沪教版数学高一下册-5.4 基于HPM视角下的两角和正余弦展开公式由来的研究 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
基于HPM视角下的两角和正余弦展开公式由来的研究
问题：
思考：
核心问题
已知
的六个三角比的值
求值：
两角和与差的正余弦公式常常被称为平面三角学的基本公式，这些公式随着三角学的诞生而诞生，有着十分悠久的历史。
三角学的数学史
打开20世纪中叶以前的任何一部西方三角学著作，我们都能看到这些公式中至少有一个是用几何方法推导证明的。
通常先研究问题的特殊性，
再扩展到一般性的研究。
在最早时期，三角和的公式
是基于两个锐角来进行研究。
引入：
用两个或者四个全等的三角板
回想勾股定理的证明
弦图
赵爽
东汉末至三国时代吴国人
为《周髀算经》作注，并著有《勾股圆方图说》。
参考:http://www.ccss.edu.hk
b
a
c
勾股定理的证明
c
b
?
a
勾股定理的证明
a
a
b
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c
勾股定理的证明
历史方法一
历史方法一
历史方法一
19世纪法国数学家萨吕斯（1798-1866）在《纯粹与应用数学年刊》发表论文。
在单位圆中，利用弦长证明。
历史方法二
探究：对于任意两个角
是否成立？
1941年美国数学家麦克肖恩在《美国数学月刊》发表论文。
避开弦长公式，直接推导出两角和的余弦展开公式。
两角差的余弦公式推导
设
的终边与单位圆
分别交于点
将
同时旋转角
后交单位圆于
显然
一、两角差的余弦公式推导
思考
如何得到
二、两角和与差的余弦公式
对于任意角
都成立：
此公式叫做两角差的余弦公式.
此公式叫做两角和的余弦公式.
两角和与差的正弦公式的推导
替换
，得：
两角和与差的正弦公式
对于任意角
都成立：
此公式叫做两角和的正弦公式.
此公式叫做两角差的正弦公式.
两角和与差的正余弦展开公式
最基本的四组恒等式
解：
例1.
解：
例1.
解：
例2.已知
是锐角，求
的值.
小结
1、HPM是Hisory
and
Pedagogy
of
Mathematics的缩写。HPM组织源自1972年，隶属于国际数学教育委员会，专门研究数学史和数学教育之间的关系。
3、先是从特殊再到一般的研究思想，类比思想，迭代思想，替换思想。
2、初步了解三角学的两角和与差的正余弦展开公式的由来的历史。
4、培养数学建模，直观想象与逻辑推理能力。
HPM有利于帮助我们加深对数学概念，方法和思想的理解，培养创造性思维能力。
帕普斯（Pappus,
3世纪末）
和角公式
课后拓展1
课后拓展1
18,19世纪，少数三角学著作用托勒密定理，来推到两角和的正余弦展开公式。
四边形ABCD中
课后拓展2
18,19世纪，少数三角学著作用托勒密定理，来推到两角和的正余弦展开公式。
四边形AEBD中
课后拓展2
课后思考习题