天津市2020年空中课堂人教版八年级数学下册18.2.1 矩形课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
18.2.1
矩形
八年级
数学
本课学习目标：
1．理解矩形的概念，明确矩形与平行四边形的区别和联系．
2．探索并证明矩形的性质，会用矩形性质解决相关问题．
3．探索并掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要结论．
4．探索并证明矩形的两个判定定理，能根据不同条件，运用定理．
5．经历矩形判定定理的猜想与证明过程，体会类比思想和图形判定探究的一般思路．
一、提出问题，引发思考
从一般到特殊
角的特殊化
边的特殊化
角的特殊化
边的特殊化
从一般到特殊
问题1
把平行四边形的一个内角特殊化——变为90°，会有什么样的特殊图形产生呢？你能给这个图形下一个定义吗？
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
记作：矩形ABCD
．
A
B
C
D
一、提出问题，引发思考
追问：你认为矩形有哪些性质？我们如何研究矩形的性质？
矩形是常见的图形．
一、提出问题，引发思考
问题2
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的特殊性质呢？
二、探究性质，深化认知
对于矩形，我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究．
猜想1：矩形的四个角都是直角；
猜想2：矩形的对角线相等．
追问1：你能证明这些猜想吗？
二、探究性质，深化认知
猜想1：矩形的四个角都是直角.
已知：四边形ABCD是矩形.
求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90?.
证明：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
∠B＝90?，AD∥BC，∠A＝∠C，∠B＝∠D.
∴
∠A＝180?-∠B＝90?.
∴
∠C＝∠A＝90?，∠D＝∠B＝90?.
∴
∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90?.
矩形的四个角都是直角.
二、探究性质，深化认知
猜想2：矩形的对角线相等．
已知：四边形ABCD是矩形．
求证：AC＝BD．
证明：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
∠ABC＝∠DCB＝90?，AB＝DC．
又
BC是△ABC和△DCB的公共边，
∴
△ABC≌△DCB．
∴
AC＝BD．
矩形的对角线相等.
二、探究性质，深化认知
矩形的性质小结：
边：矩形的对边平行且相等；
对角线：矩形的对角线相等且互相平分．
角：矩形的四个角都是直角；
二、探究性质，深化认知
A
B
C
D
矩形是轴对称图形．
它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线.
追问2：矩形是轴对称图形吗？
二、探究性质，深化认知
问题3
在前面的学习中，我们利用平行四边形的判定和性质研究了三角形的中位线，类似地，你能利用矩形的性质，探究直角三角形的一些特殊性质吗？
追问：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，我们观察Rt△ABC，在Rt△ABC中，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？
二、探究性质，深化认知
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
二、探究性质，深化认知
三、运用性质，解决问题
例1
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB
＝60°，AB＝4，求矩形对角线的长．
解：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
AC与BD相等且互相平分．
∴
OA＝OB．
又
∠AOB＝60?，
∴
△OAB是等边三角形．
∴
OA＝AB＝4．
∴
AC＝BD＝2OA＝8．
例2
如图，四边形ABCD是矩形，AE∥BD
，且交CB的延长线于点E．求证：∠EAB＝∠CAB
．
证明：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
AC与BD相等且互相平分．
∴
OA＝OB．
∴
∠OAB＝∠OBA．
∵
AE∥BD，
∴
∠EAB＝∠OBA
．
∴
∠EAB＝∠CAB
．
你还有其它证明方法吗？
三、运用性质，解决问题
证明：∵
四边形ABCD是矩形，
∴
AC＝BD，AD∥BC，∠ABC＝90?．
∵
AE∥BD，且交CB的延长线于点E，
∴
四边形AEBD是平行四边形．
∴
AE＝BD
．
∴
AC＝AE．
∴
∠EAB＝∠CAB
．
例2
如图，四边形ABCD是矩形，AE∥BD
，且交CB的延长线于点E．求证：∠EAB＝∠CAB
．
三、运用性质，解决问题
问题4
由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形．除此之外，还有没有其他判定方法呢？
四、类比学习，得到判定
与研究平行四边形的判定方法类似，我们研究矩形性质定理的逆命题，看看它们是否成立．
追问1：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
已知：在□ABCD中，AC＝BD．
求证：□ABCD是矩形．
四、类比学习，得到判定
已知：在□ABCD中，AC＝BD．
求证：□ABCD是矩形．
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
AB＝DC，AB∥DC．
∴
∠ABC+∠DCB＝180?．
∵
AC＝DB，
BC是△ABC和△DCB的公共边，
∴
△ABC≌△DCB．
∴
∠ABC＝∠DCB．
∴
∠ABC＝90?．
∴
□ABCD是矩形．
对角线相等的平行四边形是矩形．
四、类比学习，得到判定
追问2：前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角，它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
四、类比学习，得到判定
已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90?．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵
∠A＝∠B＝∠C＝90?，
∴
∠A+∠B＝180?，∠B+∠C＝180?．
∴
AD∥BC，AB∥CD．
∴
四边形ABCD是平行四边形．
又
∠A＝90?，
∴
四边形ABCD是矩形．
有三个角是直角的四边形是矩形．
四、类比学习，得到判定
有三个角是直角
矩形的判定方法小结：
有一个角是直角
对角线相等
矩形
平行四边形
四边形
四、类比学习，得到判定
五、运用新知，解决问题
问题5
工人师傅制作了一个窗户的框架，你能利用直尺和三角板帮他检验一下所做的框架为矩形吗？
在判断框架是否为矩形的过程中，能否用下列方法完成？为什么？
(1)有一个角是直角的四边形是矩形；
不能证明是矩形．
(2)四个角都相等的四边形是矩形；
(3)对角线相等的四边形是矩形；
(4)两组对边分别相等，且对角线相等的四边形是矩形．
能证明是矩形．因为四边形的内角和是360?，四个角都相等，所以每个角都是直角．符合有三个角是直角的四边形是矩形．
不能证明是矩形．
能证明是矩形．因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以符合对角线相等的平行四边形是矩形．
四、类比学习，得到判定
五、运用新知，解决问题
例3
如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°．求∠OAB的度数．
∴
∠DAB＝90?．
又
∠OAD＝50?，
∴
∠OAB＝40?．
六、归纳整理，形成体系
1．矩形有哪些性质？它是轴对称图形吗？能否从轴对称角度说说矩形区别于一般平行四边形的特殊性质？
矩形的对边平行且相等；
矩形的对角线相等且互相平分．
矩形的四个角都是直角；
矩形是轴对称图形．
矩形的对角线相等且互相平分
矩形的四个角都是直角；
2．用矩形性质可以得到直角三角形的什么性质？
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
六、归纳整理，形成体系
3．矩形的判定有几种方法？在具体问题中，如何选择这些方法？
方法一：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
方法二：对角线相等的平行四边形是矩形．
方法三：有三个角是直角的四边形是矩形．
有一个角是直角
对角线相等
矩形
平行四边形
矩形
有三个角是直角
四边形
有一个角是直角的平行四边形
对角线相等的平行四边形
有三个角是直角的四边形
六、归纳整理，形成体系
七、布置作业
教材60页，第1、2、3、4题．
同学们再见！