 B.2x－y－1＝0
C.2y－x－4＝0 D.2x＋y－7＝0
答案 A
解析 由已知得A(－1,0)，P(2,3)，
由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，
由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0.
2.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A.恒过定点(－2,3)
B.恒过定点(2,3)
C.恒过点(－2,3)和(2,3)
D.都是平行直线
答案 A
解析 (a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，
由得
3.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，
由两点间的距离公式，得|AB|＝.
4.和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A.3x＋4y＋5＝0 B.3x＋4y－5＝0
C.－3x＋4y－5＝0 D.－3x＋4y＋5＝0
答案 A
解析 设所求直线上任意一点(x，y)，
则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，
因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，
所以3x＋4y＋5＝0.
5.若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为( )
A.－1 B.5
C.－1或5 D.－3或3
答案 C
解析 点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，
∴＝，即|a－2|＝3，
解得a＝－1或a＝5，
∴实数a的值为－1或5.
6.若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为( )
A.－1 B.5
C.－1或5 D.－3或3
答案 C
解析 点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，
∴＝，即|a－2|＝3，
解得a＝－1或a＝5，
∴实数a的值为－1或5.
7.设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( )
A.2 B. C.2 D.
答案 D
解析 根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，可得a＋b＝－1，ab＝－2，
∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3，
故两条直线之间的距离d＝＝＝.
二、填空题
8.点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________.
答案 (－4，－1)
解析 设对称点的坐标是(x0，y0)，
则解得
9.点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________.
答案 (－4，－1)
解析 设对称点的坐标是(x0，y0)，
则解得
10.已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是________.
答案
解析 由两平行线间距离公式得，l1与l2的距离d＝＝.
11.已知直线kx－y＋1－k＝0恒过定点A，且点A在直线mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)上，则mn的最大值为________.
答案
解析 直线kx－y＋1－k＝0，
可化为k(x－1)＋1－y＝0，可知A(1,1)，
∴m＋n＝1，即n＝1－m.
∴mn＝m(1－m)＝－m2＋m＝－2＋，
即当m＝时，mn取得最大值.
三、解答题
12.已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在直线方程2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程.
解 (1)由于AC边所在的直线的斜率为－2，
则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0，
解方程组求得
故点C的坐标为.
(2)设B(m，n)，则M.
把M的坐标代入直线2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线x－2y－5＝0，
可得求得
故点B.
再用两点式求得直线BC的方程为＝，
化简为46x－41y－43＝0.
13.求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程.
解 在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.
设对称点为M′(a，b)，则
解得M′.
设直线m与直线l的交点为N，
则由得N(4,3).
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
14.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.
解 (1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则
解得故A′(－2,8).
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
解得
故所求的点P的坐标为(－2,3).
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，
解得
故所求的点P的坐标为(12,10).
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第三章 直线与方程章末复习
班级______________ 姓名________________ 学号________
一、选择题
1.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为( )
A.x＋y－5＝0 B.2x－y－1＝0
C.2y－x－4＝0 D.2x＋y－7＝0
2.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线( )
A.恒过定点(－2,3)
B.恒过定点(2,3)
C.恒过点(－2,3)和(2,3)
D.都是平行直线
3.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A. B. C. D.
4.和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为( )
A.3x＋4y＋5＝0 B.3x＋4y－5＝0
C.－3x＋4y－5＝0 D.－3x＋4y＋5＝0
5.若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为( )
A.－1 B.5
C.－1或5 D.－3或3
6.若点(1，a)到直线y＝x＋1的距离是，则实数a的值为( )
A.－1 B.5
C.－1或5 D.－3或3
7.设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( )
A.2 B. C.2 D.
二、填空题
8.点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________.
9.点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是________.
10.已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是________.
11.已知直线kx－y＋1－k＝0恒过定点A，且点A在直线mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)上，则mn的最大值为________.
三、解答题
12.已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在直线方程2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求：
(1)顶点C的坐标；
(2)直线BC的方程.
13.求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程.
14.已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.
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章末复习
第三章 直线与方程
1
知识梳理
PART ONE
一、网络构建
二、要点归纳
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角α的取值范围是___________.
(2)k＝
(3)斜率的求法
①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标.
_____，α≠90°，
不存在，α＝90°.
0°≤α<180°
存在
2.直线方程的几种形式的转化
y=kx+b
3.两条直线的位置关系
设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)平行?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0；
(2)相交?A1B2－A2B1≠0；
(3)重合?A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或 (A2B2C2≠0).
4.距离公式
(1)两点间的距离公式
已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，
则|P1P2|＝___________________ .
(2)点到直线的距离公式
①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝_____________；
②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝___________.
2
题型探究
PART TWO
例1 在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(0,1)，B(3，2).
(1)若C点坐标为(1,0)，求AB边上的高所在的直线方程；
题型一 求直线的方程
解 ∵A(0,1)，B(3,2)，
由垂直关系可得AB边上的高所在的直线的斜率k＝－3，
∴AB边上的高所在直线方程为y－0＝－3(x－1)，
化为一般式可得3x＋y－3＝0.
(2)若点M(1,1)为边AC的中点，求边BC所在的直线方程.
解 ∵M为AC的中点，∴C(2,1)，
∴BC所在直线方程为y－1＝x－2，
化为一般式可得x－y－1＝0.
反思感悟
求直线方程的方法一般有两种：一种是直接利用公式，如点斜式、斜截式、两点式和截距式，另一种方法是待定系数法.运用此方法，要注意各种形式的方程的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要.
