中小学教育资源及组卷应用平台
7.2坐标方法的简单应用 同步训练（学生版）
一、单选题
1．（2020·北京北理工附中初三其他）如图，直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O1为原点，点A 的坐标为（1，1）．将点O1平移2个单位长度到点O2，点A的位置不变，如果以O2为原点，那么点A的坐标可能是（ ）
A．（3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（﹣2，﹣1） D．（2+1，2+1）
2．（2018·河南省初三二模）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2018的坐标是（ ）
A．（1，4） B．（4，3） C．（2，4） D．（4，1）
3．（2018·山东省初一月考）如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右,向下,向右的方向不断地移动,每次移动一个单位,得到点(0,1),(1,1), (1,0), (2,0),…那么点A4n+1(n为自然数)的坐标为（ ）
A．(2n,0) B．(2n,1) C．(4n,0) D．(4n,1)
4．（2018·江西育华学校初一月考）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定：正方形内部 不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于 x 轴的正方形：边长为 1 的正方形内部有 1 个整点，边长为 2 的正方形内部有 1 个整点，边长为 3 的正方形内部 有 9 个整点，…，则边长为 10 的正方形内的整点个数为（ ）
A．64 个 B．100 个 C．81 个 D．121 个
5．（2018·全国初一期中）如图，已知正方形ABCD，定点A（1，3），B（1，1），C（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2 017次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（－2015，2） B．（－2015，－2） C．（－2016，－2） D．（－2016，2）
6．（2017·吉林省中考模拟）如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2017的横坐标为（ ）
A．1010 B．2 C．1 D．﹣1006
7．（2014·福建省中考真题）如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB饶点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，则点A′的坐标是（ ）
A．（2，﹣2） B．（2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，﹣2）
二、填空题
8．（2018·福建省初二期中）正方形、、、…按如图所示的方式放置.点、、、…和点、、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是__________．（为正整数）
9．（2019·山东省初三一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段向右平移，则在平移过程中，的最小值是__．
10．（2019·无锡市新安中学初二月考）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为___________．
11．（2019·江苏省南京市浦口区第四中学初三三模）把点A（a，-2）向左平移3个单位，所得的点与点A关于y轴对称，则a等于 .
12．（2019·全国初二单元测试）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、…，若点的坐标为（2,0），则点的坐标为__________.
13．（2017·河北省初一期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每一个正 方形(实线)四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第 20 个正方形(实线)四条边上的整 点个数共有____个．
14．（2018·广西壮族自治区初一期末）如图所示一个质点在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一秒内它由原点移动到(0,1)点，而后接着按图所示在x轴，y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么质点运动到点(n,n)（n为正整数）的位置时，用代数式表示所用的时间为_________秒.
15．（2018·广西壮族自治区初三一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），线段OA绕原点O沿逆时针方向旋转45°，并且每次的长度增加一倍，例如：OA1=2OA，∠A1OA=45°．按照这种规律变换下去，点A2017的纵坐标为_____．
16．（2018·全国初一单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，）、B（﹣1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到点A2015为止，则点A2015坐标为__．
17．（2016·江苏省初二月考）如图，在直角坐标系中，已知点A(-4，0)，B(0，3)，对△OAB连续作旋转变换，依
次得到三角形（1）、三角形（2）、三角形（3）、三角形（4）、…，
（1）△AOB的面积是_____________；
（2）三角形（2016）的直角顶点的坐标是_____________.
