人教版B版（2019）高中数学必修第二册：第四章 指数函数、对数函数与幂函数 综合测试（word附答案与解析）
文档属性
| 名称 | 人教版B版（2019）高中数学必修第二册：第四章 指数函数、对数函数与幂函数 综合测试（word附答案与解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 894.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-26 10:02:48 | ||
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文档简介
第四章综合测试
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数，则（ ）
A. B.0 C.1 D.2
3.设函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，且，若，则函数的图像为（ ）
A B C D
7.给出下列命题：
①函数为偶函数；
②函数在上单调递增；
③函数在区间上单调递减；
④函数与的图像关于直线对称。
其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.设函数，则下列命题中不正确的是（ ）
A.函数的定义域为 B.函数是增函数
C.函数的图像关于直线对称 D.函数的值域是
9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数关系式（为常数）.通常这种热饮在时，口感最佳，某天室温为，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
11.给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A.函数的最大值为
B.已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是
C.在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称
D.已知定义在上的奇函数在内有1 010个零点，则函数的零点个数为2 021
12.定义“正对数”：若，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）
13.已知为定义在上的奇函数，且当时，，则的值为________.
14.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5 300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是________年.（参考数据：，，）
15.已知函数（且）在上的值域是.若函数的图像不经过第一象限，则的取值范围为________.
16.若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）（1）计算的值；
（2）计算：.
18.（12分）已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求实数的值，并简要说明函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
19.（12分）目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为.
（1）设年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的倍，请用，表示；
（2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的？（参考数据：，）
20.（12分）已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数的最小值记为，求的最大值.
21.（12分）已知函数（其中均为常数，且）的图像经过点与点.
（1）求的值；
（2）设函数，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.
22.（12分）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围；
（3）若函数，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
第四章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】D
【解析】由，得，所以，所以.
2.【答案】C
，
，
.
3.【答案】A
【解析】函数在定义域内单调递增，，
不等式等价于，解得，故选A.
4.【答案】C
【解析】知函数为偶函数，且在为增函数，，，，所以，即.
5.【答案】B
【解析】由题意得
解得，故选B.
6.【答案】A
【解析】由题意，得，令，则，解得或（舍去），
所以，即，所以的图像即为的图像，故选A.
7.【答案】C
【解析】由，知为偶函数，因此①正确；由知在上单调递增，因此②正确；当时，，它在上是增函数，因此③错误；由知与的图像关于直线对称，因此④正确，故选C.
8.【答案】B
【解析】A中命题正确，恒成立，函数的定义域为；B中命题错误，函数在时是增函数，在时是减函数；C中命题正确，函数的图像关于直线对称：D中命题正确，由可得，函数的值域为.故选B.
9.【答案】C
【解析】由题图知，当时，函数图像是一条线段，当时，因为函数的解析式为，所以将和代入解析式，
得解得故函数的解析式为.令，解得，所以最少需要的时间为.
10.B根据已知画出函数的草图如下。
不妨设，，
，，
解得，由图可知，.
二、
1l.【答案】CD
【解析】A错，令，则的最大值为1，的最小值为；B错，函数（且）在上是减函数，解得；C正确，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称；D正确，定义在上的奇函数在内有1 010个零点，在内有1 010个零点，且.函数的零点个数为.
故选CD.
12.【答案】AD
【解析】对于A，当，时，有，从而,，所以；当，时，有，从而，，所以.
所以当，时，，所以A正确。
对于B，当，时满足，，而，，
所以，所以B错误。
对于C，令，，则，，显然，所以C错误.
对于D，由“正对数”的定义知，当时，有，当，时，有，从而，，所以；当，时，有，
从而，，所以；当，时，有，从而，，所以；
当时，，，因为，所以，所以.
综上所述，当时，，所以D正确，故选AD.
三、
13.【答案】
【解析】因为为奇函数，所以.
14.【答案】2023
【解析】设从第年开始超过7 000万元，则，即，
，取，又，所以开始超过7 000万元的年份是2023年.
15.【答案】
【解析】由题意得，
当时，在上单调递减，无解；
当时，在上单调递增，解得.
，又的图像不经过第一象限，，解得，即的取值范围是.