跟踪训练1 已知△ABC的顶点A(6,1)，AB边上的中线CM所在直线方程2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，求：
(1)顶点C的坐标；
解 由于AC边所在的直线的斜率为－2，
则它的方程为y－1＝－2(x－6)，即2x＋y－13＝0，
(2)直线BC的方程.
把M的坐标代入直线2x－y－5＝0，把点B的坐标代入直线x－2y－5＝0，
化简为46x－41y－43＝0.
题型二 直线的位置关系
3
∴AB和CD不平行；
当a≠2时，
∴a＝3或a＝－1.
∴AB与CD平行.
∴AB与CD重合.
∴当a＝3时，直线AB和直线CD平行.
(2)若点A(4，－1)在直线l1：ax－y＋1＝0上，则l1与l2：2x－y－3＝0的位置关系是________.
l1⊥l2
解析 将点A(4，－1)的坐标代入ax－y＋1＝0，
∴l1⊥l2.
反思感悟
解决此类问题关键是掌握两条直线平行与垂直的判定：若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在.对于两条直线平行的问题，要注意排除两条直线重合的可能性.
跟踪训练2 (1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为_____.
(2)已知Rt△ABC的直角顶点C(1,1)，点A(－2,3)，B(0，y)，则y＝____.
－3
题型三 距离问题
√
解得a＝－1或a＝5，
∴实数a的值为－1或5.
(2)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是______.
反思感悟
距离问题有三类，两点间的距离，点到直线间的距离，两条平行线间的距离，解题时，要熟记距离公式并注意三种距离间的转化.
跟踪训练3 设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为
解析 根据a，b是关于x的方程x2＋x－2＝0的两个实数根，可得a＋b＝－1，ab＝－2，
∴a＝1，b＝－2或a＝－2，b＝1，∴|a－b|＝3，
√
题型四 对称问题
例4 (1)点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是_____________.
(－4，－1)
解析 设对称点的坐标是(x0，y0)，
(2)过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程.
解 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
反思感悟
有关对称问题的两种主要类型
(1)中心对称
①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足
②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决.
(2)轴对称
①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.
跟踪训练4 (1)与直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是
A.3x－2y＋2＝0 B.2x＋3y＋7＝0
C.3x－2y－12＝0 D.2x＋3y＋8＝0
解析 由平面几何知识易知所求直线与已知直线2x＋3y－6＝0平行，则可设所求直线方程为2x＋3y＋C＝0.
在直线2x＋3y－6＝0上任取一点(3,0)，
关于点(1，－1)的对称点为(－1，－2)，
则点(－1，－2)必在所求直线上，
∴2×(－1)＋3×(－2)＋C＝0，解得C＝8.
∴所求直线方程为2x＋3y＋8＝0.
√
(2)求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l：2x－3y＋1＝0的对称直线m′的方程.
解 在直线m上取一点，如M(2,0)，
则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.
设对称点为M′(a，b)，则
设直线m与直线l的交点为N，
又∵m′经过点N(4,3)，
∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
题型五 最值问题
例5 已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4).
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
解 设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
因为P为直线l上的一点，
则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
故所求的点P的坐标为(－2,3).
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大.
解 A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，
则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，
故所求的点P的坐标为(12,10).
反思感悟
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|取得最小值时，若点A，B在直线l的同侧，则作点A(或点B)关于l的对称点A′(或点B′)，连接A′B(或AB′)交l于点P，则点P即为所求；若点A，B位于直线l的异侧，直接连接AB交l于点P，则点P即为所求.可简记为“同侧对称异侧连.”
(2)在直线l上求一点P，使||PA|－|PB||取得最大值时，方法与(1)恰好相反，即“异侧对称同侧连”.
跟踪训练5 已知定点A(3,1)，动点M和点N分别在直线y＝x和y＝0上运动，则△AMN
的周长取最小值时点M的坐标为________.
解析 如图所示，分别作出点A关于直线y＝x与x轴的对称点A1(1,3)，A2(3，－1).
连接A1A2与直线y＝x相交于点M，与x轴相交于点N，则满足条件.
3
达标检测
PART THREE
1.设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为
A.x＋y－5＝0 B.2x－y－1＝0
C.2y－x－4＝0 D.2x＋y－7＝0
1
2
3
4
5
√
解析 由已知得A(－1,0)，P(2,3)，
由|PA|＝|PB|，得B(5,0)，
由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0.
1
2
3
4
5
2.方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线
A.恒过定点(－2,3)
B.恒过定点(2,3)
C.恒过点(－2,3)和(2,3)
D.都是平行直线
√
解析 (a－1)x－y＋2a＋1＝0可化为－x－y＋1＋a(x＋2)＝0，
1
2
3
4
5
√
4.和直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为
A.3x＋4y＋5＝0 B.3x＋4y－5＝0
C.－3x＋4y－5＝0 D.－3x＋4y＋5＝0
1
2
3
4
5
√
解析 设所求直线上任意一点(x，y)，
则此点关于x轴对称的点的坐标为(x，－y)，
因为点(x，－y)在直线3x－4y＋5＝0上，
所以3x＋4y＋5＝0.
1
2
3
4
5
5.已知直线kx－y＋1－k＝0恒过定点A，且点A在直线mx＋ny－1＝0(m>0，n>0)上，
则mn的最大值为____.
解析 直线kx－y＋1－k＝0，
可化为k(x－1)＋1－y＝0，可知A(1,1)，
∴m＋n＝1，即n＝1－m.