18．（2017·黑龙江省中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
三、解答题
19．（2020·湖北省江夏一中初一期中）.如图 1，在平面直角坐标系中，A 、B 在坐标轴上，其中 A(0， a) ，B(b， 0)满足| a 3 | 0．
（1）求 A 、 B 两点的坐标；
（2）将 AB 平移到CD ， A 点对应点C(2， m) ， DE 交 y 轴于 E ，若ABC 的面积等于13，求点 E 的坐标；
（3）如图 2，若将 AB 平移到CD ，点 C、D 也在坐标轴上，F 为线段 AB 上一动点，（不包括点 A ，点B) ，连接OF 、FP 平分BFO ，BCP 2PCD，试探究COF，OFP ，CPF 的数量关系．
20．（2019·江苏省南通市北城中学初二月考）已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置，让三角尺在BC所在的直线上向右平移．如图①，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角尺的斜边DF上．
(1)利用图①证明：EF＝2BC．
(2)在三角尺的平移过程中，在图②中线段AH＝BE是否始终成立(假定AB，AC与三角尺的斜边的交点分别为G，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
21．（2019·山东省初一期末）如图，在平面直角坐标系中，同时将点A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接AC，BD
（1）求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形ABDC面积；
（2）在坐标轴上是否存在点P，连接PA、PC使S△PAC＝S四边形ABCD？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2018·河北省初一期末）如图：在四边形ABCD中，A、B、C、D四个点的坐标分别是：（-2，0）、（0，6）、（4，4）、（2，0）现将四边形ABCD先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，平移后的四边形是A'B'C′D'
（1）请画出平移后的四边形A'B'C′D'（不写画法），并写出A'、B'、C′、D'四点的坐标．
（2）若四边形内部有一点P的坐标为（a，b）写点P的对应点P′的坐标．
（3）求四边形ABCD的面积．
23．（2019·江苏省初一期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF．
（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是 ．
（3）画出△ABC的BC边上的高AM．
（4）满足三角形ACP的面积等于三角形ACB的面积的格点P有 个（不和B重合）
24．（2018·镇江市江南学校初二月考）如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（-3，2）．
（1）直接写出点E的坐标；
（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t等于多少秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②求点P在运动过程中的坐标，（用含t的式子表示，写出过程）；
③当3秒＜t＜5秒时，设∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，用含x，y的式子表示z.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
7.2坐标方法的简单应用 同步训练（教师版）
一、单选题
1．（2020·北京北理工附中初三其他）如图，直线m⊥n．在平面直角坐标系xOy中，x轴∥m，y轴∥n．如果以O1为原点，点A 的坐标为（1，1）．将点O1平移2个单位长度到点O2，点A的位置不变，如果以O2为原点，那么点A的坐标可能是（ ）
A．（3，﹣1） B．（1，﹣3） C．（﹣2，﹣1） D．（2+1，2+1）
【答案】A
【分析】
根据题意画出图形，利用平移的特征结合图形即可求解．
【详解】
如图，由题意，可得O1M=O1N=1．
∵将点O1平移2个单位长度到点O2，
∴O1O2=2，O1P=O2P=2，
∴PM=3，
∴点A的坐标是（3，﹣1），
故选A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．利用数形结合是解题的关键．
2．（2018·河南省初三二模）如图，弹性小球从点P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为P1（2，0），第2次碰到正方形的边时的点为P2，…，第n次碰到正方形的边时的点为Pn，则点P2018的坐标是（ ）
A．（1，4） B．（4，3） C．（2，4） D．（4，1）
【答案】D
【分析】
先根据反射角等于入射角先找出前几个点，直至出现规律，然后再根据规律进行求解.
【详解】
由分析可得p(0,1）、、、、、、等，故该坐标的循环周期为7则有则有，故是第2018次碰到正方形的点的坐标为（4，1）.
【点睛】
本题主要考察规律的探索，注意观察规律是解题的关键.
3．（2018·山东省初一月考）如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上,向右,向下,向右的方向不断地移动,每次移动一个单位,得到点(0,1),(1,1), (1,0), (2,0),…那么点A4n+1(n为自然数)的坐标为（ ）
A．(2n,0) B．(2n,1) C．(4n,0) D．(4n,1)
【答案】B
【解析】
分析：根据图象可得移动4次图象完成一个循环，由n=1，2，3，总结得出点A4n+1的坐标．
详解：由图可知，n=1时，4×1+1=5，点A5的坐标为（2，1）,
n=2时，4×2+1=9，点A9的坐标为（4，1）
n=1时，4×1+1=5，点A5的坐标为（6，1）
所以点A4n+1的坐标为（2n，1）
故选：B.
点睛：本题考查了点的坐标的变化规律,仔细观察图形,分别求出n=1,2,3，4时对应的点A4n+1的对应的坐标是解题的关键.
4．（2018·江西育华学校初一月考）在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点，且规定：正方形内部 不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于 x 轴的正方形：边长为 1 的正方形内部有 1 个整点，边长为 2 的正方形内部有 1 个整点，边长为 3 的正方形内部 有 9 个整点，…，则边长为 10 的正方形内的整点个数为（ ）
A．64 个 B．100 个 C．81 个 D．121 个
【答案】C
【解析】
分析：设边长为10的正方形内部的整点的坐标为(x,y)，所以?5详解：设边长为10的正方形内部的整点的坐标为(x,y)，x，y都为整数.
