人教版八年级数学下册课件 17.1.2勾股定理在实际生活中的应用（35张ppt）

(共35张PPT)
17
勾股定理
17.1
勾股定理
第二课时
勾股定理在实际生活中的应用
课时目标
会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题。
2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长。
探究新知
勾股定理的简单实际应用
例1
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过?为什么?
2m
1m
A
B
D
C
分析：
可以看出，木板横着，竖着都不能通过，只能斜着.门框AC的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC的长大于木板的宽就能通过.
探究新知
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2
=
AB2
+
BC2
=
12
+
22
=
5
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
探究新知
例2
如图，一架2.6m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4m.
如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?
探究新知
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理得
OB2
=
AB2
-
OA2
=
2.62
-
2.42
=
1，∴OB
=
1.
在Rt△COD中，根据勾股定理得
OD2
=
CD2
-
OC2
=
2.62
-(2.4-0.5)2
=
3.15,
∴梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端并不是也外移0.5m，而是外移约0.77m.
探究新知
例3
在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6米
8
米
探究新知
6米
8
米
A
C
B
解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图.
在Rt△ABC中，AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）.
探究新知
归纳总结
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
构建
利用
解决
巩固练习
1.湖的两端有A、B两点，从与BA方向成直角的BC方向上的点C测得CA=130米,CB=120米,则AB为
(
)
A.50米
B.120米
C.100米
D.130米
A
A
B
C
130
120
?
巩固练习
C
A
B
2.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草.
（1）求这条“径路”的长；
（2）他们仅仅少走了几步(假设2步为1米)？
巩固练习
（2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步).
解：（1）在Rt△
ABC中，根据勾股定理得
∴这条“径路”的长为5米.
-2
探究新知
利用勾股定理求两点距离及验证“HL”
A
2
1
-4
-3
-1
-1
2
3
1
4
5
例4
如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),
B(1,2)求A,B两点间的距离.
y
O
x
3
B
C
探究新知
解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB.
∴AC=5-2=3，BC=3+1=4，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴A,B两点间的距离为5.
方法总结：两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点
探究新知
思考
在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC
和Rt△A
′B
′C
′中，∠C=∠C
′=90°，AB=A′B
′，AC=A′C′．
求证：△ABC≌△A
′B
′C′．
A
B
C
A′
B′
C′
探究新知
证明：在Rt△ABC
和Rt△A
′B
′C
′中，
∠C=∠C′=90°，
根据勾股定理得
探究新知
利用勾股定理求最短距离
问题
在A点的小猫，为了尽快吃到B点的鱼，它选择A
B
路线，而不选择A
C
B路线，难道小猫也懂数学？
在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
AC+CB
>AB
（两点之间线段最短）
C
B
A
探究新知
问题
在一个圆柱石凳上，若蚂蚁在A处，食物在B处，于是它想从A处爬向B处，蚂蚁怎么走最近？
B
A
探究新知
B
A
d
A
B
A'
A
B
B
A
O
蚂蚁走哪一条路线最近？
A'
蚂蚁A
→B
的路线
根据两点之间线段最短,知第一个路线最近.
探究新知
若已知圆柱体高为12
cm，底面半径为3
cm，π取3.
侧面展开图
B
A
3
O
12
A'
解：在Rt△ABA′中，由勾股定理得
12
A
B
A'
3π
探究新知
立体图形中求两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.
探究新知
例5
有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2
m，高AB是5
m，π取3）?
A
B
A
B
A
'
B
'
探究新知
解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离.
∵AA’=2×3×2=12,
A’B’=5,
∴AB’=13.
即梯子最短需13米.
立体图形
平面图形
转化
展开
探究新知
例6
如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？
牧童A
小屋B
东
北
探究新知
解：如图，作出点A关于河岸的对称点A′，连接A′B则A′B就是最短路线.
由题意得A′C=4+4+7=15(km)，BC=8km.
在Rt△A′DB中，由勾股定理得
牧童A
小屋B
东
北
A′
C
探究新知
求直线同侧的两点到直线上一点所连线段的和的最短路径的方法：先找到其中一点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一点的线段就是最短路径长，以连接对称点与另一个点的线段为斜边，构造出直角三角形，再运用勾股定理求最短路径.
探究新知
如图，是一个边长为1的正方体硬纸盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着正方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少.
A
B
2
1
A
B
C
探究新知
解：由题意得AC
=2，BC
=1,
在Rt△ABC中，由勾股定理得
AB
?=
AC
?+
BC
?=2?+1?=
5
∴AB
=
，即最短路程为
.
巩固练习
1.从电杆上离地面5m的C处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面钢缆A到电线杆底部B的距离是（
　）
A.24m
B.12m
C.
m
D.
cm
D
C
巩固练习
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高12cm，则这只铅笔的长度可能是（　　）
A.9cm
B.12cm
C.15cm
D.18cm
D
巩固练习
3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于55cm，10cm和6cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想吃B点的食物。这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
B
A
巩固练习
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
∴AB=73cm.
A
B
C
巩固练习
4.为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm，如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
巩固练习
解：如图，在Rt△ABC中，
∵AC＝36cm，BC＝108÷4＝27(cm)．
由勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2＝362＋272＝2025＝452，
∴AB＝45cm，
∴整个油纸的长为45×4＝180(cm)．
课堂小结
勾股定理
的应用
用勾股定理解决实际问题
用勾股定理解决点的距离及路径最短问题
解决“HL”判定方法证全等的正确性问题