冀教版九年级数学上册第二十六章解直角三角形单元测试题（含答案）

第二十六章　解直角三角形　　　　　　　
　　　　　
　　　　　
一、选择题(每小题4分，共24分)
1．在5×5的正方形网格中，∠AOB的位置如图1所示，则sin∠AOB的值为(　　)
A.
B.
C.
D．2
图1
2．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余弦值等于(　　)
A.
B.
C.
D.
3．计算8tan45°－4sin30°的结果是(　　)
A．4
B．5
C．5
D．6
4．如图2，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD＝5，AC＝6，则tan∠DCB的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
图2
5．如图3，要测量小河两岸相对的两点P，A间的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河的宽PA为(　　)
A．100sin35°米
B．100sin55°米
C．100tan35°米
D．100tan55°米
图3
6．如图4，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为(　　)
A．10海里/时
B．30海里/时
C．20海里/时
D．30海里/时
　　　
图4
二、填空题(每小题5分，共35分)
7．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，则sinA＝________．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，AC＝2，则BC＝________．
9．如图5所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是________．
图5
10．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为______米．
11．如图6，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110
m，那么该建筑物的高度BC约为________m(结果保留整数，≈1.73)．
图6
12．数学课外兴趣小组的同学们要测量被池塘隔开的两棵树A，B之间的距离，他们设计了如图7所示的测量方案：从树A沿着垂直于AB的方向走到点E处，再从点E沿着垂直于AE的方向走到点F处，C为AE上的一点，其中三位同学分别测得三组数据：①AC，∠ACB；②EF，DE，AD；③CD，∠ACB，∠ADB.其中能根据所测数据求得A，B两树之间的距离的有________组．
图7
图8
13．如图8，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，点A的坐标为(－1，0)，∠ABO＝30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ＝，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为________．
三、解答题(共41分)
14．(9分)如图9，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH.
(1)求sinB的值；
(2)若CD＝，求BE的长．
图9
15．(10分)如图10，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.
(1)求AB段山坡的高度EF；
(2)求山峰的高度CF.(≈1.414，结果精确到1米)
图10
16．(10分)超速行驶是引发交通事故的主要原因．小明等三名同学运用自己所学的知识检测车速，他们将观测点设在距成纪大道100米的点C处，如图11所示，直线l表示成纪大道．一辆小汽车由成纪大道上的A处向B处匀速行驶，用时5秒．经测量，点A在点C的北偏西60°方向上，点B在点C的北偏西45°方向上．
(1)求A，B之间的距离(精确到0.1米)；
(2)请判断此车是否超过了成纪大道60千米/时的限制速度．(参考数据：≈1.414，≈1.732)．
图11
17．(12分)2018年4月12日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播．如图12，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30°，B处的俯角为45°，如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A，B，D在同一条直线上，那么A，B两点间的距离为多少米？(结果保留根号)
图12
详解详析
1．B
2．A　[解析]
在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∴cosA＝＝.
3．D　[解析]
8tan45°－4sin30°＝8×1－4×＝6.
4．D　[解析]
过点D作DE⊥BC于点E，由直角三角形的性质，得AB＝2CD＝2BD＝10.由勾股定理，得BC＝8，由等腰三角形的性质，得CE＝BC＝4，由勾股定理，得DE＝＝3，∴tan∠DCB＝＝.
5．C　[解析]
∵PA⊥PB，PC＝100米，∠PCA＝35°，∴小河宽PA＝PCtan∠PCA＝100tan35°米．
6．D　[解析]∵∠CAB＝10°＋20°＝30°，∠CBA＝80°－20°＝60°，∴∠ACB＝90°，
∴AC＝AB·sin∠CBA＝20×＝10
(海里)，
∴救援船航行的速度为10
÷＝30
(海里/时)．
7.　[解析]
在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝5，
∴sinA＝＝.
8．4
　[解析]
∵∠C＝90°，∴cosA＝＝.
∵AC＝2，∴AB＝6，
∴BC＝＝＝4
.
