天津市2020年空中课堂人教版八年级数学下册18.2.2菱形课件(共38张PPT)

(共38张PPT)
18.2.2
菱形
八年级
数学
本课学习目标：
1．理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质，通过观察、类比、猜想、证明等活动，体会几何图形研究的一般步骤和方法．
2．会用菱形的性质解决简单的问题．
3．探索并证明菱形的两个判定定理，能根据不同条件，运用定理．
4．经历菱形判定定理的猜想与证明过程，体会类比学习和图形判定探究的一般思路．
问题1
我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它是从哪个角度特殊化进行研究的？还有其它的特殊平行四边形吗？
一、创设情境，生成概念
追问1：你能给这个特殊的平行四边形下一个定义吗？
追问2：你能举出生活中一些菱形的例子吗？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
记作：菱形ABCD
．
A
B
C
D
一、创设情境，生成概念
追问3：学习了菱形的定义之后，我们将继续研究什么内容？
菱形也是常见的图形．
一、创设情境，生成概念
问题2
因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
二、类比旧知，探究性质
回顾平行四边形性质和矩形性质，类比探究．
追问1：类比旧知，思考菱形性质的研究对象是什么？．
边--角--对角线．
二、类比旧知，探究性质
平行四边形性质
矩形性质
边
对边平行且相等
对边平行且相等
角
对角相等
四个角都是直角
对角线
对角线互相平分
对角线相等且互相平分
猜想1：菱形的四条边都相等；
猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分
一组对角．
追问2：你能证明这些猜想吗？
二、类比旧知，探究性质
猜想1：菱形的四条边都相等.
已知：四边形ABCD是菱形.
求证：
AB＝BC＝CD＝DA.
菱形的四条边都相等.
二、类比旧知，探究性质
已知：四边形ABCD是菱形.
求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD与∠BCD，
BD平分∠ABC与∠ADC
．
猜想2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
二、类比旧知，探究性质
已知：四边形ABCD是菱形.
求证：AC⊥BD，AC平分∠BAD与∠BCD，
BD平分∠ABC与∠ADC
．
证明：∵
四边形ABCD是菱形，
∴
AB＝AD，OB＝OD．
∴
AC⊥BD，AC平分∠BAD．
同理
AC平分∠BCD，BD平分∠ABC与∠ADC
．
二、类比旧知，探究性质
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
追问3：比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们会有什么发现？
二、类比旧知，探究性质
比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等的三角形．
追问4：由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
二、类比旧知，探究性质
菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半．
二、类比旧知，探究性质
菱形的性质小结：
边：菱形的四条边都相等，对边平行；
对角线：菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．
角：菱形的对角相等；
二、类比旧知，探究性质
菱形是轴对称图形．
它有两条对称轴，分别是对角线所在的直线.
追问5：菱形是轴对称图形吗？
二、类比旧知，探究性质
问题3
我们得到了菱形的性质，你能写出矩形、菱形的定义以及它们的特殊性质，并进行比较吗？
二、类比旧知，探究性质
轴对称图形
矩形和菱形的定义以及它们的特殊性质
二、类比旧知，探究性质
三、运用性质，解决问题
例1
如图，菱形花坛ABCD的边长为20
m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位)．
20
m
解：∵
花坛ABCD的形状是菱形，
∴
AC⊥BD，∠ABO＝
∠ABC＝
×60?＝30?．
∴
花坛的两条小路长
AC＝2AO＝20（m），
BD＝2BO＝20
≈
34.64（m）．
三、运用性质，解决问题
四、类比学习，得到判定
问题4
由菱形的定义可知，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，还有没有其他判定方法呢？
与研究平行四边形、矩形的判定方法类似，我们研究菱形性质定理的逆命题，看看它们是否成立．
追问1
：我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？
已知：在□ABCD中，AC⊥BD．
求证：□ABCD是菱形．
四、类比学习，得到判定
已知：在□ABCD中，AC⊥BD．
求证：□ABCD是菱形．
证明：∵
四边形ABCD是平行四边形，
∴
OB＝OD．
∵
AC⊥BD，
∴
AB＝AD．
∴
□ABCD是菱形．
四、类比学习，得到判定
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
追问2：对角线互相垂直的四边形是菱形吗？
四、类比学习，得到判定
追问3：我们知道，菱形的四条边相等．反过来，四条边相等的四边形是菱形吗？
已知：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA．
求证：四边形ABCD是菱形．
四、类比学习，得到判定
已知：在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA．
求证：四边形ABCD是菱形．
四条边相等的四边形是菱形．
证明：∵
AB＝CD，BC＝DA，
∴
四边形ABCD是平行四边形．
∵
AB＝BC
，
∴
四边形ABCD是菱形．
四、类比学习，得到判定
四条边相等
菱形的判定方法小结：
有一组邻边相等
对角线互相垂直
菱形
平行四边形
四边形
四、类比学习，得到判定
五、运用新知，解决问题
例2
如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝5，AO＝4，BO＝3．求证：□ABCD是菱形．
证明：∵
AB＝5，AO＝4，BO＝3，
∴
AB2＝AO2
+
BO2．
∴
△OAB是直角三角形．
∴
AC⊥BD．
∴
□ABCD是菱形．
问题5
如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
四边形ABCD是菱形，理由如下．
证明：根据题意，得AB∥CD，AD∥BC，
∴
四边形ABCD是平行四边形．
五、运用新知，解决问题
问题5
如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是菱形吗？为什么？
过点A分别作BC，CD边上的高为AE，AF
，则AE＝AF．
∵
S□ABCD＝BC
?
AE＝CD
?
AF．
∴
BC＝CD．
∴
□ABCD是菱形．
F
E
五、运用新知，解决问题
例3
如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E．
求证：四边形AMEN是菱形．
五、运用新知，解决问题
证明：∵
MG∥AD，NF∥AB，
∴
四边形AMEN是平行四边形．
∵
四边形ABCD是菱形，
∴
AB＝AD．
∵
BM＝DN，
∴
AB–BM＝AD–DN，即AM＝AN．
∴
四边形AMEN是菱形．
E
五、运用新知，解决问题
六、归纳整理，形成体系
1．菱形和矩形都是特殊的平行四边形，它们的性质有什么共同点和不同点吗？
平行四边形
矩形
（角特殊）
菱形
（边特殊）
？
菱形和矩形都具有平行四边形的所有性质，都是轴对称图形．
六、归纳整理，形成体系
矩形性质
菱形性质
边
对边平行且相等；
四条边都相等，对边平行；
角
四个角都是直角；
对角相等；
对角线
对角线相等且互相平分；
两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；
S矩形ABCD＝AB?BC
六、归纳整理，形成体系
2．菱形的判定有几种方法？在具体问题中，如何选择这些方法？
方法一：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
方法二：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
方法三：四条边相等的四边形是菱形．
有一组邻边相等
对角线互相垂直
菱形
平行四边形
四条边相等
四边形
有一组邻边相等的平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形
四条边相等的四边形
菱形
六、归纳整理，形成体系
教材60页
第5题，第6题，教材61页
第11题．
七、布置作业
同学们再见！