人教版B版（2019）高中数学必修第二册：第六章 平面向量初步 综合测试（Word附答案与解析）
文档属性
| 名称 | 人教版B版（2019）高中数学必修第二册：第六章 平面向量初步 综合测试（Word附答案与解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 950.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-05-26 09:58:05 | ||
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文档简介
第六章综合测试
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知平面向量；，则向量等于（ ）
A. B. C. D.
2.化简：（ ）
A. B. C. D.
3.下列说法中正确的是（ ）
A.若，则四点构成一个平行四边形
B.零向量与单位向量的模相等
C.若和都是单位向量，则或
D.零向量与任何向量都共线
4.在四边形中，设，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5.已知平面内两点，则与向量同向的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
6.在中，为边上的中线，点为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图所示，是的边上的两点，且，则化简的结果为（ ）
A.0 B. C. D.
8.过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的（ ）
A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心
9.已知是平面内的三个点，直线上有一点，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
10.在直角梯形中，，，，，分别为、的中点，为以为圆心，为半径的圆弧的中点（如图所示）.若，其中，则的值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
11.下列命题中不正确的是（ ）
A.两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同
B.若非零向量与共线，则四点共线
C.若非零向量与共线，则
D.四边形是平行四边形，则必有
12.下列说法中正确的是（ ）
A.模相等的两个向量是相等向量
B.若，分别表示，的面积，则
C.两个非零向量，若，则与共线且反向
D.若，则存在唯一实数入使得
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）
13.已知点固定，且，则点构成的图形是________.
14.已知点为四边形所在平面内一点，且向量满足等式，则四边形的形状一定为________.
15.设向量，不平行，向量与平行，则实数________.
16.如图，在长方形中，分别为线段的中点，若，则的值为________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知向量.
（1）求与同向的单位向量；
（2）若向量，请以向量为基底表示向量.
18.（12分）已知平面内的三个向量.
（1）若，求的值；
（2）若向量与向量共线，求实数的值.
19.（12分）如图，在中，点是的中点，点是靠近点将分成的一个内分点，和交于点，设，.
（1）用表示向量；
（2）若，求的值.
20.（12分）已知向量与向量的对应关系用表示.
（1）设，求向量与的坐标；
（2）求使（为常数）的向量的坐标；
（3）证明：对任意的向量及常数恒有成立.
21.（12分）已知，设，，.
（1）求的值；
（2）求满足的实数的值；
（3）若线段的中点为，线段的三等分点为（点靠近点），求.
22.（12分）如图，已知河水自西向东流，流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在水中的实际速度为.
（1）若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小；
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小.
第六章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】A
【解析】因为，所以，又因为，所以，故选A.
2.【答案】A
【解析】，故选A.
3.【答案】D
【解析】对于选项A，四点可能共线，故A不正确；对于选项B，零向量的模为0，单位向量的模为1，不相等，故B不正确；对于选项C，因为和都是单位向量，所以，但它们的方向是任意的，故C不正确；对于选项D，零向量与任何向量都共线，故D正确.故选D.
4.【答案】A
【解析】因为四边形中，，，，所以，故选A.
5.【答案】B
【解析】因为两点，，所以，所以，所以与向量同向的单位向量为，故选B.
6.【答案】B
【解析】因为在中，为边上的中线，点为的中点，
所以，故选B.
7.【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，故选A.
8.【答案】B
【解析】因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点，则，则恒成立如图：
则有直线经过的中点，同理可得直线经过的中点，直线经过的中点，所以点是的重心，故选B.
9.【答案】A
【解析】由向量的运算法则可得，，
又，则，即，即，故选A.
10.【答案】A
【解析】因为为以为圆心，为半径的圆弧的中点，所以，，所以，
因为在直角梯形中，，，，，分别为的中点，所以易证得四边形为平行四边形，故，，
若，则，即解得故，故选A.
二、
11.【答案】ABC
【解析】A中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A中命题不正确；B中，向量与共线，只能说明、方所在直线平行或在同一条直线上，所以B中命题不正确；C中，向量与共线，说明与方向相同或相反，与不一定相等，所以C中命题不正确；D中，因为四边形是平行四边形，所以与是相反向量、所以，所以D中命题正确、故选ABC.