则?5故x只可取?4，?3，?2，?1，0，1，2，3，4共9个，y只可取?4，?3，?2，?1，0，1，2，3，4共9个，
它们共可组成点(x,y)的数目为9×9=81(个)
故答案为C.
点睛：本题考查了规律型：点的坐标.
5．（2018·全国初一期中）如图，已知正方形ABCD，定点A（1，3），B（1，1），C（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2 017次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（ ）
A．（－2015，2） B．（－2015，－2） C．（－2016，－2） D．（－2016，2）
【答案】B
【解析】
由正方形ABCD，顶点A（1，3）、B（1，1）、C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2017次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．
解答：
∵正方形ABCD,顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1).
∴对角线交点M的坐标为(2,2)，
根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2?1,?2),即(1,?2)，
第2次变换后的点M的对应点的坐标为：(2?2,2),即(0,2)，
第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2?3,?2),即(?1,?2)，
第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为(2?n,?2),当n为偶数时为(2?n,2)，
∴连续经过2017次变换后,正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(?2015,?2).
故选：B.
点睛：本题是一道找规律问题.解题本题的关键在于要通过操作、观察得出操作次数与点的坐标之间的内在联系，并归纳得出符合规律的字母公式.
6．（2017·吉林省中考模拟）如图，在一个单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2017的横坐标为（ ）
A．1010 B．2 C．1 D．﹣1006
【答案】A
【解析】∵A3是第一与第二个等腰直角三角形的公共点，
A5是第二与第三个等腰直角三角形的公共点，
A7是第三与第四个等腰直角三角形的公共点，
A9是第四与第五个等腰直角三角形的公共点，
∵2017=1008×2+1，
∴A2017是第1008个与第1009个等腰直角三角形的公共点，
∴A2017在x轴正半轴，
∵OA5=4，OA9=6，OA13=8，
∴OA2017=（2017+3）÷2=1010，
∴点A2017的坐标为（1010，0）．
故答案为：1010．
点睛：本题考查了点的坐标规律的变化，仔细观察图形，先确定点A2017是第1008个与第1009个等腰直角三角形的公共点并确定出在x轴正半轴是解题的关键．
7．（2014·福建省中考真题）如图，点B在x轴上，∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，将△OAB饶点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，则点A′的坐标是（ ）
A．（2，﹣2） B．（2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，﹣2）
【答案】B
【解析】
试题分析：∵∠ABO=90°，∠A=30°，OA=4，
∴∠AOB=60°，OB=OA=2，AB=OB=2，
∴A点坐标为（2，2），
∵△OAB饶点O按顺时针方向旋转120°得到△OA′B′，
∴∠A′OA=120°，OA′=OA=4，
∴∠A′OB=60°，
∴点A′和点A关于x轴对称，
∴点A′的坐标为（2，﹣2）．
故选B．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
二、填空题
8．（2018·福建省初二期中）正方形、、、…按如图所示的方式放置.点、、、…和点、、、…分别在直线和轴上，则点的坐标是__________．（为正整数）
【答案】
【解析】
分析：由图和条件可知A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），B1（1，1），B2（3，2），Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为（2n-1），然后就可以求出Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]．
详解：由图和条件可知A1（0，1）A2（1，2）A3（3，4），B1（1，1），B2（3，2），
∴Bn的横坐标为An+1的横坐标，纵坐标为An的纵坐标，
又An的横坐标数列为An=2n-1-1，所以纵坐标为2n-1，
∴Bn的坐标为[A（n+1）的横坐标，An的纵坐标]=（2n-1，2n-1）．
故答案为（2n-1，2n-1）．
点睛：本题主要考查函数图象上点的坐标特征及正方形的性质，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
9．（2019·山东省初三一模）如图，在平面直角坐标系中，点，，，将线段向右平移，则在平移过程中，的最小值是__．
【答案】
【分析】
过点C作直线， 作B关于的对称点E，连接AE，将直线AE向右平移至过C点得到直线DF，连接，过点 做 轴交轴于，则的最小值为DF的长度．
【详解】
如图：过点C作直线，作B点关于的对称点E，连接AE，将直线AE向右平移至过C点得到直线DF，连接，过点 做 轴交轴于
∵平移后A点对应点为D点，B点对应点为G点，根据对称性：
∴
∴的最小值为DF的长度
∵点，，，根据对称性知
∴
∴
∴的最小值为．
【点睛】
掌握根据对称性转化线段长度解决问题．两点之间，线段最短使我们解决最值问题常用的思路．
10．（2019·无锡市新安中学初二月考）如图，等边三角形的顶点A（1，1）、B（3，1），规定把等边△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如果这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为___________．
【答案】(-2018,)
【分析】
先求出C点坐标，然后求出点C翻转、平移一次后得到的结果，再求出点翻转、平移一次后得到的结果，…找出规律，最后算出翻转2020次得到的结果.