9.
10．26　[解析]
如图，由题意，得斜坡AB的坡度i＝1∶2.4，AE＝10米，AE⊥BD.∵i＝＝，∴BE＝24米，
∴在Rt△ABE中，AB＝＝26(米)．
11．300　[解析]
∵在Rt△ABD中，AD＝110
m，∠ADB＝90°，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝110
m．∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD·tan60°＝110×≈190(m)，∴BC＝BD＋CD≈110＋190＝300(m)，该建筑物的高度BC约为300
m.
12．3　[解析]
第①组中，因为知道∠ACB和AC的长，所以可利用∠ACB的正切来求AB的长；第②组中可利用相似三角形求出AB；第③组中设AC＝x，AD＝CD＋x，AB＝x·tan∠ACB，AB＝(x＋CD)·tan∠ADB，∴x·tan∠ACB＝(x＋CD)·tan∠ADB，解出x，即可求出AC的长，从而可求出AB的长．
13．4　[解析]
在Rt△AOB中，∵∠ABO＝30°，AO＝1，∴AB＝2，BO＝＝.
①当点P从O→B时，如图①②所示，点Q运动的路程为；
②当点P从B→C时，如图③所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ＝90°.
∵∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，
∴∠OQC＝90°－60°＝30°.
∵cos∠AQC＝，∴AQ＝＝2，
∴OQ＝2－1＝1，即点Q运动的路程为OQ＝1；
③当点P从C→A时，如图③所示，点Q运动的路程为QQ′＝2－；
④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO＝1.
∴点Q运动的总路程为＋1＋2－＋1＝4.
14．解：(1)∵△ABC是直角三角形，CD是斜边AB上的中线，
∴∠ACD＋∠BCD＝90°，CD＝BD，
∴∠B＝∠BCD.∵AE⊥CD，
∴∠ACD＋∠CAH＝90°，
∴∠B＝∠CAH.
设CH＝x，则AH＝2x.
在Rt△ACH中，根据勾股定理，得AC＝＝＝x，
∴sin∠CAH＝＝＝，∴sinB＝.
(2)∵CD＝，∴AB＝2
.
∵sinB＝＝，∴AC＝2×＝2，
∴BC＝＝＝4.
∵sin∠CAH＝＝，设CE＝k，则AE＝5k，
∴(k)2＋22＝(5k)2，
∴k＝或k＝－(舍去)，
∴CE＝1，则BE＝BC－CE＝3.
15．解：(1)过点B作BH⊥AF于点H，如图．
在Rt△ABH中，
∵sin∠BAH＝，
∴BH＝800×sin30°＝400(米)，
∴EF＝BH＝400米．
答：AB段山坡的高度EF为400米．
(2)在Rt△CBE中，∵sin∠CBE＝，
∴CE＝200×sin45°＝100
≈141.4(米)，
∴CF＝CE＋EF≈141.4＋400≈541(米)．
答：山峰的高度CF约为541米．
16．解：(1)如图，过点C作CD⊥l于点D.根据题意可知CD＝100米，∠ACD＝60°，∠BCD＝45°.
在Rt△ACD中，tan∠ACD＝，即AD＝100×tan60°＝100
≈173.2(米)．
在Rt△BCD中，tan∠BCD＝，即BD＝100×tan45°＝100(米)．
所以AB＝AD－BD≈173.2－100＝73.2(米)．
答：A，B之间的距离约为73.2米．
(2)A，B之间的距离为73.2米，所用时间为5秒，可知其行驶速度为73.2÷5＝14.64(米/秒)＝52.704(千米/时)．
因为52.704＜60，所以该车没有超过成纪大道60千米/时的限制速度．
17．解：由题意得∠A＝30°，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°.
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，CD＝200米，
∴BD＝200米．
在Rt△ACD中，∠A＝30°，tanA＝，
∴AD＝＝CD＝200
(米)，
∴AB＝AD－BD＝(200
－200)米．
答：A，B两点间的距离为(200
－200)米．