沪科版七年级下册数学10.1.2相交线--垂直教学设计

《10.1
.2相交线—垂直》教学设计
一、教学内容解析
上海科学技术出版社义务教育课程标准实验教科书，七年级上册第十章第一节。两条直线的位置关系有三种，相交、平行和异面，异面在高中阶段学习，而相交和平行是同一平面内两条直线的基本位置关系，是“图形与几何”所要研究的基本问题，是初中阶段学习的重点内容之一。
由于两条直线相交的相互位置与它们形成的角有直接关系，所以本节课实际上是研究两条直线相交形成的角的关系，即重点研究对顶角的概念和性质。
在七年级上册，已经学习了最基本的平面图形：直线、射线、线段和角，了解了它们的性质，这是本节课学习的基础，同时本节课的内容对后面的垂线、平行线、三角形、四边形等图形的性质的学习，以及与几何图形有关的推理、计算等问题都有联系，所以本节课内容起着承上启下的作用。
二、教学目标设置：
新课标提出，在课程的学习过程中重视学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力。在发展空间观念中提出：能从复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析出其中的基本元素及其关系。相交线这节课恰好是构成复杂图形的一个基本图形，是一个起始点，因此通过本节课的学习既要让学生理解对顶角的概念，掌握对顶角的性质，同时要抓住契机，注重能力的培养和思想方法的渗透，并利用活动积累数学活动经验。
基于以上分析，本节课的教学目标确定为：
1、了解邻补角的概念；理解对顶角的概念，能找出图形中的一个角的对顶角；掌握对顶角的性质，会利用对顶角的性质来进行简单的计算和说理；
2、通过“复习角的构成和‘互为补角’的定义，学习邻补角”和“对比邻补角学习对顶角”的过程，让学生感受知识之间的内在联系和几何学习的方法，并在探究过程中体会图形语言、文字语言、符号语言三种语言的相互转换；
3、通过探究对顶角性质，向学生渗透“观察、猜想、操作验证、说理”是得到几何结论的普遍的方法这一道理。
三、学情分析
1、知识的储备：在小学，学生结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交；在七年级上册，学生初步接触简单的平面几何图形，重点研究了线段和角，知道了互余、互补的角，等角的补角(余角)相等等知识，能将生活中的实物抽象成简单的图形，会画简单图形，初步掌握结合图形思考问题，只会极为简单的说理，而且利用余角和补角的性质来进行说理的意识较为淡薄。
2、能力的储备：学生初步具有探究问题的能力，积累了一定的数学活动经验，但对于几何知识的准确表达还存在着困难，尤其是由图形语言、文字语言和符号语言的相互转换，还不能做到准确。
学生已有一定的学习迁移能力，但在图形的性质学习过程中，不会注重图形之间的联系，知识点之间的联系，学习状态是“只见树木，不见森林”，此外学生对获得正确的几何结论的经验和方法还很缺乏。
3、心理特点：七年级学生大都积极、热情，喜欢数学活动和探究，但注意力有时不能集中；七年级学生大都热衷于口头表达，但有条理的书写表达较为困难。
根据上述分析本节课的难点是：对两个过程的理解，即对比邻补角学习的经验，学习对顶角的过程，对顶角性质探索的过程。
为突破难点，做好关键三点：第一，利用知识基础，挖掘知识之间的联系。即利用学生原有的生活经验和知识基础，先明确相交线所形成的角的构成和复习“互为补角”的定义，来学习邻补角，知道邻补角的位置关系决定数量关系。第二，运用对比。即对比邻补角的学习经验，来探究对顶角的位置关系和数量关系，且知道对顶角的位置关系决定数量关系，也从探究过程中理解了对顶角的概念，掌握了对顶角的性质。第三，自主探究，及时鼓励。即在对对顶角性质探索的过程中，设计活动让学生经历实物演示、数学猜想、操作验证和说理证明的过程，让其在合作交流中探索新知、获得新知、感受方法。同时，鼓励学生大胆去说、去写，对能用数学语言有条理的表达给与鼓励和表扬，激发学生逐步探究的信心。第四，利用教育技术资源。结合本节课的内容特点和学生的心理特点，合理使用教育技术资源，让学生更多的参与，更直观的学习，更便捷的互动，从而提高学生的学习兴趣。有效使用教育技术资源，可以增大课堂容量，提高课堂教学的效率。
四、教学过程:
（一）引入
问：什么叫两条直线相交？两条直线相交又可分为几种不同的情况？
垂直是相交线的特殊情况，怎样定义两条直线互相垂直呢？
在相交线的模型（上页练习插图）中，固定木条a，转动木条b。当b的位置变化时，a、b所成的角也会发生变化。当＝90°时（图5。1—4），a与b互相垂直。
（二）新课
1、垂直的概念
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。在图5.1—5中，AB⊥CD，垂足为O。
注意：
（1）两条直线相交，只要有一个角是直角，即说这两条直线互相垂直。但是，由对顶角的性质可知，两条直线垂直时，相交成的四个角都是直角。
（2）两条直线互相垂直，每一条都叫做另一条的垂线。
符号表示：两条直线互相垂直，怎样用符号和几何语言表示呢？如下图，记作AB⊥CD，读作“AB垂直于CD”。AB是CD的垂线，也可以说CD是AB
的垂线。它们的交点O叫做垂足。
日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出图5。1—6中的一些互相垂直的线条。你能再举出其他例子吗?