【详解】
由题意，可利用勾股定理求出等边三角形的高为，得到C点坐标为，翻转，平移一次为
翻转，平移两次为，
翻转，平移三次为
…
故C点翻转，平移n次的坐标为
当n=2020时，，故答案为(-2018,)
【点睛】
本题考查了坐标与图形变化-平移，等边三角形的性质，读懂题目信息，确定出连续2020次这样的变换得到三角形在x轴上方是解题的关键．
11．（2019·江苏省南京市浦口区第四中学初三三模）把点A（a，-2）向左平移3个单位，所得的点与点A关于y轴对称，则a等于 .
【答案】1.5
【解析】
试题解析：由题意，得a+（a-3）=0，解得a=1.5.
点睛：对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（2019·全国初二单元测试）在平面直角坐标系中，点经过某种变换后得到，我们把点叫做点的终结点．已知点的终结点为，点的终结点为，点的终结点为，这样依次得到、、、、…、…，若点的坐标为（2,0），则点的坐标为__________.
【答案】(2，0)
【解析】
分析：按题中所示规律，依次往后列举出一些点的坐标，观察这些点的坐标特征求解.
详解：根据题意得，P1(2，0)，P2(1，4)，P3(－3，3)，P4(－2，－1)，P5(2，0)，P6(1，4)，…….可以得到从第一个点开始，每4个点的坐标为一个循环.
因为2017＝504×4＋1，所以P2017与P1的坐标相同.
故答案为(2，0).
点睛：找数字的变化规律通常用列举法，按照一定的顺序列举一定数量的运算过程和结果，从运算过程中归纳出运算结果或运算结果的规律，当所得结果按一定的数量循环时，则可根据循环的规律来解答.
13．（2017·河北省初一期末）在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点，观察图中每一个正 方形(实线)四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第 20 个正方形(实线)四条边上的整 点个数共有____个．
【答案】80
【解析】
从内到外的正方形依次编号为1，2，3，……，n，则有：
正方形的序号 正方形四边上的整点的个数
1 2×4-4=4；
2 3×4-4=8；
3 4×4-4=12；
…… ……
n 4(n+1)-4=4n.
由里向外第 20 个正方形(实线)四条边上的整 点个数共有4×20=80.
故答案为80.
14．（2018·广西壮族自治区初一期末）如图所示一个质点在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一秒内它由原点移动到(0,1)点，而后接着按图所示在x轴，y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么质点运动到点(n,n)（n为正整数）的位置时，用代数式表示所用的时间为_________秒.
【答案】n(n+1)；
【解析】
分析：归纳走到（n，n）处时，移动的长度单位及方向即可．
详解：质点到达(1,1)处，走过的长度单位是2，方向向右；
质点到达(2,2)处，走过的长度单位是6=2+4，方向向上；
质点到达(3,3)处，走过的长度单位是12=2+4+6，方向向右；
质点到达(4,4)处，走过的长度单位是20=2+4+6+8，方向向上；
…,
质点到达(n,n)处,走过的长度单位是2+4+6+…+2n=n(n+1)，
点睛：本题属于归纳推理，要归纳出质点运动到点（n,n）处的时间可先推出质点运动到点（1,1）点（2,2）点（3,3）点（4,4）所需的时间（单位长度），发现其中的规律进而归纳出质点运动到点（n,n）处的时间.其中需知道2+4+6+…+2n=n(n+1)即可.
