天津市2020年空中课堂人教版八年级数学下册17.2 勾股定理的逆定理课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
17.2
勾
股
定
理
的
逆
定
理
八年级
数学
1．探索勾股定理的逆定理，
能用它解决一些简单的
实际问题；
2．了解原命题，逆命题的概念，会识别两个互逆命题，
知道原命题成立其逆命题不一定成立．
学习目标：
你能说出勾股定理的题设和结论吗？
题设：
如果一个直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c.
结论：a2+b2=c2.
a
b
c
a2+b2=c2
？
由
a2+b2=c2
能否确定这是一个直角三角形？
一、知识回顾
据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：
把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角.
一、知识回顾
二、实验猜想
1.
画一画：下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，
分别以这些数为边长(单位：cm)画出三角形：
①
2.5，6，6.5；
②
4，7.5，8.5．
2.
量一量：分别度量上述各三角形的最大角的度数．
3.
想一想：请判断这些三角形的形状，并提出猜想．
命题2
如果三角形的三边长
a，b，c
满足a2＋b2＝c2，
那么这个三角形是直角三角形．
结论：这个三角形是直角三角形.
题设：一个三角形
的三边长a，b，c
满足a2+b2=c2
.
二、实验猜想
命题1
结论：
a2＋b2
=
c2.
题设：直角三角形的两条直角边长分别为
a，b，斜边长
c.
二、实验猜想
结论：这个三角形是直角三角形.
题设：一个三角形的三边长
a，b，c
满足
a2+b2
=
c2
.
命题2
如果两个命题的题设和结论正好相反，我们就把两个命题叫做互逆命题.
如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
二、实验猜想
命题2
如果三角形的三边长
a，b，c
满足a2＋b2＝c2，
那么这个三角形是直角三角形．
已知:
如图，△ABC
的三边长
a，b，c
满足
a2+b2=c2
.
求证:
△ABC
是直角三角形.
已知:
a2+b2=c2
直角三角形性质
作一个合适的直角三角形
三、推理论证
分析:
全等
′
′
′
在Rt△A'B'C'中，根据勾股定理，
A′B′2
=
B′C′2
+A′C′2
=
a2+b2，
∵
a2+b2
=
c2，
∴
A′B′
2
=
c2
，∴
A′B′
=
c.
∴
△
ABC
≌△
A′B′C′（SSS）.
∴
∠
C=
∠
C′
=
90°.
BC
=
a
=
B′C′，
AC
=
b
=
A′C′，
AB
=
c
=
A′B′，
证明:
画一个△A′B′C′，使∠
C′=90°，B′C′=a，A′C′=b.
在△
ABC和△
A′B′C′中，
∴
△
ABC是直角三角形.
三、推理论证
′
′
′
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理.
三、推理论证
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长
a，b，c
满足
a2＋b2
=
c2，那么这个三角形是
直角三角形．
在
△ABC
中，∵
a2+b2=c2
，
∴
△ABC
是直角三角形.
三、推理论证
例1
判断由线段
a，b，c
组成的三角形是不是直角三角形？
(1)
a
=
15
，b
=
8，c
=
17；
(2)
a
=
13
，b
=
15
，c
=
14.
分析：
根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角
三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
四、典例分析
解：（1）∵152＋82
=
225＋64
=
289，172
=
289，∴
152＋82
=
172.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
（2）∵132＋142
=
169＋196
=
365，152
=
225，∴
132＋142
≠
152.
根据勾股定理，这个三角形不是直角三角形.
四、典例分析
四、典例分析
像
15，8，17
这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
⑴
119，120，169
⑵
3367，3456，4825
⑶
4601，4800，6649
⑷
12709，13500，18541
⑸
65，72，97
⑹
319，360，481
⑺
2291，2700，3541
⑻
799，960，1249
⑼
481，600，769
⑽
4961，6480，8161
⑾
45，60，75
⑿
1679，2400，2929
⒀
161，240，289
⒁
1771，2700，3229
⒂
56，90，106
例2
说出下列命题的逆命题.这些逆命题成立吗？
四、典例分析
(1)
两条直线平行，内错角相等；
(2)
如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
(3)
全等三角形的对应角相等；
(4)
在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等；
内错角相等，两条直线平行，
对应角相等的两个三角形全等；
角平分线上的点到角的两边的距离相等.
成立.
成立.
不成立.
不成立.
例3
如图，某港口
P
位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号
每小时航行16
n
mile，“海天”号每小时航行12
n
mile.它们离开港
口一个半小时后分别位于点
Q，R
处，且相距
30
n
mile.如果知道“远航”号沿东北方向航行，
能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
四、典例分析
在右图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“海天”号的航向了.
16×1.5=24
12×1.5=18
30
“远航”号
“海天”号
四、典例分析
解：根据题意，
PQ
=16×1.5=24，PR
=12×1.5=18，QR
=30.
由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1=45°.
因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
因为
，即
.
所以
∠QPR
=
90°.
四、典例分析
归纳:
解决实际问题的步骤：
（1）构建几何模型（从整体到局部）；
（2）标注有用信息，明确已知和所求；
（3）应用数学知识求解.
四、典例分析
例4
如图，在四边形ABCD中，AB
=
3，
BC
=
4，CD
=
12，
AD
=13，∠B
=
90°，求四边形
ABCD
的面积．
分析：
本题无法直接求得四边形
ABCD
的面积，可以通过添加辅助线，把四边形分割成两个三角形.
3
4
12
13
四、典例分析
解：连接AC，在△ABC中，∵∠B＝90°，
3
4
12
13
∴
△ACD
是直角三角形．
∴四边形
ABCD
的面积为
在△ACD
中，
，
又
，
∴
，即
四、典例分析
练习1
如果三条线段
a，b，c
满足a2
=
c2
-b2，这三条线段组成的三角形是不是直角三角形？为什么？
五、巩固新知
答：
这三条线段组成的三角形是直角三角形.
∵
a2
=
c2
-b2，∴a2
+
b2
=
c2
.
根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形.
练习2
下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？
(1)
同旁内角互补，两直线平行；
(2)
如果两个角是直角，那么它们相等；
(3)
全等三角形的对应边相等；
(4)
如果两个实数相等，那么它们的平方相等.
如果两个角相等，那么这两个角是直角；
两条直线平行，同旁内角互补；
对应边相等的两个三角形全等；
如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.
五、巩固新知
成立.
不成立.
成立.
不成立.
练习3
A，B，C
三地的两两距离如图所示，A
地在B
地的正东方向，C
地在
B
地的什么方向？
答：
C
地在
B
地的正北方向.
∵
在
△ABC
中，BC
2
=25，AB
2
=144，
AC
2
=169，∴BC
2
+AB
2
=
AC
2
.
根据勾股定理的逆定理，∠B=90°.
由
A
地在B
地的正东方向，可得
C
地在
B
地的正北方向.
五、巩固新知
练习4
如图，在正方形
ABCD
中，点
E
是
BC
的中点，点
F
是
CD
上一点，
且
，求证：∠AEF
=
90°．
证明：设AB
=
4k，则BE
=
CE
=
2k，CF
=
k，DF
=
3k.
∵
在△ABE
中，∠B
=
90°，
同理，
，
，
，
∴
∠AEF
=
90°．
五、巩固新知
1.
勾股定理的逆定理的内容是什么？它有什么作用？
六、归纳小结
2.
本节课学习了原命题，逆命题等知识，你能说出
它们之间的关系吗？
教材第
34
页习题17.2复习巩固的第1，3，4题.
七、课后作业
谢
谢
观
看
！