12.【答案】BC
【解析】相等向量是大小相等、方向相同的向量，向量的模相等，但方向不一定相同，故A选项错误；设的中点为，的中点为，因为，所以，即，所以是线上靠近点的三等分点，可知到的距离等于到距离的，而到的距离等于到距离的2倍，故可知到的距离等于到距离的，根据三角形面积公式可知选项正确；C选项中，当与共线且反向时，可知成立，当与不共线或共线方向相同时，结论不成立，故C选项正确；D选项错误，例如.故选BC.
三、
13.【答案】圆
【解析】因为，所以点到点的距离为2，故点构成的图形是以点为圆心、2为半径的圆。
14.【答案】平行四边形
【解析】，，
，因此四边形一定为平行四边形..
15.【答案】
【解析】不平行，.
又与平行，
根据平面向量基本定理，得解得.
16.【答案】
【解析】设，（，），以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，则，又，
即，
则
即
解得
所以.
四、
17.【答案】（1），，
与同向的单位向量.
（2）设，则，
解得
.
18.【答案】，，
.
又，
解得.
（2），，
与共线，，.
19.【答案】（1）解：因为点是的中点，所以，
所以.
又点是靠近点将分成的一个内分点，所以，所以.
（2）解：因为三点共线，所以存在实数，使得，又，，所以，又不共线，则解得.
20.【答案】（1）解：
.
（2）解：，则，
.
（3）证明：设，，
则，
，
，，
.
恒成立.
21.【答案】（1）解：，
且，
，
，
（2），
（3）解：线段的中点为，线段的三等分点为（点靠近点），
，，
点坐标为，点坐标为，.
22.【答案】解：设，，，
由题意可知，，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形为平行四边形.
（1）当此人朝正南方向游去时，四边形为矩形，且，如图所示，
则在中，，
，又，所以.
故此人实际前进方向与水流方向的夹角为，的大小为.
（2）由题意知，且，，如图所示，
则在，，，，所以，则.
故此人游泳的方向与水流方向的夹角为，的大小为.
高中数学 必修第二册 2 / 5
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知平面向量；，则向量等于（ ）
A. B. C. D.
2.化简：（ ）
A. B. C. D.
3.下列说法中正确的是（ ）
A.若，则四点构成一个平行四边形
B.零向量与单位向量的模相等
C.若和都是单位向量，则或
D.零向量与任何向量都共线
4.在四边形中，设，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5.已知平面内两点，则与向量同向的单位向量是（ ）
A. B. C. D.
6.在中，为边上的中线，点为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
7.如图所示，是的边上的两点，且，则化简的结果为（ ）
A.0 B. C. D.
8.过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的（ ）
A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心
9.已知是平面内的三个点，直线上有一点，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
10.在直角梯形中，，，，，分别为、的中点，为以为圆心，为半径的圆弧的中点（如图所示）.若，其中，则的值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
11.下列命题中不正确的是（ ）
A.两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同
B.若非零向量与共线，则四点共线
C.若非零向量与共线，则
D.四边形是平行四边形，则必有
12.下列说法中正确的是（ ）
A.模相等的两个向量是相等向量
B.若，分别表示，的面积，则
C.两个非零向量，若，则与共线且反向
D.若，则存在唯一实数入使得
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）
13.已知点固定，且，则点构成的图形是________.
14.已知点为四边形所在平面内一点，且向量满足等式，则四边形的形状一定为________.
15.设向量，不平行，向量与平行，则实数________.
16.如图，在长方形中，分别为线段的中点，若，则的值为________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知向量.
（1）求与同向的单位向量；
（2）若向量，请以向量为基底表示向量.
18.（12分）已知平面内的三个向量.
（1）若，求的值；
（2）若向量与向量共线，求实数的值.
19.（12分）如图，在中，点是的中点，点是靠近点将分成的一个内分点，和交于点，设，.
（1）用表示向量；
（2）若，求的值.
20.（12分）已知向量与向量的对应关系用表示.
（1）设，求向量与的坐标；
（2）求使（为常数）的向量的坐标；
（3）证明：对任意的向量及常数恒有成立.
21.（12分）已知，设，，.
（1）求的值；
（2）求满足的实数的值；
（3）若线段的中点为，线段的三等分点为（点靠近点），求.