15．（2018·广西壮族自治区初三一模）在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，0），线段OA绕原点O沿逆时针方向旋转45°，并且每次的长度增加一倍，例如：OA1=2OA，∠A1OA=45°．按照这种规律变换下去，点A2017的纵坐标为_____．
【答案】22016?
【解析】
根据点A0的坐标为（1，0），可得OA=1．然后根据题意，将线段OA绕原点O沿逆时针方向旋转45°，可知360°÷45°=8，可得A1、A9、A17、···A2017都在第一象限， 再根据OA1=2OA=2，∠A1OA=45°，可求得A1的纵坐标为，
同理可得，A9放入纵坐标为；
∴A2017的纵坐标为.
故答案为：.
16．（2018·全国初一单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，）、B（﹣1，0），过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到点A2015为止，则点A2015坐标为__．
【答案】（﹣31008，0）
【解析】
∵A（0，）、B（-1，0），
∴AB⊥AA1，
∴A1的坐标为：（3，0），
同理可得：A2的坐标为：（0，-3），
A3的坐标为：（-9，0），…
∵2015÷4=503…3，
∴点A2015坐标为（-31008，0），
故答案为（-31008，0）．
17．（2016·江苏省初二月考）如图，在直角坐标系中，已知点A(-4，0)，B(0，3)，对△OAB连续作旋转变换，依
次得到三角形（1）、三角形（2）、三角形（3）、三角形（4）、…，
（1）△AOB的面积是_____________；
（2）三角形（2016）的直角顶点的坐标是_____________.
【答案】6； （8064，0）.
【解析】
（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，再根据三角形的面积列式计算即可得解；
（2）观察不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2013除以3，根据商是671可知三角形（2013）是第671个循环组的最后一个三角形，直角顶点在x轴上，再根据一个循环组的距离为12，进行计算即可得解．
解：（1）∵A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴△AOB的面积=×4×3=6；
（2）由图可知，每3个三角形为一个循环组依次循环，
∵2016=3×672，
∴三角形2016与三角形1的状态一样，
∴三角形2016的直角顶点的横坐标=672×12=8064，
∴三角形2016的顶点坐标为（8064， 0）.
故答案为（8064，0）.
“点睛”本题考查了坐标与图形变化-旋转，三角形的面积，仔细观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
18．（2017·黑龙江省中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
【答案】（0，（）2016）或（0，21008）．
【解析】
试题分析：∵等腰直角三角形OA1A2的直角边OA1在y轴的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，…，
∴OA1=1，OA2=，OA3=（）2，…，OA2017=（）2016，
∵A1、A2、A3、…，每8个一循环，再回到y轴的正半轴，
2017÷8=252…1，
∴点A2017在第一象限，
∵OA2017=（）2016，
∴点A2017的坐标为（0，（）2016）即（0，21008）．
考点：规律型：点的坐标．
三、解答题
19．（2020·湖北省江夏一中初一期中）.如图 1，在平面直角坐标系中，A 、B 在坐标轴上，其中 A(0， a) ，B(b， 0)满足| a 3 | 0．
（1）求 A 、 B 两点的坐标；
（2）将 AB 平移到CD ， A 点对应点C(2， m) ， DE 交 y 轴于 E ，若ABC 的面积等于13，求点 E 的坐标；
（3）如图 2，若将 AB 平移到CD ，点 C、D 也在坐标轴上，F 为线段 AB 上一动点，（不包括点 A ，点B) ，连接OF 、FP 平分BFO ，BCP 2PCD，试探究COF，OFP ，CPF 的数量关系．
【答案】（1）A（0，3），B（4，0）；（2）E的坐标为（0，）；（3）∠COF+∠OFP=3∠CPF．
【分析】
（1）根据非负数的性质分别求出a、b，得到答案；
（2）构造矩形，根据三角形的面积是13，利用割补法求出m，再根据平移的性质，求出直线DC的解析式，则可求出点E的坐标；
（3）作HP∥AB交AD于H，OG∥AB交FP于G，设∠OFP=x，∠PCD=y，根据平行线的性质、三角形的外角的性质计算即可．
【详解】
解：（1）由题意得，a-3=0，b-4=0，
解得，a=3，b=4，
则A（0，3），B（4，0）；
（2）如图1所示，
