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5.1.2垂线同步训练（学生版）
一、单选题
1．（2020·广东省绿翠现代实验学校初一月考）如图，，，则点O到PR所在直线的距离是线段（ ）的长．
A．OQ B．OR C．OP D．PQ
2．（2020·广东省绿翠现代实验学校初一月考）点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( )
A．4cm B．2cm; C．小于2cm D．不大于2cm
3．（2020·西宁市海湖中学初一月考）如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a于B，PA⊥PC，则下列错误语句是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离 B．PA，PB，PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
4．（2019·河南省郑州外国语中学初一期中）下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2020·渠县树德文武学校初一月考）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2020·广东省初一期中）如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择路线时所用到的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
7．（2017·广州市育才中学初一期中）如图所示，因为AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过一点能作一条垂线
D．垂线段最短
8．（2020·广东省初一期中）如图，点是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连结，使，在线段上，连结．若，则线段的长不可能是（ ）
A．3.8 B．4.9 C．5.6 D．5.9
9．（2020·唐山市第十二中学初一期中）如图，已知直线 AB，CD 相交于点 O，EF⊥AB 于点 O，若∠BOC=55°，则∠DOF=（ ）
A．35° B．45° C．55° D．90°
10．（2020·辽宁省初一期中）过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
二、填空题
11．（2020·赤壁市第五初级中学初一期中）如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是_____．
12．（2020·山东省青岛第五十九中学初一期中）在同一平面内，两个角的两边分别垂直，其中一个角的度数是另一个角的倍少，那么这两个度数分别是___________（只写数字，不写单位）．
13．（2019·佛山市南海外国语学校初一月考）如图所示，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是________________________________。
14．（2018·上海初一期中）如图，，，则点到所在直线的距离是线段______的长．
15．（2018·上海初一期末）如图，如果垂足为，，，那么点到的距离为_______．
16．（2020·辽宁省初一期中）如图，直线、交于点，于点，，则的度数为__________．
17．（2020·北京市文汇中学初一期中）如图，点A,B,C,D,E在直线上，点P在直线外，PC⊥于点C，在线段PA,PB,PC,PD,PE中，最短的一条线段是_____，理由是___
18．（2020·北京陈经纶中学分校实验学校初一期中）如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，…，其中PO⊥l，这些线段PO，PA1，PA2，PA3，…中，最短的线段是_________．
三、解答题
19．（2019·苏州市景范中学校初一期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点处.
（1）找一个格点D，过点C画AB的平行线CD；
（2）找一个格点E，过点C画AB的垂线CE，垂足为H；
（3）过点H画BC的垂线段，交BC于点G，则哪条线段的长度是点H到线段BC的距离；写出线段AC、CH、HG的大小关系．（用“＜”号连接）．
20．（2018·山东省初一期中）如图1，∠AOC和∠BOD都是直角．
（1）若∠DOC，则∠AOB=________度；
（2）写出图1中所有相等的角：________________；
（3）若∠DOC逐渐变小，则∠AOB将如何变化？
答：________________________________________；
（4）在图2中利用画直角的工具再画一个与∠COB相等的角．
21．（2019·天津初一期中）如图所示，直线与相交于点，于点，，求与的度数．
22．（2020·全国初一单元测试）如图，是一条河，C是河边AB外一点：
（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．
（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）
23．（2019·山东省初一期中）如图，某村庄计划把河中的水引到水池M中，怎样开的渠最短，为什么（保留作图痕迹，不写作法和证明）
理由是：______．
24．（2019·上海初一期末）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
（1）作边上的高；
（2）过点作直线的垂线，垂足为；
（3）点到直线的距离是线段________的长度．
（不要求写画法，只需写出结论即可）
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5.1.2垂线同步训练（教师版）
一、单选题
1．（2020·广东省绿翠现代实验学校初一月考）如图，，，则点O到PR所在直线的距离是线段（ ）的长．
A．OQ B．OR C．OP D．PQ
【答案】A
【分析】
根据点到直线的距离的定义：从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫点到直线的距离，结合图形判断即可．
【详解】
解：∵OQ⊥PR，
∴点O到PR所在直线的距离是线段OQ的长．
故选A．
【点睛】
本题考查了点到直线的距离，熟记概念并准确识图是解题的关键．
2．（2020·广东省绿翠现代实验学校初一月考）点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直线m的距离为( )
A．4cm B．2cm; C．小于2cm D．不大于2cm
【答案】D
【分析】
根据点到直线的距离是直线外的点与直线上垂足间的线段的长，再根据垂线段最短，可得答案．
【详解】
当PC⊥l时，PC是点P到直线l的距离，即点P到直线l的距离2cm，
当PC不垂直直线l时，点P到直线l的距离小于PC的长，即点P到直线l的距离小于2cm，
综上所述：点P到直线l的距离不大于2cm，
故选：D．
【点睛】
考查了点到直线的距离，利用了垂线段最短的性质．
