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第二章 点、直线、平面之间的位置关系检测试卷（二）
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
2.已知两条直线a，b，若a∥平面α，b∥a，则b与平面α的位置关系是( )
A.b?平面α
B.b⊥平面α或b?平面α
C.b∥平面α
D.b∥平面α或b?平面α
3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )
A.与a，b都相交
B.只能与a，b中的一条相交
C.至少与a，b中的一条相交
D.与a，b都平行
4.关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
5.点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是( )
A.菱形
B.梯形
C.正方形
D.空间四边形
6.如图所示，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )
A.A′C⊥BD
B.∠BA′C＝90°
C.CA′与平面A′BD所成的角为30°
D.四面体A′－BCD的体积为
7.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则的值为( )
A.
B.
C.3
D.4
8.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是( )
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
二、填空题
9.二面角α－l－β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________.
10.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________.
11.一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点.过点P将木块锯开，使截面PDEF平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________.
12.如图，已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________.
三、解答题
13.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD＝a.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：MN⊥平面PCD.
14.如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：
(1)FD∥平面ABC；
(2)AF⊥平面EDB.
15.已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A－BCF，其中BC＝.
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF.
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第二章 点、直线、平面之间的位置关系检测试卷（二）
班级______________
姓名________________
学号________
一、选择题
1.在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是( )
答案 A
2.已知两条直线a，b，若a∥平面α，b∥a，则b与平面α的位置关系是( )
A.b?平面α
B.b⊥平面α或b?平面α
C.b∥平面α
D.b∥平面α或b?平面α
答案 D
3.已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )
A.与a，b都相交
B.只能与a，b中的一条相交
C.至少与a，b中的一条相交
D.与a，b都平行
答案 C
解析
由图可知直线c至少与a，b中的一条直线相交.
4.关于直线m，n与平面α，β，有下列四个命题：
①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；
②若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n；
③若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；
④若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n.
其中真命题的序号是( )
A.①②
B.③④
C.①④
D.②③
答案 D
解析 ①m，n可能异面、相交或平行，④m，n可能平行、异面或相交，所以①④错误.
5.点E，F，G，H分别为空间四边形ABCD中AB，BC，CD，AD的中点，若AC＝BD，且AC与BD所成角的大小为90°，则四边形EFGH是( )
A.菱形
B.梯形
C.正方形
D.空间四边形
答案 C
解析 由题意得EH∥BD且EH＝BD，FG∥BD且FG＝BD，
∴EH∥FG且EH＝FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，又EF＝AC，AC＝BD，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH为菱形.
又∵AC与BD所成角的大小为90°，
∴EF⊥EH，即四边形EFGH为正方形.
6.如图所示，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是( )
A.A′C⊥BD
B.∠BA′C＝90°
C.CA′与平面A′BD所成的角为30°
D.四面体A′－BCD的体积为
答案 B
解析 因为平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面A′BD，所以CD⊥BA′.由勾股定理，得A′D⊥BA′.又因为CD∩A′D＝D，所以BA′⊥平面A′CD，所以∠BA′C＝90°.
7.在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝2BC，E是CD上一点，若AE⊥平面PBD，则的值为( )
A.
B.
C.3
D.4
答案 C
解析 ∵PD⊥底面ABCD，AE?底面ABCD，
∴PD⊥AE，
当AE⊥BD时，AE⊥平面PBD，此时△ABD∽△DAE，
则＝，
∵AB＝2BC，∴DE＝AB＝DC，∴＝3.
故选C.
8.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论中正确的是( )
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
答案 D
解析 ∵PA⊥平面ABC，∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，
∴tan∠ADP＝＝＝1，∴直线PD与平面ABC所成的角为45°.
二、填空题
9.二面角α－l－β为60°，异面直线a，b分别垂直于α，β，则a与b所成角的大小是________.
答案 60°
解析 过直线a上一点作b的平行线b′，则根据二面角的定义和线面垂直的性质可知，
a与b′的夹角为60°，所以a与b所成角的大小是60°.
