(共24张PPT)
实数
6.1 平方根
6
第一课时
课时目标
1．了解算式平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。
2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。
情景导入
同学们，你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度在什么范围内吗？这时它的速度要大于第一宇宙速度v1(单位：m/s)而小于第二宇宙速度v2(单位：m/s)。v1，v2的大小满足v12=gR，v22=gR，其中g是物理中的一个常数(重力加速度)，g≈9.8m/s2，R是地球半径，R≈6.4×106m。
怎样求v1、v2呢？
这就要用到平方根的概念。
探究新知
请你说一说解决问题的思路．
问题
学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
探究新知
已知一个正数，求这个正数的平方,这是平方运算.
正方形的边长
1
2
0.5
正方形的面积
1
算术平方根
填表：
思考：你能从表1发现什么共同点吗？
4
0. 25
探究新知
正方形的面积 1 4 0.36 49
正方形的边长
已知一个正数的平方，求这个正数.
表2
表一和表二中的两种运算有什么关系？
1
2
0.6
7
思考：你能从表2发现什么共同点吗？
探究新知
一般地，如果一个正数x 的平方等于a，即x 2=a,那么这个正数x 叫做 a 的 算术平方根.
1.因为22=4 ，所以4的算术平方根是＿＿；
2
2.下列说法正确的是 .
①5是25的算术平方根.
② 0.01是0.1的算术平方根.
①
一、算术平方根的概念
探究新知
a 的算术平方根
互为
逆运算
平方根号
被开方数
读作：根号a
（a≥0)
怎么用符号来表示一个数的算术平方根？
(x≥0)
二、数学符号表示
探究新知
一个正数的算术平方根有几个？
0的算术平方根有一个，是0.
0 的算术平方有几个？
负数没有算术平方根.
-1有算术平方根吗？负数有算术平方根?
一个正数的算术平方根有1个
合作与交流：
三、算术平方根的性质
探究新知
判断题：下列各式是否有意义？为什么？
有
有
有
无
探究新知
解:（1）由于102=100，
因此 ；
（2）由于 2= ，
因此 ；
（3）由于0.72=0.49，
因此 .
不难看出：被开方数越大，对应的算术平方根也越大.
例1 分别求下列各数的算术平方根：
（1）100， （2） ， （3）
探究新知
例2 计算：
（1） ； （2） .
解：(1)原式=7+3-1=9；
(2)原式=2+3-4=1.
探究新知
1）16的算术平方根是______;
4
2
一步运算
两步运算
2） 的算术平方根是______;
例3 填空：
注意文字或算术的表述，读清题意，再进行计算，以防误解.
探究新知
算术平方根具有双重非负性
a 的算术平方根
非负数
非负数
算术平方根的双重非负性
探究新知
解： 无意义，因为被开方数不是非负数．
下列各式中哪些有意义？哪些无意义？为什么？
注意：被开方数为非负数.
探究新知
解: 因为|m-1| ≥0， ≥0，又|m-1| + =0,
所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3,
所以m+n=1+(-3)=-2.
例4 若|m-1| + =0,求m+n的值.
几个非负数的和为0，则每个数均为0，初中阶段学过的非负数有绝对值、偶次幂及一个数的算术平方根.
归
纳
探究新知
3.若 ，则a= ；
2.若 ，则m= ；
4.若｜a-3|+ ，则代数式 =___.
1.若|a+3|=0 ， 则a= ；
-3
7
5
-1
到目前为止，表示非负数的式子有：
a≥0, |a|≥0, a2 ≥0, ≥0,
探究新知
例5：自由下落物体下落的距离h（米）与下落时间t（秒）的关系为 ．
有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解:将h＝19.6代入公式
，
得 ，
所以正数 (秒).
即铁球到达地面需要2秒.
探究新知
(1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 .
(2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数是___；
和这个自然数相邻的下一个自然数是 .
(3) 的算术平方根为 . (4) 2的算术平方根为____.
3
9
a2
a2+1
1.填空：（看谁算得又对又快）
巩固练习
2.求下列各数的算术平方根:
（1）169； (2) ； (3) 0.0001.