∵ABC的面积等于13，根据A，B，C三点的坐标，
可得：，（m<0）
解得，m=-2，
则点C的坐标为（-2，-2），
根据平移规律，则有点D的坐标为（2，-5），
设直线CD的解析式为：y=cx+d，
，解得，
∴CD的解析式为：，
∴CD与y轴的交点E的坐标为（0， ）；
（3）如图2所示，作HP∥AB交AD于H，OG∥AB交FP于G，
设∠OFP=x，∠PCD=y，
则∠BFP=x，∠PCB=2y，
∵HP∥AB，OG∥AB，
∴∠HPC=∠PCD=y，∠OPF=∠OFP=x，
∴∠CPF=x+y，
又∵∠COF=∠PCB +∠CPF +∠OFP =2y+（x+y）+ x =2x+3y，
∴∠COF+∠OFP=3x+3y=3∠CPF．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质、坐标与图形的关系、待定系数法求函数解析式以及平行线的性质，掌握待定系数法求函数解析式的一般步骤、平移规律是解题的关键．
20．（2019·江苏省南通市北城中学初二月考）已知△ABC是等边三角形，将一块含有30°角的直角三角尺DEF按如图所示放置，让三角尺在BC所在的直线上向右平移．如图①，当点E与点B重合时，点A恰好落在三角尺的斜边DF上．
(1)利用图①证明：EF＝2BC．
(2)在三角尺的平移过程中，在图②中线段AH＝BE是否始终成立(假定AB，AC与三角尺的斜边的交点分别为G，H)？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明见解析．
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，得∠ACB=60°，AC=BC．结合三角形外角的性质，得∠CAF=30°，则CF=AC，从而证明结论；
（2）根据（1）中的证明方法，得到CH=CF．根据（1）中的结论，知BE+CF=AC，从而证明结论．
【详解】
（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠F=30°，∴∠CAF=60°－30°=30°，∴∠CAF=∠F，∴CF=AC，∴CF=AC=BC，∴EF=2BC．
（2）成立．证明如下：
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，AC=BC．
∵∠F=30°，∴∠CHF=60°－30°=30°，∴∠CHF=∠F，∴CH=CF．
∵EF=2BC，∴BE＋CF=BC．
又∵AH＋CH=AC，AC=BC，∴AH=BE．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定及性质．证明EF=2BC是解题的关键．
21．（2019·山东省初一期末）如图，在平面直角坐标系中，同时将点A（﹣1，0）、B（3，0）向上平移2个单位长度再向右平移1个单位长度，分别得到A、B的对应点C、D．连接AC，BD
（1）求点C、D的坐标，并描出A、B、C、D点，求四边形ABDC面积；
（2）在坐标轴上是否存在点P，连接PA、PC使S△PAC＝S四边形ABCD？若存在，求点P坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（0，2），（4，2），见解析，ABDC面积：8；（2）存在，P的坐标为（7，0）或 （﹣9，0）或（0，18）或 （0，﹣14）．
【分析】
（1）根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加写出点C、D的坐标即可，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解；
（2）分点P在x轴和y轴上两种情况，依据S△PAC＝S四边形ABCD求解可得．
【详解】
（1）由题意知点C坐标为（﹣1+1，0+2），即（0，2），
点D的坐标为（3+1，0+2），即（4，2），
如图所示，
S四边形ABDC＝2×4＝8；
（2）当P在x轴上时，
∵S△PAC＝S四边形ABCD，
∴，
∵OC＝2，
∴AP＝8，
∴点P的坐标为 （7，0）或（﹣9，0）；
当P在y轴上时，
∵S△PAC＝S四边形ABCD，
∴，
∵OA＝1，
∴CP＝16，
∴点P的坐标为（0，18）或（0，﹣14）；
综上，点P的坐标为（7，0）或 （﹣9，0）或（0，18）或（0，﹣14）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，坐标与图形变化﹣平移，熟记各性质是解题的关键．
22．（2018·河北省初一期末）如图：在四边形ABCD中，A、B、C、D四个点的坐标分别是：（-2，0）、（0，6）、（4，4）、（2，0）现将四边形ABCD先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，平移后的四边形是A'B'C′D'
（1）请画出平移后的四边形A'B'C′D'（不写画法），并写出A'、B'、C′、D'四点的坐标．
（2）若四边形内部有一点P的坐标为（a，b）写点P的对应点P′的坐标．