16.【答案】
【解析】对一切恒成立等价于在上恒成立，即对一切恒成立.
，，
即，
，即，解得.
四、
17.【答案】（1）解：原式.
（2）解：原式
.
18.【答案】（1）解：因为是幂函数，所以，解得或.
又因为在上单调递增，
所以，即，
所以，则
因为与均在上单调递增，
所以函数在上单调递增.
（2）易知的定义域为.因为，所以是奇函数，所以不等式可变为.
由（1）知在上单调递增，所以，解得.
19.【答案】（1）解：设2017年的产能为1.依题意得，
，.
（2）设年后年产能不超过2017年的，则，即，
解得，即，
，且，
的最小值为14，
.
至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的.
20.【答案】（1）解：当时，，
由得.
因此，当时，；
当时，.
故的值域为.
（2）解：，.
令，，则，易知为二次函数，其图像的对称轴为直线.
①当时，；
②当是，；
③当时，.
所以
所以.
21.【答案】（1）解：由已知得消去得，即，又且，
所以，.
（2）由（1）知函数的解析式为，的解析式为.
当时，函数单调递增，其值域为.
令，当时，，于是，易得.
设函数，则函数的值域为，根据条件知，于是
解得.
所以实数的取值范围为.
22.【答案】（1）由函数是偶函数可知，
，
，即对一切恒成立，.
（2）函数与的图像有且只有一个公共点，
方程有且只有一个实根，
方程有且只有一个实根.
令，则方程有且只有一个正根.
①当时。方程即为，解得，不符合题意；
②当时，若方程有两个相等的正根，则，即，解得或，
当时，解得，不符合题意；
当时，解得；若方程有一个正根与一个负根，则解得.
以上结果经过验证均满足.
综上，实数的取值范围是.
（3）解：存在。理由：由题意得，.
令，则，则，，
易知的图像开口向上，对称轴为，
当，即时，，；
当，即时，，（含去）：
当，即时，，（舍去）.
综上，存在使得的最小值为0.
高中数学 必修第二册 4 / 5
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数，则（ ）
A. B.0 C.1 D.2
3.设函数，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数，若，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.已知，是上的减函数，那么实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，且，若，则函数的图像为（ ）
A B C D
7.给出下列命题：
①函数为偶函数；
②函数在上单调递增；
③函数在区间上单调递减；
④函数与的图像关于直线对称。
其中正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
8.设函数，则下列命题中不正确的是（ ）
A.函数的定义域为 B.函数是增函数
C.函数的图像关于直线对称 D.函数的值域是
9.某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到，水温与时间近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度与时间近似满足函数关系式（为常数）.通常这种热饮在时，口感最佳，某天室温为，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数若互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
11.给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A.函数的最大值为
B.已知函数（且）在上是减函数，则实数的取值范围是
C.在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称
D.已知定义在上的奇函数在内有1 010个零点，则函数的零点个数为2 021
12.定义“正对数”：若，，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）
13.已知为定义在上的奇函数，且当时，，则的值为________.
14.某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年（记为第1年）全年投入研发资金5 300万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长8%，则该公司全年投入的研发资金开始超过7 000万元的年份是________年.（参考数据：，，）
15.已知函数（且）在上的值域是.若函数的图像不经过第一象限，则的取值范围为________.
16.若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）（1）计算的值；
（2）计算：.
18.（12分）已知幂函数在上单调递增，函数.
（1）求实数的值，并简要说明函数的单调性；
（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.
19.（12分）目前，我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.某企业从2018年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为.
（1）设年后（2018年记为第1年）年产能为2017年的倍，请用，表示；
（2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017年的？（参考数据：，）
20.（12分）已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2）若函数的最小值记为，求的最大值.
21.（12分）已知函数（其中均为常数，且）的图像经过点与点.
（1）求的值；
（2）设函数，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围.
22.（12分）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围；
（3）若函数，是否存在实数使得最小值为0，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
第四章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】D
【解析】由，得，所以，所以.
2.【答案】C
，
，
.
3.【答案】A
【解析】函数在定义域内单调递增，，
不等式等价于，解得，故选A.
4.【答案】C
【解析】知函数为偶函数，且在为增函数，，，，所以，即.