10.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC.若AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，则异面直线A1C与B1C1所成的角为________.
答案 60°
解析 因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则异面直线A1C与B1C1所成的角就是直线A1C与BC所成的角，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝1，BC＝，BA1＝＝，则CA1＝＝，所以△BCA1是正三角形，故异面直线所成角为60°.
11.一个正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点.过点P将木块锯开，使截面PDEF平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为________.
答案
解析 由于平面PDEF与VB和AC都平行，所以PF∥DE，PF＝VB，PD∥EF，PD＝AC，所以四边形PDEF为平行四边形.又四面体为正四面体，所以VB⊥AC，且VB＝AC，所以PF⊥EF，且PF＝FE，则四边形PDEF是边长为a的正方形，故其面积为.
12.如图，已知点E，F分别在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值为________.
答案
解析 在平面BC1内延长FE，CB，相交于点G，连接AG，过点B作BH垂直AG于点H，连接EH.
∵BE⊥平面ABCD，AG?平面ABCD，
∴BE⊥AG.
∵BH⊥AG，BH∩EB＝B，
∴AG⊥平面BEH，
∴AG⊥EH.故∠BHE是平面AEF与平面ABC所成二面角的平面角.
设正方体的棱长为a，
则BE＝，CF＝a，
∴GB∶GC＝BE∶CF＝1∶2，
∴BG＝a，∴BH＝a，
故tan∠BHE＝＝＝.
三、解答题
13.在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，PA＝AD＝a.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)求证：MN⊥平面PCD.
证明 (1)取CD的中点E，连接NE，ME.
∵E，M，N分别是CD，AB，PC的中点，
∴NE∥PD，EM∥DA，NE∩EM＝E，PD∩DA＝D，
∴平面NEM∥平面PDA，
又MN?平面NEM，∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴CD⊥PA.
∵底面ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
又PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PD.
∵EN∥PD，∴EN⊥CD，又∵CD⊥EM，EM∩EN＝E，∴CD⊥平面ENM，∴MN⊥CD.
∵PM＝＝＝＝MC，N是PC的中点，
∴MN⊥PC.又CD∩PC＝C，∴MN⊥平面PCD.
14.如图，已知△ABC是正三角形，EA，CD都垂直于平面ABC，且EA＝AB＝2a，DC＝a，F是BE的中点，求证：
(1)FD∥平面ABC；
(2)AF⊥平面EDB.
证明 (1)取AB的中点M，连接FM，MC.
∵F，M分别是BE，BA的中点，
∴FM∥EA，FM＝EA＝a.
∵EA，CD都垂直于平面ABC，
∴CD∥EA，∴CD∥FM.
又∵DC＝a，∴FM＝DC，
∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD∥MC.
∵FD?平面ABC，MC?平面ABC，
∴FD∥平面ABC.
(2)∵M是AB的中点，△ABC是正三角形，
∴CM⊥AB.
又∵AE⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴CM⊥AE，
又∵AB∩AE＝A，AB，AE?平面EAB，
∴CM⊥平面EAB，
又AF?平面EAB，∴CM⊥AF.
又∵CM∥FD，∴FD⊥AF.
∵F是BE的中点，EA＝AB，∴AF⊥BE.
又∵FD∩BE＝F，FD，BE?平面EDB，
∴AF⊥平面EDB.
15.已知△ABC是边长为1的等边三角形，D，E分别是AB，AC边上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G，将△ABF沿AF折起，得到三棱锥A－BCF，其中BC＝.
(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF.
证明 (1)在等边三角形ABC中，AD＝AE，
∴＝，
在折叠后的三棱锥A－BCF中也成立，∴DE∥BC.
∵DE?平面BCF，BC?平面BCF，
∴DE∥平面BCF.
(2)在等边三角形ABC中，F是BC的中点，
∴AF⊥BC，折叠后，AF⊥CF.
∵在△BFC中，BC＝，BF＝CF＝，
∴BC2＝BF2＋CF2，∴CF⊥BF.
又AF∩BF＝F，AF，BF?平面ABF，
∴CF⊥平面ABF.
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