（3）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）图见解析，A′（-4，1），B′（-2，7），C′（2，5），D′（0，1）；（2）P′的坐标为：（a-2，b+1）；（3）四边形ABCD的面积为22．
【分析】
（1）直接利用平移画出图形，再根据图形写出对应点的坐标进而得出答案；
（2）利用平移规律进而得出对应点坐标的变化规律：向上平移1个单位，纵坐标加1；向左平移2个单位，横坐标减2；
（3）利用四边形ABCD所在的最小矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：A′（-4，1），B′（-2，7），C′（2，5），D′（0，1）；
（2）若四边形内部有一点P的坐标为（a，b）写点P的对应点P′的坐标为：（a-2，b+1）；
（3）四边形ABCD的面积为：6×6-×2×6-×2×4-×2×4=22．
【点睛】
此题主要考查了平移变换以及坐标系内四边形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
23．（2019·江苏省初一期中）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的三个顶点的位置如图所示．现将△ABC平移，使点A变换为点D，点E、F分别是B、C的对应点．
（1）请画出平移后的△DEF．
（2）若连接AD、CF，则这两条线段之间的关系是 ．
（3）画出△ABC的BC边上的高AM．
（4）满足三角形ACP的面积等于三角形ACB的面积的格点P有 个（不和B重合）
【答案】（1）详见解析；（2）平行且相等；（3）详见解析；（4）4.
【分析】
（1）根据网格结构找出点B、C平移后的对应点E、F的位置，然后与点D顺次连接即可；
（2）根据平移的性质，对应点的连线平行且相等；
（3）根据网格结构和三角形的高线的定义作出图形即可；
（4）过B作AC的平行线，过D作AC的平行线，即可得出格点P有4个．
【详解】
（1） 如图：
（2）根据平移的性质，对应点的连线平行且相等平行且相等；
（3）根据网格结构和三角形的高线的定义作出图形，如图：
（4）
如图，过B作AC的平行线，过D作AC的平行线，
当点P在点P1，点P2，点P3，点P4处时，存在S△ACB=S△ACP，
∴格点P有4个．
故答案为4．
【点睛】
本题考查平移变换、三角形的面积等知识，作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
24．（2018·镇江市江南学校初二月考）如图所示，A（1，0）、点B在y轴上，将三角形OAB沿x轴负方向平移，平移后的图形为三角形DEC，且点C的坐标为（-3，2）．
（1）直接写出点E的坐标；
（2）在四边形ABCD中，点P从点B出发，沿“BC→CD”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题：
①当t等于多少秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；
②求点P在运动过程中的坐标，（用含t的式子表示，写出过程）；
③当3秒＜t＜5秒时，设∠CBP=x°，∠PAD=y°，∠BPA=z°，用含x，y的式子表示z.
【答案】（1）点E的坐标是（﹣2，0）；（2）①当t=2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数；②当点P在线段BC上时，点P的坐标（﹣t，2），当点P在线段CD上时，点P的坐标（﹣3，5﹣t）；③能确定，z=x+y．
【分析】
（1）根据平移的性质即可得到结论；
（2）①由点C的坐标为（﹣3，2）．得到BC＝3，CD＝2，由于点P的横坐标与纵坐标互为相反数；于是确定点P在线段BC上，有PB＝CD，即可得到结果；
②分两种情况讨论：当点P在线段BC上时；当点P在线段CD上时；
③如图，过P作PF∥BC交AB于F，则PF∥AD，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】
（1）根据题意，可知：三角形OAB沿x轴负方向平移3个单位得到三角形DEC．
∵点A的坐标是（1，0），∴点E的坐标是（﹣2，0）．
（2）①∵点C的坐标为（﹣3，2），∴BC＝3，CD＝2．
∵点P的横坐标与纵坐标互为相反数，∴点P在线段BC上，∴PB＝CD，即t＝2，∴当t＝2秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数．
②当点P在线段BC上时，点P的坐标（﹣t，2）；
当点P在线段CD上时，点P的坐标（﹣3，5﹣t）；
③能确定，如图，过P作PF∥BC交AB于F，则PF∥AD，∴∠1＝∠CBP＝x°，∠2＝∠DAP＝y°，∴∠BPA＝∠1+∠2＝x°+y°＝z°，∴z＝x+y．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，坐标与图形的变化﹣平移，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