解：(1) 因为132 =169,所以169的算术平方根是13，即
(2)因为 ,所以 的算术平方根是 ，即
(3)因为0.012 =0.0001,所以0.0001的算术平方根
是0.01，即
巩固练习
3、求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（4）
解：（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
巩固练习
解: 设每块地板砖的边长为x m.由题意得
故每块地板砖的边长是0.5 m.
4.用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？
巩固练习
已知：｜x+2y|+
求x-3y+4z的值.
解：由题意得：
解得
主要学习了：算数平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x?=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算数平方根记为根号a，其中a叫做被开方数。规定：0的算术平方根是0。
课堂小结(共27张PPT)
实数
6.1 平方根
6
第三课时
课时目标
1．了解平方根的意义，会进行开平方运算，了解算术平方根与平方根的区别与联系。
2.能正确表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系。
探究新知
问题 如果一个数的平方等于9，这个数是多少？
想一想：3和-3有什么特征？
由于 ，
所以这个数是3或-3.
3和-3互为相反数，会不会是巧合呢?
探究新知
(1) 4的平方等于16，那么16的算术平方根就是_____
(2) 的平方等于 ，那么 的算术平方根就是____
(3) 展厅地面为正方形，其面积是49 m2，则其边长为___m.
4
7
问题：平方等于16， ，49的数还有吗？
探究新知
(1) 4的平方等于16，那么16的算术平方根就是_____
(2) 的平方等于 ，那么 的算术平方根就是____
(3) 展厅地面为正方形，其面积是49 m2，则其边长为___m.
4
7
问题：平方等于16， ，49的数还有吗？
探究新知
根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定的数.我们抽象出下述概念：
如果有一个数x，使得x 2=a，那么我们把x 叫作a 的一个平方根，也叫作二次方根.
如果x 是正数a 的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：x 与-x.即平方根互为相反数.
平方根的性质：
例如： (±1)2=1，1的平方根为±1.
一、平方根的概念
探究新知
1. 144的平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？
3.
的平方根是什么？
4. -4有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数
探究新知
通过这些题目的解答，你能发现什么?
问题：（1）正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
有没有一个数的平方是负数？
因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.
探究新知
3. 负数没有平方根.
平方根的性质
1. 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数.
2. 0的平方根还是 0.
探究新知
判断下列说法是否正确，并说明理由．
（1）49的平方根是7；
（2）2是4的平方根；
（3）-5是25的平方根；
（4）64的平方根是±8；
（5）-16的平方根是-4．
探究新知
例1 一个正数的两个平方根分别是2a＋1和a－4，求这个数．
解：由于一个正数的两个平方根是2a＋1和a－4，
则有2a＋1＋a－4＝0，即3a－3＝0，解得a＝1.
所以这个数为(2a＋1)2＝(2＋1)2＝9.
方法归纳：一个正数有两个平方根，它们互为相反数.
探究新知
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
平方
已知一个数，求它的平方的运算，叫作平方运算.
探究新知
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
？运算
反之，已知一个数的平方，求这个数的运算是什么？
求一个数的平方根的运算叫作开平方.
二、开平方的概念
（1）36
探究新知
例2 分别求下列各数的平方根：
36， ，1.21.
解：由于62=36，
因此36的平方根是6与-6.
36是正数
有两个平方根
即
探究新知
（2）
解: 由于 2= ，
有两个平方根
因此 的平方根是 与 .
即
探究新知
解: 由于1.12=1.21，
有两个平方根
（3）1.21
因此1.21的平方根是1.1与-1.1.
即
探究新知
表示a的正的平方根
表示a的负的平方根
记作
a﹙a≥0﹚的平方根表示为
一个非负数的平方根的表示方法：
(算术平方根)
三、平方根的数学符号表示
探究新知
说一说
各表示什么意义？
表示7的正的平方根（即算术平方根）
表示7的负的平方根
表示7的平方根
探究新知
例3 求下列各式的值：
解：（1） ；
（2） ；
（3） .
探究新知
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.
平方根与算术平方根的联系与区别
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
3.0的平方根是0，算术平方根也是0.
联系：
探究新知
平方根与算术平方根的联系与区别：
区别：
1.个数不同：一个正数有两个平方根，
但只有一个算术平方根.