3．（2020·西宁市海湖中学初一月考）如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a于B，PA⊥PC，则下列错误语句是（ ）
A．线段PB的长是点P到直线a的距离 B．PA，PB，PC三条线段中，PB最短
C．线段AC的长是点A到直线PC的距离 D．线段PC的长是点C到直线PA的距离
【答案】C
【分析】
利用点到直线的距离的定义、垂线段最短分析．
【详解】
解：A、根据点到直线的距离的定义：即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确；
B、根据垂线段最短可知此选项正确；
C、线段AP的长是点A到直线PC的距离，故选项错误；
D、根据点到直线的距离即点到这一直线的垂线段的长度．故此选项正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了点到直线的距离的定义，及垂线段最短的性质．
4．（2019·河南省郑州外国语中学初一期中）下列四个说法：①两点之间，线段最短；②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识一一判断即可．
【详解】
解：①两点之间，线段最短，正确．
②连接两点之间的线段叫做这两点间的距离，错误，应该是连接两点之间的线段的距离叫做这两点间的距离．
③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确．
④直线外一点与这条直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．正确．
故选C．
【点睛】
本题考查线段公理，两点之间的距离的概念，平行公理，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（2020·渠县树德文武学校初一月考）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】
试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；
第二个图形中，BE不垂直AC，所以错误；
第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；
第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误.
故选D.
6．（2020·广东省初一期中）如图，小华同学的家在点处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择路线时所用到的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线 B．两点之间直线最短
C．两点之间线段最短 D．垂线段最短
【答案】D
【分析】
根据垂线段的性质解答即可．
【详解】
小华同学应选择P→C路线，因为垂线段最短，
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂线段的性质，掌握知识点是解题关键．
7．（2017·广州市育才中学初一期中）如图所示，因为AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．过一点能作一条垂线
D．垂线段最短
【答案】B
【分析】
直接利用直线的性质进而分析得出答案．
【详解】
解：A、因为AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，所以AB和BC重合，其理由是：
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选B．
【点睛】
考查了直线的性质，正确把握直线的性质是解题关键．
8．（2020·广东省初一期中）如图，点是直线外一点，过点作于点，在直线上取一点，连结，使，在线段上，连结．若，则线段的长不可能是（ ）
A．3.8 B．4.9 C．5.6 D．5.9
【答案】A
【分析】
直接利用垂线段最短以及结合已知得出PC的取值范围进而得出答案．
【详解】
解：∵过点作于点,，，
∴PB=6，
∴PC的长度应该属于4?6之间(包含4和6)；
故PC的长度不可能是3.8，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了垂线段最短，正确得出PC的取值范围是解题关键．
9．（2020·唐山市第十二中学初一期中）如图，已知直线 AB，CD 相交于点 O，EF⊥AB 于点 O，若∠BOC=55°，则∠DOF=（ ）
A．35° B．45° C．55° D．90°
【答案】A
【分析】
已知∠BOC=55°，利用对顶角相等可求∠AOD，因为EF⊥AB，则∠AOD+∠DOF=90°，即可求∠DOF．
【详解】
解：∵直线AB、EF相交于点O，
∴∠AOD=∠BOC=55°，
∵AB⊥CD，
∴∠DOF=90°-∠AOD=90°-55°=35°．
故选：A．
【点睛】
本题考查了垂直的定义和对顶角的性质．能正确识别对顶角并理解对顶角相等是解决此题的关键．
10．（2020·辽宁省初一期中）过一点画已知直线的垂线，可画垂线的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数
【答案】B
【分析】
根据垂直的性质：过直线外或直线上一点画已知直线的垂线，可以画一条，据此解答．
【详解】
在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，
故选：B
【点睛】
此题考查了直线的垂直的性质，注意基础知识的识记和理解．
二、填空题
11．（2020·赤壁市第五初级中学初一期中）如图所示，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是_____．
【答案】垂线段最短．
【分析】
根据垂线段的性质，可得答案．
【详解】
解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是垂线段最短，
故答案为垂线段最短．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上所有点的连线：垂线段最短．
12．（2020·山东省青岛第五十九中学初一期中）在同一平面内，两个角的两边分别垂直，其中一个角的度数是另一个角的倍少，那么这两个度数分别是___________（只写数字，不写单位）．
【答案】129°，51°或12°，12°
【分析】
设另一个角为α，则这个角是3α-24°，然后根据两边分别垂直的两个角相等或互补列式计算即可得解．
【详解】
解：设另一个角为α，则这个角是3α-24°，
∵两个角的两边分别垂直，
∴α+3α-24°=180°或α=3α-24°，
解得α=51°或α=12°，
∴3α-24°=129°或3α-24°=12°，
这两个角是129°，51°或12°，12°．
故答案为：129°，51°或12°，12°．
【点睛】
本题考查了垂线，熟记两边分别垂直的两个角相等或互补是解本题的关键．
13．（2019·佛山市南海外国语学校初一月考）如图所示，计划把河水引到水池A中，先作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是________________________________。
【答案】垂线段最短.