5.【答案】B
【解析】由题意得
解得，故选B.
6.【答案】A
【解析】由题意，得，令，则，解得或（舍去），
所以，即，所以的图像即为的图像，故选A.
7.【答案】C
【解析】由，知为偶函数，因此①正确；由知在上单调递增，因此②正确；当时，，它在上是增函数，因此③错误；由知与的图像关于直线对称，因此④正确，故选C.
8.【答案】B
【解析】A中命题正确，恒成立，函数的定义域为；B中命题错误，函数在时是增函数，在时是减函数；C中命题正确，函数的图像关于直线对称：D中命题正确，由可得，函数的值域为.故选B.
9.【答案】C
【解析】由题图知，当时，函数图像是一条线段，当时，因为函数的解析式为，所以将和代入解析式，
得解得故函数的解析式为.令，解得，所以最少需要的时间为.
10.B根据已知画出函数的草图如下。
不妨设，，
，，
解得，由图可知，.
二、
1l.【答案】CD
【解析】A错，令，则的最大值为1，的最小值为；B错，函数（且）在上是减函数，解得；C正确，在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称；D正确，定义在上的奇函数在内有1 010个零点，在内有1 010个零点，且.函数的零点个数为.
故选CD.
12.【答案】AD
【解析】对于A，当，时，有，从而,，所以；当，时，有，从而，，所以.
所以当，时，，所以A正确。
对于B，当，时满足，，而，，
所以，所以B错误。
对于C，令，，则，，显然，所以C错误.
对于D，由“正对数”的定义知，当时，有，当，时，有，从而，，所以；当，时，有，
从而，，所以；当，时，有，从而，，所以；
当时，，，因为，所以，所以.
综上所述，当时，，所以D正确，故选AD.
三、
13.【答案】
【解析】因为为奇函数，所以.
14.【答案】2023
【解析】设从第年开始超过7 000万元，则，即，
，取，又，所以开始超过7 000万元的年份是2023年.
15.【答案】
【解析】由题意得，
当时，在上单调递减，无解；
当时，在上单调递增，解得.
，又的图像不经过第一象限，，解得，即的取值范围是.
16.【答案】
【解析】对一切恒成立等价于在上恒成立，即对一切恒成立.
，，
即，
，即，解得.
四、
17.【答案】（1）解：原式.
（2）解：原式
.
18.【答案】（1）解：因为是幂函数，所以，解得或.
又因为在上单调递增，
所以，即，
所以，则
因为与均在上单调递增，
所以函数在上单调递增.
（2）易知的定义域为.因为，所以是奇函数，所以不等式可变为.
由（1）知在上单调递增，所以，解得.
19.【答案】（1）解：设2017年的产能为1.依题意得，
，.
（2）设年后年产能不超过2017年的，则，即，
解得，即，
，且，
的最小值为14，
.
至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的.
20.【答案】（1）解：当时，，
由得.
因此，当时，；
当时，.
故的值域为.
（2）解：，.
令，，则，易知为二次函数，其图像的对称轴为直线.
①当时，；
②当是，；
③当时，.
所以
所以.
21.【答案】（1）解：由已知得消去得，即，又且，
所以，.
（2）由（1）知函数的解析式为，的解析式为.
当时，函数单调递增，其值域为.
令，当时，，于是，易得.
设函数，则函数的值域为，根据条件知，于是
解得.
所以实数的取值范围为.
22.【答案】（1）由函数是偶函数可知，
，
，即对一切恒成立，.
（2）函数与的图像有且只有一个公共点，
方程有且只有一个实根，
方程有且只有一个实根.
令，则方程有且只有一个正根.
①当时。方程即为，解得，不符合题意；
②当时，若方程有两个相等的正根，则，即，解得或，
当时，解得，不符合题意；
当时，解得；若方程有一个正根与一个负根，则解得.
以上结果经过验证均满足.
综上，实数的取值范围是.
（3）解：存在。理由：由题意得，.
令，则，则，，
易知的图像开口向上，对称轴为，
当，即时，，；
当，即时，，（含去）：
当，即时，，（舍去）.
综上，存在使得的最小值为0.
高中数学 必修第二册 4 / 5