探究新知
1.下列说法正确的是_________
① -3是9的平方根; ②25的平方根是5; ③ -36的平方根是-6; ④平方根等于0的数是0; ⑤64的算术平方根是8.
①④⑤
探究新知
2.下列说法不正确的是______
A.0的平方根是0
B. 的平方根是2
C.非负数的平方根互为相反数
D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
B
巩固练习
3. 判断下列说法是否正确.
正确.
（4）(-4)2的平方根是-4.
（1） 是 的一个平方根；
（2） 是6的算术平方根；
（3） 的值是±4；
正确.
不正确，是 4.
不正确，是 ±4.
巩固练习
4. 分别求 64， ，6.25的平方根.
64的平方根是8与-8， 的平方根是
与 ，6.25的平方根是2.5与-2.5.
解:
巩固练习
解:（1）
（2）
5. 求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
（3）
1.一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根.
2.如果x?=a，那么x叫做a的平方根。
3.求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
4.正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
课堂小结(共20张PPT)
实数
6.1 平方根
6
第二课时
课时目标
1．会用计算器求一个数的算术平方根；理解被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律。
2.能用夹法求一个数的算术平方根的近似值。
探究新知
能否用两个面积为1 dm2的小正方形
拼成一个面积为2 dm2的大正方形？
探究新知
小正方形的对角线的长是多少呢？
如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形.你知道这个大正方形的边长是多少吗？
设大正方形的边长为x dm，则x 2=2.
由算术平方根的意义可知，x= .
所以大正方形的边长是 dm.
探究新知
有多大呢？
你是怎样判断出 大于1而小于2的？
你能不能得到 的更精确的范围？
大于1而小于2
因为 ， ，
而 < < ，
所以 ．
思考：
探究新知
……
zxxkw
如此下去，可以得到 的更精确的近似值.
探究新知
是一个无限不循环的小数
小数位数无限,且小数部分不循环
事实上，继续重复上述的过程，可以得到
小数位数无限,且小数部分不循环的小数称为无限不循环小数.
一、无限不循环小数的概念
探究新知
探究新知
例1：估算 -2的值 ( )
A.在1和2之间 B.在2和3之间
C.在3和4之间 D.在4和5之间
解析：因为42<19<52,所以4< <5,所以2< -2<3. 故选B.
B
估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断这个有理数位于哪两个数的平方之间
探究新知
例2 通过估算比较下列各组数的大小：
(1) 与1.9； (2) 与1.5.
解：(1)因为5>4，所以 >2，所以 >1.9.
(2)因为6>4，所以 > 2，所以 > =1.5.
探究新知
例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽出她能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解:由题意知正方形纸片的边长为20cm.
设长方形的长为3x cm,则宽为2x cm.则有
探究新知
在估计有理数的算术平方根的过程中，为方便计算，可借助计算器求一个正有理数a的算术平方根(或其近似数).
a
=
用计算器求算术平方根
按键顺序：
探究新知
… …
…
…
规律：被开方数的小数点向右每移动 位,它的算术平方根的小数点就向右移动 位;被开方数的小数点向左每移动 位,它的算术平方根的小数点就向左移动 位.
(1)利用计算器计算下表中的算术平方根,并将计算结果填在表中,你发现了什么规律?你能说出其中的道理吗?
二、算术平方根的规律
探究新知
(2)用计算器计算 (精确到0.001),并利用你在(1)中发现的规律说出 的近似值,你能根据 的值说出 是多少吗?
探究新知
1.在计算器上按键 ，下列计算结果正确的是 （ ）
A. 3 B. －3 C. －1 D. 1
2. 估计 在 ( )
A. 2～3之间 B. 3～4之间
C. 4～5之间 D. 5～6之间
B
C
巩固练习
1.这节课你有什么收获？
2. 你还有什么问题或想法需要和大家交流?
举例说明如何估算算术平方根的大小．
巩固练习
C
0.447 2
巩固练习
3. 设n为正整数，且n< A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
4.与 最接近的整数是 ( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
D
C
巩固练习
5.比较大小：
解：∵ 5＞4，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
1.被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值。
2.利用计算器求任意正数的算术平方根的近似值。
3.无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数。
课堂小结
