4.2 万有引力定律的应用 学案

4.2 万有引力定律的应用
1. 能建立模型计算天体质量，能将一些熟悉天体的运动抽象成匀速圆周运动模型来进行分析和推理。
2. 能建立发射人造卫星的模型，能计算人造卫星的环绕速度，探究第二宇宙速度和第三宇宙速度。
3. 通过相关实例，了解万有引力定律在宇宙研究中的重要作用，能用万有引力定律解释一些天体运动问题。
【重点】综合运用万有引力定律对天体进行有关运算，如计算天体质量、第一宇宙速度等。
【难点】将一些天体的运动抽象成匀速圆周运动模型进行分析和推理。

一、天体质量的计算
【地球表面上的重力与万有引力的关系】
如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得。
图中F1为______________________，F2就是_________________，故一般情况mg______。
（1）在赤道上：重力和向心力___________，＝mω2R＋mg
（2）在两极上：F向＝________，＝___________
越靠近南北两极g值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
1．若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于______对物体的________，即mg＝________，式中m地是地球的质量，R是地球的半径，也就是物体到地心的距离。由此可得出地球的质量m地＝________。
2．将行星绕太阳的运动近似看成____________运动，行星做圆周运动的向心力由__________________________提供，则有________________，式中m太是______的质量，m是________的质量，r是________________，也就是行星和太阳中心的距离，T是_________________。由此可得出太阳的质量为：_________________。
二、人造卫星上天
思考：
平抛物体的速度逐渐增大，物体的落地点如何变化？
(2)速度达到一定值后，物体能否落回地面？
(3)若不能，此速度必须满足什么条件？
(4)若此速度再增大，又会出现什么现象？
求物体的速度：设地球的质量为M，地球半径为R，引力常量为Ｇ，物体在地球表面绕地球做匀速圆周运动时，r=R.(Ｍ=5.98×1024kg.R=6400km,G=6.67×10-11N·m2/kg2)
方法（一）由万有引力提供向心力。
方法（二）在地球表面附近物体的重力等于万有引力
1.第一宇宙速度（环绕速度）：v1 =______，是人造地球卫星的最小发射速度。
由 得： ，当卫星的轨道半径取最小值为地球的半径时，卫星的运行速度最大.
因此第一宇宙速度也称为 最大运行速度 或 近地环绕速度。
2.第二宇宙速度（脱离速度）：v2 =________，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
3.第三宇宙速度（逃逸速度）：v3 =_______，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
4.人造卫星的速度、角速度、周期、向心加速度的规律：
处理方法：把卫星的运动看作是匀速圆周运动，所需的向心力由万有引力提供:
应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算。
①线速度：______________
②角速度：_______________
③周期: ________________
④向心加速度：________________
即：人造卫星的V， 仅由_______________ 和 _____________决定。
5.同步卫星
思考：什么样的卫星叫同步卫星？同步卫星具有哪些特点？说明你的依据。
①周期_____地球自转周期；T=24h;
②角速度_____地球自转角速度；
③轨道平面与赤道平面______；
④所有同步卫星的轨道半径都______,他们距地面的高度_______，即他们处在______轨道上；
三、预测未知天体
18世纪，人们发现太阳系的第七个行星——天王星的运动轨道有些古怪：根据________________计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。据此，人们推测，在天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的________使其轨道产生了偏离。________________和________________________确立了万有引力定律的地位。
1. 若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的（ ）
A．倍 B．倍 C．倍 D．倍
2.金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a金、a地、a火，它们沿轨道运行的速率分别为v金、v地、v火．已知它们的轨道半径R金A．a金>a地>a火 B．a火>a地>a金
C．v地>v火>v金 D．v火>v地>v金
3.1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G．则( )

A． B．
C． D．
4.已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍．若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为和，则 ：约为　　
A．9：4 B．6：1 C．3：2 D．1：1
5.如图所示，A是静止在赤道上的物体，随地球自转而做匀速圆周运动；B、C是同一平面内两颗人造卫星，B位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C是地球同步卫星。已知第一宇宙速度为，物体A和卫星B、C的线速度大小分别为、、，周期大小分别为、、，向心加速度大小分别为、、则下列关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6.经长期观测人们在宇宙中已经发现了“双星系统”,“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体。如图，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距离为L，质量之比为m1∶m2 =3∶1，则可知（ ）
A．m1、m2做圆周运动的线速度之比为1∶3
B．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶1
C．m1做圆周运动的半径为L
D．m2做圆周运动的半径为 L
7.2018年2月2日，我国成功将电磁监测试验卫星“张衡一号”发射升空，标志我国成为世界上少数拥有在轨运行高精度地球物理场探测卫星的国家之一．通过观测可以得到卫星绕地球运动的周期，并已知地球的半径和地球表面的重力加速度．若将卫星绕地球的运动看作是匀速圆周运动，且不考虑地球自转的影响，根据以上数据可以计算出卫星的（ ）
A．密度 B．向心力的大小 C．离地高度 D．线速度的大小
8.2018年5月21日，嫦娥四号中继星“鹊桥”搭乘长征四号丙运载火箭升空，为嫦娥四号登陆月球背面做准备．为保证地月通信的稳定，“鹊桥”必须定位在“地月系统拉格朗日—2点” (简称地月L2点)，在该点地球、月球和“鹊桥”位于同一直线上，且“鹊桥”和月球一起同步绕地球做圆周运动．则（ ）
A．“鹊桥”的加速度小于月球的加速度
B．“鹊桥”的线速度大于月球的线速度
C．“鹊桥”的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度
D．若已知地心到月心的距离，地心到“鹊桥”的距离，可求得月球和地球的质量之比
9.如图所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L．已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常量为G．求：
(1)A星球做圆周运动的半径R和B星球做圆周运动的半径r；
(2)两星球做圆周运动的周期．

10.假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度为h的轨道做匀速圆周运动,周期为T，已知万有引力常量为G，求:
(1)该天体的质量是多少?
(2)该天体的密度是多少?
(3)该天体表面的重力加速度是多少?
(4)该天体的第一宇宙速度是多少?




1.C 2.A 3.B 4.A 5.C 6.ACD 7.CD 8.BD
9. 【答案】（1） R=L, r=L,（2）2π
【解析】
（1）令A星的轨道半径为R，B星的轨道半径为r，则由题意有
两星做圆周运动时的向心力由万有引力提供，则有：
可得，又因为
所以可以解得：,；
（2）根据（1）可以得到：
则：
10. 【答案】(1)；　(2)；(3)；　(4)
【解析】
（1）卫星做匀速圆周运动,万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有:
G=m(R+h)
解得：M= ①
（2）天体的密度：
ρ===．
（3）在天体表面，重力等于万有引力，故:
mg=G ②
联立①②解得：g= ③
（4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律，有：mg=m ④
联立③④解得：v==．