22.（12分）如图，已知河水自西向东流，流速为，设某人在静水中游泳的速度为，在水中的实际速度为.
（1）若此人朝正南方向游去，且，求他实际前进方向与水流方向的夹角和的大小；
（2）若此人实际前进方向与水流垂直，且，求他游泳的方向与水流方向的夹角和的大小.
第六章综合测试
答案解析
一、
1.【答案】A
【解析】因为，所以，又因为，所以，故选A.
2.【答案】A
【解析】，故选A.
3.【答案】D
【解析】对于选项A，四点可能共线，故A不正确；对于选项B，零向量的模为0，单位向量的模为1，不相等，故B不正确；对于选项C，因为和都是单位向量，所以，但它们的方向是任意的，故C不正确；对于选项D，零向量与任何向量都共线，故D正确.故选D.
4.【答案】A
【解析】因为四边形中，，，，所以，故选A.
5.【答案】B
【解析】因为两点，，所以，所以，所以与向量同向的单位向量为，故选B.
6.【答案】B
【解析】因为在中，为边上的中线，点为的中点，
所以，故选B.
7.【答案】A
【解析】因为，所以，
所以，故选A.
8.【答案】B
【解析】因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点，则，则恒成立如图：
则有直线经过的中点，同理可得直线经过的中点，直线经过的中点，所以点是的重心，故选B.
9.【答案】A
【解析】由向量的运算法则可得，，
又，则，即，即，故选A.
10.【答案】A
【解析】因为为以为圆心，为半径的圆弧的中点，所以，，所以，
因为在直角梯形中，，，，，分别为的中点，所以易证得四边形为平行四边形，故，，
若，则，即解得故，故选A.
二、
11.【答案】ABC
【解析】A中，相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A中命题不正确；B中，向量与共线，只能说明、方所在直线平行或在同一条直线上，所以B中命题不正确；C中，向量与共线，说明与方向相同或相反，与不一定相等，所以C中命题不正确；D中，因为四边形是平行四边形，所以与是相反向量、所以，所以D中命题正确、故选ABC.
12.【答案】BC
【解析】相等向量是大小相等、方向相同的向量，向量的模相等，但方向不一定相同，故A选项错误；设的中点为，的中点为，因为，所以，即，所以是线上靠近点的三等分点，可知到的距离等于到距离的，而到的距离等于到距离的2倍，故可知到的距离等于到距离的，根据三角形面积公式可知选项正确；C选项中，当与共线且反向时，可知成立，当与不共线或共线方向相同时，结论不成立，故C选项正确；D选项错误，例如.故选BC.
三、
13.【答案】圆
【解析】因为，所以点到点的距离为2，故点构成的图形是以点为圆心、2为半径的圆。
14.【答案】平行四边形
【解析】，，
，因此四边形一定为平行四边形..
15.【答案】
【解析】不平行，.
又与平行，
根据平面向量基本定理，得解得.
16.【答案】
【解析】设，（，），以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，则，又，
即，
则
即
解得
所以.
四、
17.【答案】（1），，
与同向的单位向量.
（2）设，则，
解得
.
18.【答案】，，
.
又，
解得.
（2），，
与共线，，.
19.【答案】（1）解：因为点是的中点，所以，
所以.
又点是靠近点将分成的一个内分点，所以，所以.
（2）解：因为三点共线，所以存在实数，使得，又，，所以，又不共线，则解得.
20.【答案】（1）解：
.
（2）解：，则，
.
（3）证明：设，，
则，
，
，，
.
恒成立.
21.【答案】（1）解：，
且，
，
，
（2），
（3）解：线段的中点为，线段的三等分点为（点靠近点），
，，
点坐标为，点坐标为，.
22.【答案】解：设，，，
由题意可知，，
根据向量加法的平行四边形法则得四边形为平行四边形.
（1）当此人朝正南方向游去时，四边形为矩形，且，如图所示，
则在中，，
，又，所以.
故此人实际前进方向与水流方向的夹角为，的大小为.
（2）由题意知，且，，如图所示，
则在，，，，所以，则.
故此人游泳的方向与水流方向的夹角为，的大小为.
高中数学 必修第二册 2 / 5