例如：（出示图片）
请同学们找出图中相互垂直的直线，再举一些生活中的例子。
由于定义既可以当性质用，又可以当判定用，因此可以有以下两个方向的推理过程。
（1）已知垂直关系，可得所成的角为90°（性质）。即：
∵AB⊥CD于O（已知）
∴∠AOD=90°（垂直的定义）
注：写∠AOC=90°、∠COB=90°、∠BOD=90°均可。
（2）已知两直线相交有一个角为90°，可得两直线垂直（判定）。即：
∵∠BOC=90°（已知）
∴AB⊥CD于O（垂直的定义）。
2、垂线的画法
探究1
如图5.1—7。
（1）用三角尺或量角器画已知直线L的垂线，这样的垂线能画出几条?
（2）经过直线L上一点A画L的垂线，这样的垂线能画出几条?
（3）经过直线L外一点B画L的垂线，这样的垂线能画出几条?
垂线的画法：复习小学用三角板过一点A作直线L的垂线的方法，并简记为“靠直线——过定点——画垂线”。
已知直线AB及AB上的一点C，可用如下方法做图：
例1
过线段AB的中点O作线段AB的垂线。
步骤：（1）用刻度尺找到AB的中点O；
（2）用三角板作出过O点且垂直于AB的直线L。
谈一谈：
（1）两条直线相交构成四个角，当其中一个角是直角时，另外三个角是不是直角，为什么？
（2）在一张纸片上画出一条直线AB，你能用折纸的方法画出AB的垂线吗？请说明你是如何折纸的。
3、发现垂线的性质
在学生熟练地作出各条垂线之后，教师继续提问：（或以其它形式）过A点还能作出别的垂线吗？
在学生回答的基础上，教师引导学生发现以下两个结论：
①过A点L的垂线有没有，有。
②过A点作L的垂线有几条，只一条。
在此基础上，又引导学生概括出：垂线的第一个性质公理：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注：①“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”。
②“过一点”的点在直线外，或在直线上都可以。
总结：经过一点（已知直线上或直线外），能画出已知直线的一条垂线，并且只能画出一条垂线，即：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
4、练习
画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线。
如图，请你过点P画出线段AB或射线AB的垂线。
思考
在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短?
探究2
如图5.1—9，连接直线L外一点P与直线L上各点
O，
AL，A2，A3，…，其中PO⊥L（我们称PO为点P到直线L的垂线段）。
比较线段PO，PAL，PA2，PA3，…的长短，这些线段中，哪一条最短?
可以让同学们实际测量一下各个线段的长度，从而总结出那条线段最短。
结论：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中。垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
注意：点到直线的距离是指垂线段的长度，是一个数量，不能说“垂线段是距离”。
现在同学们知道水渠该怎么挖了吗?在图上画出来。
如果图中比例尺为1︰100
000，水渠大约要挖多长？
找一个同学板演，然后订正答案。
（三）小结：
（四）板书设计
相交线（二）垂线概念、性质垂线的画法练习垂线段的概念、性质
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