【分析】
根据垂线段最短作答.
【详解】
解：根据“连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短”，所以沿AB开渠，能使所开的渠道最短，故答案为“垂线段最短”.
【点睛】
本题考查垂线段最短的实际应用，属于基础题目，难度不大.
14．（2018·上海初一期中）如图，，，则点到所在直线的距离是线段______的长．
【答案】
【分析】
直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．根据点到直线的距离的定义进行解答即可．
【详解】
解：∵CD⊥AB，
∴线段CD的长度表示点C到AB所在直线的距离．
故答案为：CD．
【点睛】
本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离是解答此题的关键．
15．（2018·上海初一期末）如图，如果垂足为，，，那么点到的距离为_______．
【答案】
【分析】
根据AB⊥BC，BC=4，可知点C到AB的距离为4．
【详解】
∵AB⊥BC，BC=4，
∴可知点C到AB的距离为4，
故答案是：4．
【点睛】
本题运用了点到直线的距离定义，关键是理解好定义．
16．（2020·辽宁省初一期中）如图，直线、交于点，于点，，则的度数为__________．
【答案】35°
【分析】
根据垂直的定义得到∠CEF=90°，根据求出∠AEC=35°，再根据对顶角相等求出的度数.
【详解】
∵，
∴∠CEF=90°，
∴∠AEC+∠AEF=90°，
∵，
∴∠AEC=35°，
∴=∠AEC=35°，
故答案为：35°.
【点睛】
此题考查垂直的定义，对顶角的性质，掌握图形中各角度之间的关系是解题的关键.
17．（2020·北京市文汇中学初一期中）如图，点A,B,C,D,E在直线上，点P在直线外，PC⊥于点C，在线段PA,PB,PC,PD,PE中，最短的一条线段是_____，理由是___
【答案】PC； 垂线段最短．
【分析】
点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长，根据定义即可选出答案．
【详解】
根据点到直线的距离的定义得出线段PC的长是点P到直线l的距离，从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．
故答案是：PC；垂线段最短．
【点睛】
本题考查了对点到直线的距离的应用，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长．
18．（2020·北京陈经纶中学分校实验学校初一期中）如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A1，A2，A3，…，其中PO⊥l，这些线段PO，PA1，PA2，PA3，…中，最短的线段是_________．
【答案】PO
【分析】
根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”作答．
【详解】
∵PO⊥l，
∴这些线段PO，PA1，PA2，PA3，…中，最短的线段是 PO．
故答案是：PO．
【点睛】
此题主要考查了垂线性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短．
三、解答题
19．（2019·苏州市景范中学校初一期末）如图，△ABC的三个顶点均在格点处.
（1）找一个格点D，过点C画AB的平行线CD；
（2）找一个格点E，过点C画AB的垂线CE，垂足为H；
（3）过点H画BC的垂线段，交BC于点G，则哪条线段的长度是点H到线段BC的距离；写出线段AC、CH、HG的大小关系．（用“＜”号连接）．
【答案】(1)作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析，HG
【分析】
根据平行线和垂线的定义，结合网格作图即可得.
【详解】
（1）如图所示：
（2）如图所示:
（3）如图所示，HG【点睛】
本题主要考查作图-应用与设计作图，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、垂线的定义.
20．（2018·山东省初一期中）如图1，∠AOC和∠BOD都是直角．
（1）若∠DOC，则∠AOB=________度；
（2）写出图1中所有相等的角：________________；
（3）若∠DOC逐渐变小，则∠AOB将如何变化？
答：________________________________________；
（4）在图2中利用画直角的工具再画一个与∠COB相等的角．
【答案】（1）；（2）∠AOD=∠BOC，∠AOC=∠BOD；（3）∠AOB将逐渐增大；（4）详见解析
【分析】
（1）根据∠AOC＝90°，∠DOC，求出∠AOD的度数，然后即可求出∠AOB的度数；
（2）根据等式的性质可得∠AOD＝∠BOC；
（3）根据∠AOD＋∠DOC＋∠DOC＋∠BOC＝180°，可得∠AOB＋∠DOC＝180°，进而得到∠DOC变小∠AOB变大．
（4）首先以BO为边，在∠BOC外画∠DOB＝90°，再以OC为边在∠BOD外画∠AOC＝90°，即可得到∠AOD＝∠BOC．
【详解】
（1）∵∠AOC和∠BOD都是直角，
∴∠AOC＝∠BOD＝90°，
∵∠DOC＝28°，
∴∠AOD＝90°?28°＝62°，
∴∠AOB＝∠AOD＋∠BOD＝90°＋62°＝152°
故答案为：152°；
（2）∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOD＋∠COD＝∠BOC＋∠COD，
∴∠AOD＝∠BOC
故答案为：∠AOD＝∠BOC；
（3）∠DOC变小，则∠AOB变大；
∵∠AOD＋∠DOC＋∠DOC＋∠BOC＝180°，
∴∠AOB＋∠DOC＝180°，
∴当∠DOC变小，则∠AOB变大
故答案为：∠DOC变小，则∠AOB变大；
（4）如图所示：∠AOD为所求．
【点睛】
本题考查了余角和补角，以及角的计算，是基础题，准确识图是解题的关键．
21．（2019·天津初一期中）如图所示，直线与相交于点，于点，，求与的度数．
【答案】
【分析】
先根据且得出，再根据求出，再求算，然后根据对顶角相等求算的度数．
【详解】
∵（对顶角相等），
（已知）
∴（等量代换）
∵（已知）
∴（垂直定义）
∴
∵
∴
∴（对顶角相等）
【点睛】
本题考查了垂直的定义以及对顶角的相关计算，掌握对顶角相等以及垂直定义是解题关键．
22．（2020·全国初一单元测试）如图，是一条河，C是河边AB外一点：
（1）过点C要修一条与河平行的绿化带，请作出正确的示意图．
（2）现欲用水管从河边AB，将水引到C处，请在图上测量并计算出水管至少要多少？（本图比例尺为1：2000）
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析：（1）过点C作AB的平行线．（2）过点C作CD垂直于AB交AB于点D．根据垂线段最短，可得CD长度最小，量出CD的长度，然后按比例尺求出实际的距离．
试题解析：如图：
（1）过点C画一平行线平行于AB．
（2）过点C作CD垂直于AB交AB于点D．
然后用尺子量CD的长度，再按1：2000的比例求得实际距离即可．
经测量
23．（2019·山东省初一期中）如图，某村庄计划把河中的水引到水池M中，怎样开的渠最短，为什么（保留作图痕迹，不写作法和证明）
理由是：______．
【答案】垂线段最短
【分析】
利用垂线段最短，过点M作河岸的垂线段即可．
【详解】
解：理由是：垂线段最短．
作图如下：
24．（2019·上海初一期末）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：
（1）作边上的高；
（2）过点作直线的垂线，垂足为；
（3）点到直线的距离是线段________的长度．
（不要求写画法，只需写出结论即可）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BH
【分析】
（1）过点C向AB作垂线垂足为H，画出图形即可；
（2）过点H向CB作垂线垂足为D，画出图形即可；
（3）根据点到直线的距离即可得出点B到直线CH的距离是线段BH的长度．
【详解】
解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）点B到直线CH的距离是线段BH的长度．
故答案为：BH．
【点睛】
此题考查了作图——基本作图，一边上的高应是过这边的对角的顶点向这边引垂线，顶点和垂足间的线段就是这边上的高．
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